第一章 第5节 不等式的解集（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 2.若a>0>b>-a,c<<0,则下列结论：①ad>bc; [解析]法一：设f(-2)=mf(-1)十nf(1)(m, @号+2<0：@a->6-d:@ad-c)>6d- n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)十n(a十b), Bp 4a-26=(m+n)a+(n-m)b. 中成立的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 于是得m十n=4 1n=1, 解析：C[法一：a>0>b,c<d<0, nm=-2'解得m=3 .f(-2)=3f(-1)+f(1). ∴.ad<0,bc>0, 又，1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴.ad<bc,故①错误 a>0>b>-a,.a>-b>0.c<d<0, .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. .-c>-d>0, 法二：由1)=a一6 .a(-c)>(-6)(-d),:ac+bd<0,:a 1f(1)=a+b d c ac十bd<0,故②正确。 a=2-1)+f] 得 cd c<d,.-c>-d.a>b, 6=2f1)-f-1] .a+(-c)>b+(-d), ∴.f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). a-c>b-d,故③正确. 又1≤f(-1)≤2,2f(1)≤4， :a>b,d-c>0,.a(d-c)>b(d-c), .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. 故④正确. [答案][5,10] 法二：取特殊值.门 方法指导 题后反思 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围， (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断 但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性 或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大 的性质. 了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要 围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通 判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到 与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假， 过“一次性”不等关系的运算求解范围， 当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数 跟踪训练 函数，指数函数的性质等. 已知-1<x<4,2<y<3,则x一y的取值范围是 ◆[命题角度2]求某些代数式的取值范围（综合点） ,3x十2y的取值范围是 [典例们设f(.x)=a.x2十b.x,1≤f(-1)≤2,2≤f(1) 解析：-1<x<4,2<y<3,.-3<-y<-2, ≤4，则f(一2)的取值范围是 .-4<x-y<2. [破题关键点]一是将f(-2)用f(-1)和f(1) 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12 表示出来；二是求f(-2)=4a-2b在 4<2y<6, 1Sf(-1)≤2，即在{4条件下的最值， .1<3.x+2y<18. (2≤f(1)≤4， 答案：(-4,2)(1,18) 第5节 不等式的解集 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 求解不等式的解集与不等式组的解 1.会求解一元一次不等式及一元一次求解不等式的解集与不等式组的 集，解绝对值不等式等是高考的热 不等式组的解集 解集，提升数学运算的核心素养， 点，常与其他知识结合命题，各种题 2.能借助绝对值的几何意义求解含绝解绝对值不等式达成逻辑推理和 型均有可能出现，难度中等属于低 对值的不等式的解集 数学运算的核心素养 中档题 夯实必备知识 对应学生用书P14 教材夯实强基固本 必备知识 微思考 1.不等式的解集与不等式组的解集 若不等式无解，其解集怎么表示？ (1)不等式的解集：不等式的所有解组成的集合. 提示：若不等式无解，则其解集可表示为心. (2)不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到 2.绝对值不等式 的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为 (1)一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 不等式组的解集. ·17· 高考总复习人教数学B版（新教材） (2)当m>0时， 解析：C[解不等式2x-1≥5，得x≥3，解不等式 关于x的不等式|x>m的解集为（一o∞，一m)U 8一4x<0,得x>2,故不等式组的解集为[3，十∞).] (m,+∞)； 2.集合M={x|x>0,x∈R},N={x|x-1≤2，x 关于x的不等式|x|<m的解集为（一m,m) ∈Z},则M∩N= () 3.数轴上两点间的距离及中点坐标公式 (1)距离公式：一般地，如果实数a,b在数轴上对应的 A.{x|0<x≤2，x∈R} 点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为 B.