第一章 第6节 一元二次不等式的解法（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 题后反思 数轴上基本公式的应用 上传器-宁如存在，求点上坐标，如不存在，时 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式 说明理由 求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式 解：设Cx),Ex),则AC-x-(-2)_1 BC x-1 =2x=-5,所 求相应点的坐标； (2)中点坐标公式可以解决三点共线问间题.其中已 以C(-5), 知两点坐标，可用公式求第三点的坐标 E在线段CD上，所以器=-子4d 3-x 跟踪训练 十20=3-x,x 1e(-5,3),.在线段CD 5 已知数轴上有点A(一2)，B(1),D(3),点C在射线 17 BA上，且有C合，同在线段CD上是否存在点 上存在点E 使CE、1 BC ED4 第6节 一元二次不等式的解法 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.一元二次不等式的解法，达 一元二次不等式、分式不等式 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等 式的过程，了解一元二次不等式的现实 成直观想象和数学运算的解法，及一元二次不等式的恒成 素养 立问题是高考的热点，常常与集合 意义 2.与一元二次不等式有关的运算、函数定义域求解、用导数求单 2.能借助二次函数求解一元二次不等式， 恒成立问题，提升直观想象调区间等问题结合考查.题型多样， 并能用集合表示一元二次不等式的 解集 和数学运算素养 选择题或填空题考查解法及恒成立 3.一元二次不等式的实际应问题，难度不大，属于低中档题，解 3.借助一元二次函数的图像，了解一元二 用，增强数学建模和数学运答题与导数结合，考查函数的单调 次不等式与相应函数、方程的联系 算素养 性，难度中等及以上，属于中高档题 夯实>必备知识 对应学生用书P17 教材夯实强基固本 必备知识 自主诊断 1.一元二次不等式的概念 [思考辨析] 一般地，形如a.x2十bx十c>0的不等式称为一元二 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 次不等式，其中a,b,c为常数，而且a≠0. 打“/”，错误的打“×” 2,用因式分解法解一元二次不等式 (1)若不等式ax2十bx十c<0的解集为(x1,x2),则 一般地，如果x1<x2,则不等式(x一x1)(x一x2）< 必有a>0. 0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(.x-x2)>0的 (2)若不等式a.x2十bx十c>0的解集是(-o∞，x1) 解集是(-o∞，x1)U(x2,十∞). 3.用配方法解一元二次不等式 U(x2,十o∞)，则方程a.x2十b.x十c=0的两个根是 一元二次不等式a.x2十b.x十c>0(a≠0)通过配方总 x1和x2 ( 是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然 (3)若方程a.x2+bx十c=0(a≠0)没有实数根，则不 后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的 等式a.x2十bx十c>0的解集为R. ( 解集 (4)不等式a.x2+b.x+c≤0在R上恒成立的条件是 重要线论 a<0且△=b2-4ac≤0. ( 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (5)若二次函数y=a.x2+bx十c的图像开口向下， 则不等式ax2+bx十c<0的解集一定不是空集. x二>0等价于(x-a)(x-b)>0. 1.x-b 2.二80等价于-ax-b)<0. 答案：(1)/ (2)√(3)×(4)×(5)/ [小题查验] 38≥0等价于202-20 1x-b≠0. 1.函数f(x)= 的定义域是( ln(-x2+4.x-3) 4.二g<0等价于{xax b)0, A.(-∞，1)U(3,十∞) B.(1,3) x-b {x-b≠0. C.(-∞，2)U(2,+∞) D.(1,2)U(2,3) 20· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 解析：D[由题意知人 x2+4x-3>0, 即Kx<3, 2+1 =-b {-x2+4x-3≠1，{x≠2， 4 a 解析：C[由已知得 故函数f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).] -2× =- 4 2(教材改编不等式0的解集是 ( .a=4,b=7,.ab=28.] A.(-o∞，-1)U(-1,2] B.[-1,2] 4.不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为 C.(-∞，-1)U[2,+∞) D.(-1,2] 解析：(x十3)(1-x)≥0台(x十3)(x-1)≤0，解得 一3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|一3≤x≤1}. 解析：D 09(x+1Dx-2)≤0，且x≠ 答案：{x-3≤x≤1} 即x∈(-1,2].] 5.(教材改编)已知不等式x2-2x十k2一1>0对一切 3.(教材改编)若不等式a.x2十bx一2<0的解集为 实数x恒成立，则实数k的取值范围为 {-2<<}则ah等于 解析：由题意，知△=4-4×1×(k2-1)<0, ( 即k2>2,.k>√2或k<-√2. A.-28 B.-26 答案：(-∞，-√2)U(√2，十o∞) C.28 D.26 跃升>关健能力 对应学生用书P18 层级突破素养提升 春点1 一元二次不等式的解法 ◆[命题角度2]含参数的一元二次不等式（应用点） ◆[命题角度1]不含参数的一元二次不等式的解 [典例2解不等式a.x-(a十1)x十1<0. 法（基础点） [解]原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, [典例1]解下列不等式：(1)-3x2-2.x+8≥0； .①当a=0时，可解得x>1, (2)0<x2-x-2≤4. ②当≥0时，不等式可化为x-1(-}0… 解：(1)原不等式可化为3.x2+2x-8≤0， .