第2章 第7节 函数的图像（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数图像高考核心考点，涵盖作图方法、图像变换、对称性及应用，按“作图—识别—应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破图像识别与应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料以直观想象和逻辑推理素养为导向，创新“知式选图四步法”教学策略，结合2022全国甲卷等真题案例，设计分层练习。通过特殊值验证、图像变换分析等活动，提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生高效备考。

第7节　函数的图像 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表法、解析法表示函数． 2．会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． 3．会结合函数性质判断或选择函数的图像 1.作函数的图像，达成直观想象素养． 2．函数图像的识别，提升直观想象素养． 3．函数图像的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　高考对函数图像的考查多种多样，可以是由函数的解析式与函数的性质识图选图，可以是由函数的图像研究函数的性质，还可以是数形结合思想的运用等，其中给出函数解析式判断函数的图像及利用函数图像求函数零点，求交点个数及求参数值(范围)是高考的热点，各种基本初等函数的图像与性质的应用，图像变换等也是高考的热点．本部分内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，属于中档题，有时也在解答题中考查数形结合的思想，属于中高档题，难度较大 1．利用描点法作函数的图像步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝　－f(x)　； ②y＝f(x)y＝　f(－x)　； ③y＝f(x)y＝　－f(－x)　； ④y＝ax(a>0且a≠1)y＝　logax(a>0且a≠1)　. (3)伸缩变换 y＝　f(ax)　. ②y＝f(x) y＝　af(x)　. (4)翻转变换 ①y＝f(x)y＝　|f(x)|　. ②y＝f(x)y＝　f(|x|)　. 1．函数图像自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)的图像关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)； (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称． 2．函数图像自身的中心对称 (1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于原点对称； (2)函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)； (3)函数y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图像之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图像关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称； (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图像关于点(0，b)对称； (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2|x|的图像关于直线x＝0对称．(　　) (2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(　　) (5)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图像．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是(　　 ) 解析：A　[y＝x|x|＝为奇函数，奇函数图像关于原点对称．] 2．(教材改编)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　 ) A．f(x)＝ex＋1　　　　　 B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1 解析：D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.] 3．函数f(x)＝－x的图像关于(　　 ) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：C　[函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称．] 4．(教材改编)为了得到函数f(x)＝log2x的图像，只需将函数g(x)＝log2的图像向　______　平移　______　个单位. 解析：g(x)＝log2＝log2x－3＝f(x)－3， 因此只需将函数g(x)的图像向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图像． 答案：上　3 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由题意a＝|x|＋x， 令y＝|x|＋x＝ 图像如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0. 答案：(0，＋∞) 　作函数的图像(基础点) 　分别作出下列函数的图像： (1)y＝elnx； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝a|x|(0<a<1)； (4)y＝. 解：(1)∵函数的定义域为{x|x>0} 且y＝elnx＝x(x>0)， ∴其图像如图(1)所示． (2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图(2)所示． (3)∵y＝ (0<a<1)， ∴只需作出0<a<1时函数y＝ax(x≥0)和y＝x(x<0)的图像，合起来即得函数y＝a|x|(0<a<1)的图像．如图(3)所示． (4)∵y＝2＋， 故函数图像可由y＝的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示． 画函数图像的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出． (2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 　易错警示：可先化简函数解析式，再利用图像的变换作图． 　函数图像的识别(重难点) ◆[命题角度1]　由函数解析式选图　 [典例1]　(1)函数y＝在[－6,6]的图像大致为(　　) [解析]　B　[∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]， ∴f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数，排除选项C. 当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除选项A、D.] (2)(2022·全国甲卷，5)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图像大致为(　　) [解析]　A　[设f(x)＝(3x－3－x)cos x，f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD，令x＝1， 则f(1)＝(3－3－1)cos 1＞0，排除C.] 　　 