{x0x2,x∈Z} a-b C.{-1,-2,1,2} (2)中点坐标公式：A(a),B(b),线段AB的中点M对 D.{1,2,3} 应的数为x,则x=a十b 21 解析：D[由题得N={x|-1≤x≤3，x∈Z}= {-1,0,1,2,3},所以M∩N={1,2,3}.] 自主诊断 3.不等式x+1<5的解集为 ◆[思考辨析] 解析：|x十1<5→-5<x+1<5→-6<x<4. 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打 “/”,错误的打“X” 答案：{x-6<x<4} (1)在数轴上从点A(-2)引一线段到B(1),再同向延 4.不等式|x一2≤|x|的解集是 长同样的长度到C,则点C的坐标为4. ( 解析：x-2≤|x台(x-2)2≤x2台4-4x≤0台 (2)不等式{一2二40·的解为x<-2. ( x≥1. 1x-30 答案：{xx≥1》 (3)设x∈R,则“0<x<5”是“|x一1<1”的充分而 不必要条件 ( ) 1-2江-4-3>2 答案：(1)√ (2)、/(3)× 5.不等式组 3 6 2’的解集为 ◆[小题查验] 2x-73(x-1) 1不等式组公”！”的部集在数箱上表示为 解析：记原不等式组为)3 322,0 6 (2x-7≤3(x-1).② 解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥一4.故原 0123x 012 B 不等式组的解集为[-4,1]. 答案：[-4,1] 跃升，关键能力 对应学生用书P15 层级突破素养提升 春点1 不等式组的解集 题后反思 [典例门解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 一元一次不等式组的求解策略 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大 2x+3>1, x十1、1 小小找不到”的原则是解答此类问题的关键. (1) (2) 221 x-2<0; (x+8<4x-1. 跟踪训练 [解]分别求出各不等式的解集，再求出各个解集 解下列不等式组： 的交集，并在数轴上表示出来即可. (1)/-5>1+2.,0 (1)解不等式2x十3>1，得x>-1, 13.x+2≤4x:② 解不等式x一2<0，得x<2, 层+5>1-x,0 则不等式组的解集为{x一1<x<2}. (2) 将解集表示在数轴上如图所示： -1-g@ 解：(1)解不等式①，得x<一6，解不等式②，得x≥ 1012x 2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (2)解不等式>含得>2， 21 -6 02 解不等式x十8<4x-1,得x>3, 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不 则不等式组的解集为{xx>3}, 等式组的解集为心. 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： (2)解不等式0，得x>-号，解不学式②，得x< -1 012345￥ 子把不学式①和②的解条在数销上衣示出来 ·18 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 题后反思 含有绝对值的不等式的解题策略 12 0 2 解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不 由园可知不等式组的解条为（一号，] 含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结构， 选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可 吉点2 解绝对值不等式 用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求 ◆[命题角度1]含有一个绝对值号不等式的解法 解，还可构造函数利用函数图像求解. [典例1]解下列不等式： 跟踪训练 (1)2x+5<7;(2)2x+5|>7+x; 1.解不等式3≤x一2<4 (3)2≤|x-2≤4. 解：原不等式等价于 1x-2|≥3，① [解](1)原不等式等价于-7<2x十5<7. 所以一12<2x<2,所以一6<x<1,所以原不等式 |x-2|<4.② 的解集为(-6,1). 由①，得x-2≤-3，或x-2≥3，x≤-1，或x (2)由不等式|2x十5|>7+x, ≥5. 可得2x+5>7+x或2x十5<-(7十x),所以x> 由②，得-4<x-2<4,.-2x<6 2或x<-4. 如图所示，原不等式的解集为{x一2<x≤一1，或 所以原不等式的解集为(2，十∞)U(一∞，一4). 5≤x<6. (3)原不等式等价于1-2到≥2，四 {|x-2|≤4.② 4321012345名 由①得x-2≤-2，或x-2>2, 2.不等式|x+3|-|x-3>3的解集是 所以x≤0，或x≥4. 由②得-4≤x-2≤4，所以一2≤x≤6. A{>} 所以原不等式的解集为[一2,0]U[4,6] C.{x|x≥3} D.{x|-3<x≤0} ◆[命题角度2]含有两个绝对值号不等式的解法 解析：A[当x<-3时，-(x十3)十(x-3)>3, [典例2]解下列不等式： -6>3,无解.当-3≤x≤3时，x十3十x-3>3,所 (1)x-1>|2x-3;(2)|x-1+|x-2>2; (3)|x十1|+|x+2|>3+x. 以x>是故号<≤3当>3时十3-(x-3) [解](1)因为x-1>|2x-3, >3,6>3,所以x>3.综上可知原不等式的解集 所以(x-1)2>(2.x-3)2, 即(2x-3)2-(x-1)2<0, 为{>}门 所以(2x-3十x-1)(2x-3-x十1)<0， 专点3数轴上的基本公式及应用 即（3x-4(一2)<0，所以亭<x<2.