当a=1时，不等式可化为(x-1)2<0,解集 即(3x-4x十2)<0，解得-2<≤号， 为财； 所以原不等式的解集为{红 -2≤} 当0<u<1时，日>1，不￥式的解集 (2)原不等式等价于二x一？>0：台 为{红1<<} {x2-x-2≤4 x-x-2>0, (x-2)(x+1)>0, 当口>1时，<1，不等式的解集 台 {(x-3)(x+2)≤0 x>2或x<-1, 为{红a<<1}: -2≤x≤3. 借助于数轴，如图所示， 当a<0时，不等式可化为(x-1D(红-)）>0 -2-10123元 不等式的解案为{>1或x<君} 原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. 综上，可知，当a<0时， 题后反思 不等式的解集为{红>1或<}： 解一元二次不等式的4个步骤 当a=0时，解集为{xx>1}; 夜一把不等武交形为三次项系数大于零的标准形武 判一计算对应方程的判别式 当0<aC1时，不等式的解集为{1<<君} 当a=1时，不等式的解集为心； 纹 求出对应的一元三次方程的根，或根据 判别式说明方程有没有实根 当a>1时，不等式的解集为{红日<<} 方法指导 解含参数的一元二次不等式的步骤 写 利用“大于取两边，小于取中间”写出 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于 不等式的解集 0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二 [口诀助解] 次项系数为正的形式； 求解不含参数的一元二次不等式口诀 (2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的 函数方程不等式，图像交点是标志； 关系； 首项系数先化正，判别式，符号定： (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个 若为正，记口诀，小于中间大于侧： 根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式 或为负，或为零，配方观察解自明. 的解集， ·21· 高考总复习人教数学B版（新教材） [口诀助读] [解析]要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立， 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 则m.x2-m.x十m-6<0, 含参二次不等式，有无实根判别式； 即mx一2) 1+3m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 或为负，或为零，配方法，解自明； 若为正，求两根，两种题型要区分； 有以下两种方法： 首项系数无参数，根的大小定胜负； 首项系数含参数，先论系数零正负； 来-今g)=m(-)+m-6z1.3. 1)2 系数化一是旨要，负数变换不等号 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， :跟踪训练 所以g(x)mx=g(3)=7m-6<0. 求不等式12x2-a.x>a2(a∈R)的解集. 所以m<号，则0<m<号， 解：原不等式可化为12x2-ax-a2>0, 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 即(4x十a)(3x-a)>0, 所以g(x)mx=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 令(4x十a)(3x-a)=0,解得x1= 4x=3 (-,u(+ 解上所这，m的取值范调是m0<m<号或m0} 当a>0时，不等式的解集 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)U(0,十o∞)： 当0时，不等式的解条为(-0，号)U(+ 又因为m(x2-x十1)一6<0，所以m< 6 -x十1 点2)与一元二次不等式有关的恒成立问题 因为函数y= 6 ◆[命题角度1]在实数R上的恒成立（基础点） x2-x+1 在[1,3]上 3 典例门若一元二次不等式2kx十kx一名之0对 的最小值为号，所以只需m<号即可。 一切实数x都成立，则k的取值范围为 ( 因为m≠0，所以m的取值范围是 A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0) m0<m< 号或m<0} [解析]D[2kx2+kx- 日<0对一切实数x都 [答案] {ml0<m<号或m<0} 成立， ◆[命题角度3]给定参数范围的恒成立问题（基础点） 因为2k.x2+kx一 <0是一元二次不等式，所以k [典例3)已知aE[-1,1门时不等式x2+(a-4)x 8 十4一2a>0恒成立，则x的取值范围为( ≠0. A.(-∞，2)U(3,+∞) ,2k<0, B.(-o∞，1)U(2,+∞) 则必有 4=-4×2k×(-)0, C.(-∞，1)U(3,+∞) D.(1,3) 解得-3<k<0.] 解析：C[把不等式的左端看成关于a的一次函 ◆[命题角度2]在给定区间上的恒成立问题（重难 数，记f(a)=(x-2)a十x2-4x十4， 点) 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立， [典例2]设函数f(.x)=m.x2-m.x-1(m≠0)，若对 所以f(-1)=x2-5.x+6>0, 于x∈[1,3]，f(x)<-m十5恒成立，则m的取值 且f(1)=x2-3.x十2>0即可，解不等式组 范围是 r-5x+60得x<1或x>3.] [破题关键点]函数f(x)<-m十5在[1,3]上恒 {x2-3.x+2>0, 成立，即m(-)+子m-6<0在x[1]上但 规律总结 恒成立问题求参数的范围的解题策略 成立.方法一：西装x)=m(-)+ (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围， m 谁就是参数. -6,x∈[1,3]，分m>0与m<0两种情况判断 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式△ g(x)在[1,3]上单调性，由g(x)mx<0求出m的 解题，一元二次不等式在给定区间上恒成立， 取值范围； 般不能用判别式△处理，而应用分离参数求最 方法：由于-x十1=（)+>0，所以 值或分类讨论求解 1跟踪训练 将参数m分离出来，即m<x2-x十 6 若对任意的x∈[-1,2]，都有x2-2x十a≤0(a为 常数)，则a的取值范围是 6 转化为求函数y= 在[1,3]上的最小值。 