知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图像． 易错警示：注意联系基本函数图像的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 1．函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为(　　 ) 解析：D　[当x＝0时，y＝2，排除选项A，B. y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，当x∈时，y′>0，排除选项C.] 2. (2023·天津卷)函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　[由图像可知，f(x)图像关于y轴对称，为偶函数，故A、B错误；当x＞0时，恒大于0，与图像不符合，故C错误．] ◆[命题角度2]　用函数的变化趋势及特殊值选图　 [典例2]　如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为(　　) [破题关键点]　解本题关键是抓住动点P的几个不同位置，确定其不同的函数形式，从而求出解析式，并进而确定函数图像，同时要注意结合函数的某一性质或特殊点进行排除． [解析]　B　[解法一：当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤，则＝tan x，∴BP＝tanx，∴AP＝，∴f(x)＝tan x＋，可见y＝f(x)图像的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，≤x≤，则BP＋AP＝＋ ＝＋. 当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，≤x≤π， 则＝tan(π－x)＝－tan x，∴AP＝－tan x， ∴BP＝， ∴f(x)＝－tan x＋，根据函数的解析式可排除D. 解法二：当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2＜1＋，故可排除C，D；当点P位于点D时x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化．] 　　 1．解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图像的变化特征，从而作出选择． 2．知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图像，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误的选项，快速选择． 3．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) 解析：C　[解法一：由题图：当x＝时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A、D；当x∈时，OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则＝sin x，即d＝OMsin x＝sin xcos x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B. 解法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D. 当x＝时，MD＝0，排除A，D选项，当x＝或x＝时，MD取得最大值为，排除B.] 　函数图像的应用 ◆[命题角度1]　研究函数的零点或方程解的个数　 1．如图，函数f(x)的图像为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－2<a<－1}　　　 B．{a|－2≤a<－1} C．{a|－2≤a<2} D．{a|a≥－2} 解析：B　[根据题意可知f(x)＝不等式f(x)≥x2－x－a等价于a≥x2－x－f(x)，令g(x)＝x2－x－f(x)＝ 作出g(x)的大致图像，如图所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a<－1，则实数a的取值范围是{a|－2≤a<－1}．] ◆[命题角度2]　求不等式的解集或判断不等式是否成立　 2．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 解析：D　[将函数f(x)的图像画出来， 观察图像可知会有，解得x<0， 所以满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．] 3．(多选)(2022·山东省高三模拟)已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图像交于点A(x1，y1)，B(x2y2)则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2＞2e C．x1ln x2＋x2ln x1＜0 D．x1x2＞ 解析：ABC　[函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，则y＝ex与y＝ln x的图像关于y＝x对称． 将y＝－x＋2与y＝x联立，则x＝1，y＝1. 由直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 作出函数图像，则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)． 对于A，由＝1，解得x1＋x2＝2，故A正确； 对于B，ex1＋ex2≥2＝2＝2＝2e， 因为x1≠x2，即等号不成立，所以ex1＋ex2＞2e，故B正确； 对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0. 设f(x)＝ex＋x－2，且函数为单调递增函数， ∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f＝＋－2＝－＞0， 故函数的零点在上，即0＜x1＜，由x1＋x2＝2，则1＜x2＜2， x1ln x2＋x2 ln x1＝x1 ln x2－x2 ln ＜x1 ln x2－x2 ln x2＝(x1－x2) ln x2＜0，故C正确； 对于D，由x1＋x2≥2，解得x1x2≤1， 由于x1≠x2，则x1x2＜1，故D错误．] ◆[命题角度3]　求参数的取值或范围　 4．(2024·陕西宝鸡校考模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－2有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　B. C．(－2＋8,1) D． 解析：B　[作出函数f(x)的图像如图所示，直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，当y＝kx－2过点(2，－1)时，解得k＝，此时直线y＝kx－2与f(x)有两个交点，故关于x的方程f(x)＝kx－2 有两个互不相等的实根；将y＝kx－2代入y＝－x2＋8x－15得x2＋(k－8)x＋13＝0，当x≥2时，直线与抛物线只有一个交点，则Δ＝(k－8)2－52＝0，解得k＝8－2或k＝8＋2.当k＝8＋2时，解得x＝－，不满足x≥2，则应舍去，即k＝8－2.所以实数k的取值范围是.] 　　 (1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解． (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 学科网（北京）股份有限公司 $