第一章 第7节 均值不等式及其应用（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 解析：A[法一：令f(x)=x2一2x十a,则由题意， 日跟踪训练 得D,(,-2X(-1)+a≤0，解得a≤ (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国家 {f(2)=22-2X2+a≤0， “降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电 -3. 池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为 法二：当x∈[-1,2]时，不等式x2-2x十a≤0恒 抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发 成立等价于a≤-x2十2x恒成立，则由题意，得a 生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定 ≤(-x2+2.x)mim(x∈[-1,2]).而-x2+2.x= 成本为200万元，每生产x台(x∈N)需要另投人 -(x-1)2十1，则当x=-1时，(-x2十2x)n=-3, 成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时，a(x) 所以a≤-3.] 1 专点3一元二次不等式的实际应用（应用点） 2+30x-300万元，当年产量x不少于45台 [典例门某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本 时，a(x)=61x+2500 x+1 -900万元.若每台设备的 为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品 质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加 售价与销售量的关系式为(60+1)万元，经过市 的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例 场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完 为0.75.x,同时预计年销售量增加的比例为0.6.x, (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关 已知年利润=（出厂价一投入成本）×年销售量. 系式； (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的 (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源 比例x的关系式； 电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投 万元？ 入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)当x<45,x∈N+时， 关键突破点了(1)由年利润=（出厂价一投入成 y- {60+100 x-200-a(x)=60.x+100-200- 本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的 比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度 有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不 2x2+30x-300= 2r+30x+20: 等式组求x的取值范围. 当x≥45，x∈N+时， [解](1)由题意得y=[12(1+0.75.x)-10(1+ y=60+100 x-200-a(x)=60.x+100-200 x)]×10000×(1十0.6.x)(0<x<1),整理得y= -6000.x2+2000x+20000(0<x<1). (61.x+2500 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必 x+1 900=-x 2500+800: x+1 须有-(12-10)X10000>0, 之1+30x+200,x<45, 12 10<x<1, 综上所述，y (x∈N). 2500 3.6000x2+2000x>0·解得0x2 x+1 +800,x≥45 10x<1, 1 所以授入成未增加的比例应在(0，)范国内。 (2)当x<45,x∈N+时，y=- 2x2+30x+200= 方法指导 (x-30)2+650,则当x=30时，y的最大值 1 求解不等式应用题的四个步骤 为650； 第1步 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量， 找准不等关系 当x≥45，x∈N+时， 2500 y=- x +800= x+1 -【+1D+2021+801 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 ≤-2√x+1). 2500 +801=701(当且仅当x十 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 x+1 第3步 自变量的实际意义 ，即x=49时等号成立). 1 2500 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 4 ∴.当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池 结果 设备的生产中获利最大，最大利润是701万元. 