A.(-co,-3] B.(-∞，0] x2-x+1 C.[1,+∞) D.(-∞，1] ·22· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 解析：A[法一：令f(x)=x2一2x十a,则由题意， 日跟踪训练 得D,(,-2X(-1)+a≤0，解得a≤ (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国家 {f(2)=22-2X2+a≤0， “降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电 -3. 池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为 法二：当x∈[-1,2]时，不等式x2-2x十a≤0恒 抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发 成立等价于a≤-x2十2x恒成立，则由题意，得a 生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定 ≤(-x2+2.x)mim(x∈[-1,2]).而-x2+2.x= 成本为200万元，每生产x台(x∈N)需要另投人 -(x-1)2十1，则当x=-1时，(-x2十2x)n=-3, 成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时，a(x) 所以a≤-3.] 1 专点3一元二次不等式的实际应用（应用点） 2+30x-300万元，当年产量x不少于45台 [典例门某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本 时，a(x)=61x+2500 x+1 -900万元.若每台设备的 为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品 质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加 售价与销售量的关系式为(60+1)万元，经过市 的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例 场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完 为0.75.x,同时预计年销售量增加的比例为0.6.x, (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关 已知年利润=（出厂价一投入成本）×年销售量. 系式； (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的 (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源 比例x的关系式； 电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投 万元？ 入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)当x<45,x∈N+时， 关键突破点了(1)由年利润=（出厂价一投入成 y- {60+100 x-200-a(x)=60.x+100-200- 本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的 比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度 有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不 2x2+30x-300= 2r+30x+20: 等式组求x的取值范围. 当x≥45，x∈N+时， [解](1)由题意得y=[12(1+0.75.x)-10(1+ y=60+100 x-200-a(x)=60.x+100-200 x)]×10000×(1十0.6.x)(0<x<1),整理得y= -6000.x2+2000x+20000(0<x<1). (61.x+2500 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必 x+1 900=-x 2500+800: x+1 须有-(12-10)X10000>0, 之1+30x+200,x<45, 12 10<x<1, 综上所述，y (x∈N). 2500 3.6000x2+2000x>0·解得0x2 x+1 +800,x≥45 10x<1, 1 所以授入成未增加的比例应在(0，)范国内。 (2)当x<45,x∈N+时，y=- 2x2+30x+200= 方法指导 (x-30)2+650,则当x=30时，y的最大值 1 求解不等式应用题的四个步骤 为650； 第1步 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量， 找准不等关系 当x≥45，x∈N+时， 2500 y=- x +800= x+1 -【+1D+2021+801 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 ≤-2√x+1). 2500 +801=701(当且仅当x十 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 x+1 第3步 自变量的实际意义 ，即x=49时等号成立). 1 2500 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 4 ∴.当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池 结果 设备的生产中获利最大，最大利润是701万元. 第7节 均值不等式及其应用 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1,掌握均值不等式√ab≤a十b1.利用均值不等式求最值，达成逻辑推理 利用均值不等式求函数的 2 和数学运算素养。 最值，不等式的变形，构造基本 (a,b≥0). 2.均值不等式的实际应用，发展数学建模不等式的形式，不等式的证明及 2.结合具体实例，能用均值不等式和数学运算素养 利用不等式解决实际问题等是 解决简单的最大值或最小值3.均值不等式的综合应用，提升逻辑推理高考的热点，各种题型均有可能 问题 和数学运算素养 出现，难度中等，属于低中档题 ·23·