即原不等式 [典例]己知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为 的解桑为（信2小 A(-1),B(3),P(x). (1)点P到A,B两点的距离都是2时，求P(x),此 (2)原不等式 x≤1 或 时P与线段AB是什么关系？ 1-x+2-x>2 (2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A x<l 和B的距离都是3？若存在，求P(x),若不存在， {x-1+x-2>29 1或 2 请说明理由. x≥2 [解]根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标 <号x>号，所以原不等 公式求解 2 1)由题意知x+1=2可以化为+1=2·或 式的解为(-0，)（侵+） x-3=2, x-3=2 x+1=2, 或+1=-2， (3)原不等式台 ∫x≤-2 1x-3=-2 x二3=二2或。二2’解得x -x-1-x-2>3+x =1. 2<x<-1 {-x-1+x+2>3+x 1++ .点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点。 ∫x≤-2 {2<-1或之1<-2或 (2)不存在这样的P(x),理由如下： x<-2或{x<-2 {x>0 ,AB=|3-(-1)|=4<6, x>0. .在线段AB上找一点P使PA+PB=3+3=6 所以原不等式的解集为（一∞，一2）U(0,十∞). 是不可能的 ·19 高考总复习人教数学B版（新教材） 题后反思 数轴上基本公式的应用 上传器-宁如存在，求点上坐标，如不存在，时 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式 说明理由 求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式 解：设Cx),Ex),则AC-x-(-2)_1 BC x-1 =2x=-5,所 求相应点的坐标； (2)中点坐标公式可以解决三点共线问间题.其中已 以C(-5), 知两点坐标，可用公式求第三点的坐标 E在线段CD上，所以器=-子4d 3-x 跟踪训练 十20=3-x,x 1e(-5,3),.在线段CD 5 已知数轴上有点A(一2)，B(1),D(3),点C在射线 17 BA上，且有C合，同在线段CD上是否存在点 上存在点E 使CE、1 BC ED4 第6节 一元二次不等式的解法 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.一元二次不等式的解法，达 一元二次不等式、分式不等式 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等 式的过程，了解一元二次不等式的现实 成直观想象和数学运算的解法，及一元二次不等式的恒成 素养 立问题是高考的热点，常常与集合 意义 2.与一元二次不等式有关的运算、函数定义域求解、用导数求单 2.能借助二次函数求解一元二次不等式， 恒成立问题，提升直观想象调区间等问题结合考查.题型多样， 并能用集合表示一元二次不等式的 解集 和数学运算素养 选择题或填空题考查解法及恒成立 3.一元二次不等式的实际应问题，难度不大，属于低中档题，解 3.借助一元二次函数的图像，了解一元二 用，增强数学建模和数学运答题与导数结合，考查函数的单调 次不等式与相应函数、方程的联系 算素养 性，难度中等及以上，属于中高档题 夯实>必备知识 对应学生用书P17 教材夯实强基固本 必备知识 自主诊断 1.一元二次不等式的概念 [思考辨析] 一般地，形如a.x2十bx十c>0的不等式称为一元二 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 次不等式，其中a,b,c为常数，而且a≠0. 打“/”，错误的打“×” 2,用因式分解法解一元二次不等式 (1)若不等式ax2十bx十c<0的解集为(x1,x2),则 一般地，如果x1<x2,则不等式(x一x1)(x一x2）< 必有a>0. 0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(.x-x2)>0的 (2)若不等式a.x2十bx十c>0的解集是(-o∞，x1) 解集是(-o∞，x1)U(x2,十∞). 3.用配方法解一元二次不等式 U(x2,十o∞)，则方程a.x2十b.x十c=0的两个根是 一元二次不等式a.x2十b.x十c>0(a≠0)通过配方总 x1和x2 ( 是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然 (3)若方程a.x2+bx十c=0(a≠0)没有实数根，则不 后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的 等式a.x2十bx十c>0的解集为R. ( 解集 (4)不等式a.x2+b.x+c≤0在R上恒成立的条件是 重要线论 a<0且△=b2-4ac≤0. ( 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (5)若二次函数y=a.x2+bx十c的图像开口向下， 则不等式ax2+bx十c<0的解集一定不是空集. x二>0等价于(x-a)(x-b)>0. 1.x-b 2.二80等价于-ax-b)<0. 答案：(1)/ (2)√(3)×(4)×(5)/ [小题查验] 38≥0等价于202-20 1x-b≠0. 1.函数f(x)= 的定义域是( ln(-x2+4.x-3) 4.二g<0等价于{xax b)0, A.(-∞，1)U(3,十∞) B.(1,3) x-b {x-b≠0. C.(-∞，2)U(2,+∞) D.(1,2)U(2,3) 20·