第7节 均值不等式及其应用 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1,掌握均值不等式√ab≤a十b1.利用均值不等式求最值，达成逻辑推理 利用均值不等式求函数的 2 和数学运算素养。 最值，不等式的变形，构造基本 (a,b≥0). 2.均值不等式的实际应用，发展数学建模不等式的形式，不等式的证明及 2.结合具体实例，能用均值不等式和数学运算素养 利用不等式解决实际问题等是 解决简单的最大值或最小值3.均值不等式的综合应用，提升逻辑推理高考的热点，各种题型均有可能 问题 和数学运算素养 出现，难度中等，属于低中档题 ·23· 高考总复习人教数学B版（新教材） 夯实>必备知识 对应学生用书P20 教材夯实强基固本 必备知识 解析：C[由a2+b2≥2ab,a十b≥2√ab及a>b> 1.算术平均值与几何平均值 0知，Q2+ 给定两个正数a6,数兰称为a6的算术平均值： 2 >a,ah<(生)，选项A.B正确 2ab<2ab=√ab,选项D正确.] 数√ab称为a,b的几何平均值 a+b2√ab 2.均值不等式 如果a,b都是正数，那么a十b≥√ab,当且仅当a 2.（教材改编)若函数f(x)=x十，二一2x>2)在x=a 2 处取最小值，则a等于 ( b时，等号成立 A.1+√2 B.1+√5 3.均值不等式与最值 C.3 D.4 已知x>0,y>0,则 (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取得 解析：C[当x>2时，x-2>0,f(x)=(x-2)十 x-2 最大值 (2)若xy=(积为定值)，则当x=y时，和x十y取得 +2≥2a-2X石*2-4，当里当一2司 最小值2√. (x>2),即x=3时取等号，即当f(x)取得最小值时， 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值： 即a=3.] 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值， 3.若x>0,y>0,且x+y=18,则Wxy的最大值为 重要结论 几个重要的不等式 ( (1)a2十b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号， A.9 B.18 a+b C.36 D.81 (2)ab≤ 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号 解析：A[因为x十y=18,所以√y≤十=9，当 2 (3)Q+6 且仅当x=y=9时，等号成立.] 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 4.(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边 等号 ()2+公≥2(ab同号)，当且仅当a=b时取等号. BC上∠ADB=120AD=2,CD=2BD.当6取 b 得最小值时，BD= 自主诊断 解析：令BD=t,以D为坐标原点，DC为x轴建立 ◆[思考辨析] 直角坐标系（图略），则C(2t,0),A(1W3),B(-t,0). 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X”. B2-1)+3=4-,3≥4-23， AB2(t+1)2+3 (1)函数y=x十 1的最小值是2. 当且仅当t+1=√3，即BD=√3-1时取等号，即 (2)ab≤ 成立的条件是ab>0. 部衣件我小位 (3)x>0且y>0是工+义≥2的充要条件. y 答案：√5-1 ( 5.(教材改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠 (4)若a>0,则a3+二的最小值是2a. ( 墙的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为 m,宽为 m时菜园面积最大. (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R) ( 答案：(1)×(2)×(3)X (4)× (5)√ 解析：设矩形的长为xm,宽为ym,则x十2y=30, ◆[小题查验] 所以S=xy= 22J 1.设a>b>0,下列不等式不正确的是 ( A.aba'tb 且仅当x=2y,即x=15,y= 时取等号。 2 C.2ab D.Vab2ab 答案：15 15 a+6>v6 a+b ·24· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 跃升，关键能力 对应学生用书P21 层级突破素养提升 专点1利用均值不等式求最值（重难点） [解析]C[由lga十lgb=lg(a+b),得lg(ab)= ◆[命题角度1]配凑法 lg(a十b),即ab=a十b,则有上+ -=1,所以a十b= [典例1](1)(2024·泉州检测)已知0<x<1,则 x(3一3x)取得最大值时x的值为 +8)+b1=2++号≥2+22=， a A号 B c是 当且仅当a=b=2时等号成立，所以a十b的最小值 为4.] [解析]B[因为0<x<1,所以x(3-3.x)= 方法指导 81-)<3+g]-是当且仅当=1 常数代换法求解最值的基本步骤 12 (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； x,即x= 号时等号成立.] (2)把确定的定值（常数）变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相 (2)函数y=+2 x>1)的最小值为 除，进而构造和或积为定值的形式； x-1 (4)利用均值不等式求解最值. [解析] y- 2+2_(.x2-2x+1)+(2x-2)+3 ◆[命题角度3]消元法 x-1 x-1 [典例3](1)岂知x>0,y>0,x+3y十xy=9,则x (x-1)2+2(.x-1)+3 十3y的最小值为 x-1 =(-1D++2≥ [解析]法一（换元消元法）：由已知得x十3y 2W3+2. 