第1章 第7节 均值不等式及其应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“均值不等式及其应用”专题，依据新课标和高考评价体系，系统梳理算术几何平均值、均值不等式性质及最值条件等必备知识，分析求函数最值、不等式变形、实际应用等高频考点（占比约60%），归纳配凑法、常数代换法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法突破+素养落地”，如2022全国甲卷第16题用消元法结合坐标系求解，典例1配凑法求最值培养数学运算素养，矩形菜园面积问题发展数学建模能力。设易错点分析（如忽视“一正二定三相等”）和答题模板，助力学生掌握技巧，教师可精准教学，提升高考冲刺效率。

第7节 均值不等式及其应用 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握均值不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用均值不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．均值不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用均值不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　eq \f(a＋b,2)　称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab) 称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么　eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)　，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最　大　值eq \f(s2,4). (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最　小　值2eq \r(p). 即：两个正数的积为常数时，它们的和有　最小　值； 两个正数的和为常数时，它们的积有　最大　值． 　 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值是2eq \r(a).(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<eq \f(a2＋b2,2)　　　　　　 B．ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 C.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab) D.eq \r(ab) >eq \f(2ab,a＋b) 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)及a>b>0知，eq \f(a2＋b2,2)>ab，ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，选项A、B正确.eq \f(2ab,a＋b)<eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，选项D正确．] 2．(教材改编)若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　 ) A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.] 3．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq \r(xy)的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：A　[因为x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．] 4．(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq \f(AC,AB)取得最小值时，BD＝　________　. 解析：令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系(图略)，则C(2t,0)，A(1，eq \r(3))，B(－t,0)． eq \f(AC2,AB2)＝eq \f(2t－12＋3,t＋12＋3)＝4－eq \f(12,t＋1＋\f(3,t＋1))≥4－2eq \r(3). 当且仅当t＋1＝eq \r(3)，即BD＝eq \r(3)－1时取等号，即eq \f(AC,AB)取得最小值． 答案：eq \r(3)－1 5．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为　________　 m，宽为　________　 m时菜园面积最大． 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2＝eq \f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号． 答案：15　eq \f(15,2) 利用均值不等式求最值(重难点) ◆[命题角度1]　配凑法　 [典例1]　(1)(2024·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.eq \f(1,3)　　　 B.eq \f(1,2)　　　 C.eq \f(3,4)　　　 D.eq \f(2,3) [解析]　B　[因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(3,4).当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．] (2)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为　________　. [解析]　y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1) ＝eq \f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2. 当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立． [答案]　2eq \r(3)＋2 通过拼凑法求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． [命题角度2]　常数代换法　 [典例2]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　 B．6　　 C．4　　 D．2 核心素养 数学运算——均值不等式应用中的核心素养 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．应用均值不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算 已知条件a>0，b>0，lg a＋lg b ＝lg(a＋b) 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1 着眼点一(对数的运算性质)：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b) ，即ab＝a＋b. 着眼点二(等式的恒等变形)：再由ab＝a＋b，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1. 着眼点三(“1”代换)：a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b). 着眼点四(均值不等式的应用)：2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立 求a＋b的最小值 利用常数“1”代换的方法，将a＋b的变形为a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)，在利用均值不等式求其最小值 [解析]　C　[由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.] 常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用均值不等式求解最值． ◆[命题角度3]　消元法　 [典例3]　(1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为　________　. [解析]　法一　(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2eq \r(3xy)， 所以3xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝eq \f(9－3y,1＋y)，所以x＋3y＝eq \f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq \f(9－3y＋3y1＋y,1＋y) ＝eq \f(9＋3y2,1＋y)＝eq \f(31＋y2－61＋y＋12,1＋y) ＝3(1＋y)＋eq \f(12,1＋y)－6≥2eq \r(31＋y·\f(12,1＋y))－6 ＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案]　6 (2)(2024·天津静海一中校考模拟)若a，b∈R，且b2－a2＝1，则eq \f(|a|＋b2－a2,b)的最大值为　___________　. [解析]　由题知，a，b∈R，且b2－a2＝1，即b2＝a2＋1，所以eq \f(|a|＋b2－a2,b)＝eq \f(|a|＋1,b)， 当|a|＝0时，b2＝1，即b＝±1，此时eq \f(|a|＋1,b)＝±1， 所以eq \f(|a|＋b2－a2,b)的最大值为1； 当|a|≠0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|＋1,b)))2＝eq \f(a2＋2|a|＋1,b2)＝1＋eq \f(2|a|,a2＋1)≤1＋eq \f(2|a|,2|a|)＝2，当且仅当|a|＝1时取等号，此时－eq \r(2)≤eq \f(|a|＋1,b)≤eq \r(2)； 所以eq \f(|a|＋b2－a2,b)的最大值为eq \r(2). 