9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2√3.xy, 多且收当产甲=5+1时华号成在 所以3xy≤（士3），当且仅当x=3y,即x=3y 2 [答案]2√3+2 =1时取等号，即(x十3y)2+12(x十3y)-108≥0. 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0， 方法指导 得t≥6，即x十3y的最小值为6. 通过拼凑法求最值的实质及关键点 法二（代入消元法）：由x十3y十xy=9, 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添 项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式， 得= 9,所以x+3y=93y+3y 1+y 然后利用均值不等式求解最值的方法.拼凑法的实 9-3y+3y(1+y) 质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键。 1+y [命题角度2]常数代换法 9+3y2=3(1+y)2-6(1+y)+12 典例2]若a>0,b>0,lga十lgb=lg(a十b),则a 1十y 1+y 十b的最小值为 =81+0卡，6≥21+·-5 A.8 B.6 C.4 D.2 =12-6=6.即x十3y的最小值为6. 核心素养 [答案]6 数学运算一均值不等式应用中的核心素养 (2)(2024·天津静海一中校考模拟)若a,b∈R,且b2 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学 一a=1,则la+-a的最大值为 b 问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向， 选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等，应用均值不等式求最 [解析]由题知，a,b∈R,且b2-a2=1,即b2=a 值就极大地提升了数学运算的核心素养， +1,所以la+b-a2=la+1 b 信息提取 信息解读 数学运算 当la=0时，b2=1,即b=+1,此时a十1=+1， b 由lga+lgb=lg(a 着眼点一（对数的运算性质）： 已知条件 +b),得lg(ab) 由lga+1gb=lg(a+b),得lg 所以la+-Q的最大值为1； a>0,b>0, lg(a+b),即ab=a (ab)=lg(a+b)ab=a+b. b lg a+lg b =lg(a+b) 十6：则有二 着眼点二（等式的恒等变形）： 再南a的=a6,得十方-1 a0时，y a2+2al+1=1+ b =1 着眼点三(“1”代换)：a十b 利用常数“1”代换的 (日+右)a+b)=2 21+-2,音业权事a=1时取华号 a2+1 方法，将a+b的变 形为a+b + 此时-≤十1<2： a b 求a+b的最 (日+)a+b) 着眼点四（均值不等式的应 所以la+-a的最大值为2 小值 用)：2+ +≥2+ b =2+合+在 a 利用均值不等式求 2合÷=，当且仅当 综上，a+-4的最大值为2. b 其最小值 a=b=2时等号成立 [答案]√2 25 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 3.(2024·许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0,y>0, 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考 且+子-1，则十十，的小值为 y 虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数” 或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值. 解析：因为1十2=1，所以xy=y十2x,cy十x十y y ◆[命题角度4]利用两次均值不等式求最值 =3x+2y=(3.x+2y)· 1 (+》=+2+> [典例4]已知a>b>0,那么a十a-的最小 值为 7+45(当且仅当y=3,即x=1+2 3y=2+ [解析]由a>b>0,得a-b>0, V3时取等号)， b(a-b)≤(B+a-b)2 a 2 4 所以xy十x十y的最小值为7+4√5. 答案：7+4√3 +2a2+≥2 =4, 春点2)均值不等式的实际应用（重难点） 当且仅当b=a-b且a2=手，即a=2,b=时取 [典例]如图，有一块边长为1D a 2 (单位：百米)的正方形区域 等号 ABCD,在点A处有一个可转 1 a2十6a-)的最小值为4. 动的探照灯，其照射角∠PAQ始 终为45°（其中点P,Q分别在边 [答案]4 BC,CD上)，设∠PAB= 459 方法指导 0,tan 0=t. 利用两次均值不等式求最值的注意点 (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长1 当连续多次使用均值不等式时，一定要注意每次是 是否为定值； 否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一 (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面 致性. 积S最大为多少？ (跟踪训练 T破题关键点](1)先用t表示出CP和CQ,再利 1.(2024·济宁模拟)已知实数a,b满足ab>0,则 用勾股定理表示出PQ;(2)根据S=S正方形BCD a千64平2的最大值为 a S△Br一S△DQ,用t表示出面积S,再利用均值不 ( 等式求出S的最大值， A.2-√2 B.2+√2 [解] C.3-2√2 D.3+2√2 I由an0=B-,得BP=0≤1≤1 ['ab>0,a 可得CP=1-t. 解析：C +b a+2b a(a+2b-a-b) ab :∠DAQ=45-0,DQ=tam(45-0)-专 1+ (a+b)(a+2b) a2+3ab+262 1 1 0-1-4 =3-2√2 4+2地+322+3 b a rQ-cp+c01-)+(4 当且仅当只=2弘时取等号，此时取得最大值为3 b a △CPQ的周长1=Cp+CQ+PQ =1+2 22.] 2.函数y=log.(x十3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒 -+ =2为定值. 过定点A,若点A在mx十ny十2=0上，其中mn> (2):S=SE方#ABCD一S△ABn一S△AD0 0,则1+1的最小值为 t 1×1- m n =1-2-x1+ 解析：当x=-2时，y=log（-2十3)-1=一1，即 定点A的坐标为(-2，一1)，于是有-2m-n十2 =2- (+1+品)2 当卫仅当十1=名中1=区-1时￥号成立 .探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S 最大为(2一√2)平方百米. n=②m=2(巨-1D时取等号，因北品十的最小 方法指导 值是3+2② 在利用均值不等式解决实际问题时，一定要注意所 2 涉及变量的取值范围，即定义域.若使基本不等式 答案.3十2② 等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数 2 的单调性，利用单调性求最值. ·26· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 日跟踪训练 方法指导 (2024·杨浦区模拟)如图所示，用总长为定值1的篱 综合应用均值不等式的重点题型与求解策略 笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的 题型 求解策略 篱笆隔开. 判断或证明不等式或 对所给不等式（或式子）变 比较大小 形，然后利用均值不等式 求解 观察题目特点，利用均值 (1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解 求参数的值或范围 不等式确定相关成立条 析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定 件，从而得参数的值或 范围 义域； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是 与函数、数列、解析几 利用已知条件进行转化， 多少？ 何等其他知识结合的 问题 再利用均值不等式求解 解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x, 它的面积y=x(l-3x), 由x>0,且1一3.x>0,可得函数的定义域 !跟踪训练 为) 1.若不等式 g<a<牛号在1e(0,2]上恒成立，则 a的取值范围是 (2)y=x(l-3.x)= ×3x(1-3x)≤号 3 A.] &后2 3x+l-3x)」 2当x= 2 时，这块长方形扬地 c哈 D后川 的面积最大， 解析：D +9 计9而1+号在0,2]上平羽 1 这时的长为（一3.x= 之，最大面积为 2 t 点3均值不等式的综合应用（重难点） [典例](1)(2024·临汾模拟)若m>n>0,a √em·e",b= (e十e),c=em,则 2 且仅当1=2时等号成立)，十2=上+2 t1 t A.b>a>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a (2)已知函数f(.x)= 2+ax十业(a∈R),若对于 x+1 =2(+)-吉>1（当且仅当1=2时等号成 任意x∈N+,f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 主)，故口的取位范国为[后小门 2.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a,=a6十 [解析] (1).m>n>0,.m+n>2√mn, .m十√mn, 2a,若存在两项ana,使得ana=4a1,则十4 m n 2 的最小值为 ( ) ∴a=m=e学>e阿，又b=}(e+e)> A是 B. c e"·e"=a,.b>a>c. 解析：A[由各项均为正数的等比数列{an}满足 a?=a6十2a5,可得a1q°=a1g+2a1g,所以q2-q (2)对任意x∈N+,f(x)≥3恒成立，即 -2=0, x2+ax十山≥3恒成立，即知a≥ 解得q=2或q=一1（舍去）. x+1 因为√anan=4a1,所以g"+m2=16, 设g(x)=x+8,x∈N,则g(2)=6,g(3)=号 所以2m+m2=2,所以m十n=6. 3 4 、(14 :g2)>g(8.g()n=号-(e+）十3 所以1+ mn 6m+n m n 5+”+4m）≥1 /3 ≤- 6 2 当且仅当”=4m时，等号成立， 是[-+∞ n 又m十n=6,解得m=2,n=4,符合题意. [答案]1)A(2)【-号+∞ 故品十产的爱小位为昌] ·27·