综上，eq \f(|a|＋b2－a2,b)的最大值为eq \r(2). [答案]　eq \r(2) 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值． ◆[命题角度4]　利用两次均值不等式求最值　 [典例4]　已知a>b>0，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为　________　. [解析]　由a>b>0，得a－b>0， ∴b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq \f(a2,4). ∴a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2 eq \r(a2·\f(4,a2))＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号． ∴a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为4. [答案]　4 利用两次均值不等式求最值的注意点 当连续多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性． 1．(2024·济宁模拟)已知实数a，b满足ab＞0，则eq \f(a,a＋b)－eq \f(a,a＋2b)的最大值为(　　) A．2－eq \r(2) B．2＋eq \r(2) C．3－2eq \r(2) D．3＋2eq \r(2) 解析：C　[∵ab＞0，∴eq \f(a,a＋b)－eq \f(a,a＋2b)＝eq \f(aa＋2b－a－b,a＋ba＋2b)＝eq \f(ab,a2＋3ab＋2b2) ＝eq \f(1,\f(a,b)＋\f(2b,a)＋3)≤eq \f(1,2\r(2)＋3)＝3－2eq \r(2)， 当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(2b,a)时取等号，此时取得最大值为3－2eq \r(2).] 2．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为　________　. 解析：当x＝－2时，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定点A的坐标为(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋eq \f(n,2)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(n,2m)＋eq \f(m,n)≥eq \f(3,2)＋2eq \r(\f(n,2m)·\f(m,n))＝eq \f(3＋2\r(2),2)，当且仅当eq \f(n,2m)＝eq \f(m,n)，即n＝eq \r(2)m＝2(eq \r(2)－1)时取等号，因此eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值是eq \f(3＋2\r(2),2). 答案：eq \f(3＋2\r(2),2) 3．(2024·许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，则xy＋x＋y的最小值为　________　. 解析：因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝7＋eq \f(2y,x)＋eq \f(6x,y)≥7＋4eq \r(3)(当且仅当y＝eq \r(3)x，即x＝1＋eq \f(2\r(3),3)，y＝2＋eq \r(3)时取等号)， 所以xy＋x＋y的最小值为7＋4eq \r(3). 答案：7＋4eq \r(3) 均值不等式的实际应用(重难点) [典例]　如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？ [破题关键点]　 (1)先用t表示出CP 和CQ，再利用勾股定理表示出 PQ；(2)根据S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ，用t表示出面积S，再利用均值不等式求出S的最大值． [解]　(1)由tan θ＝eq \f(BP,AB)＝t，得BP＝t(0≤t≤1)， 可得CP＝1－t. ∵∠DAQ＝45°－θ，∴DQ＝tan(45°－θ)＝eq \f(1－t,1＋t)， CQ＝1－eq \f(1－t,1＋t)＝eq \f(2t,1＋t)， ∴PQ＝eq \r(CP2＋CQ2)＝eq \r(1－t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t)))2) ＝eq \f(1＋t2,1＋t)，∴△CPQ的周长l＝CP＋CQ＋PQ ＝1－t＋eq \f(2t,1＋t)＋eq \f(1＋t2,1＋t)＝2为定值． (2)∵S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ ＝1－eq \f(t,2)－eq \f(1,2)×eq \f(1－t,1＋t) ＝2－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋1＋\f(2,t＋1)))≤2－eq \r(2)， 当且仅当t＋1＝eq \f(2,t＋1)，即t＝eq \r(2)－1时等号成立． ∴探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为(2－eq \r(2))平方百米． 在利用均值不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值． (2024·杨浦区模拟)如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． (1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x， 它的面积y＝x(l－3x)， 由x＞0，且l－3x＞0，可得函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)l)). (2)y＝x(l－3x)＝eq \f(1,3)×3x(l－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋l－3x,2)))2＝eq \f(l2,12)，当x＝eq \f(l,6)时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为l－3x＝eq \f(l,2)，最大面积为eq \f(l2,12). 均值不等式的综合应用(重难点) [典例]　(1)(2024·临汾模拟)若m＞n＞0，a＝eq \r(em·en)，b＝eq \f(1,2)(em＋en)，c＝eeq \r(mn)，则(　　 ) A．b＞a＞c　　　　 B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a (2)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是　________　. [解析]　　(1)∵m＞n＞0，∴m＋n＞2eq \r(mn)， ∴eq \f(m＋n,2)＞eq \r(mn)， ∴a＝eq \r(em＋n)＝＞，又b＝eq \f(1,2)(em＋en)＞eq \r(em·en)＝a，∴b＞a＞c. (2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3. 设g(x)＝x＋eq \f(8,x)，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝eq \f(17,3). ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq \f(17,3).∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq \f(8,3)，∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)). [答案]　(1)A　(2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)) 综合应用均值不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形，然后利用均值不等式求解 求参数的值或范围 观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题 利用已知条件进行转化，再利用均值不等式求解 1．若不等式eq \f(t,t2＋9)≤a≤eq \f(t＋2,t2)在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　 ) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，2\r(2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(4,13))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1)) 解析：D　[eq \f(t,t2＋9)＝eq \f(1,t＋\f(9,t))，而t＋eq \f(9,t)在(0,2]上单调递减，故t＋eq \f(9,t)≥2＋eq \f(9,2)＝eq \f(13,2)，eq \f(t,t2＋9)＝eq \f(1,t＋\f(9,t))≤eq \f(2,13)(当且仅当t＝2时等号成立)，eq \f(t＋2,t2)＝eq \f(1,t)＋eq \f(2,t2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq \f(1,8)，因为eq \f(1,t)≥eq \f(1,2)，所以eq \f(t＋2,t2)＝eq \f(1,t)＋eq \f(2,t2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq \f(1,8)≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1)).] 2．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得eq \r(aman)＝4a1，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为(　　) A.eq \f(3,2)　　　B.eq \f(5,3)　　　C.eq \f(9,4)　　　D.eq \f(25,6) 解析：A　[由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为eq \r(aman)＝4a1，所以qm＋n－2＝16， 所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6. 所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,6)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n))) ＝eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝eq \f(3,2). 当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)时，等号成立， 又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意． 故eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为eq \f(3,2).] $