第一章 第4节 不等式及其性质（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 日跟踪训练 I1= 39 所以原方程组的解是 1x2=3, 1.用适当的方法解方程组： 71y2=-1. 3(x+y)-4(x-y)=4, ① 3 x十y+-1 ② 2 ,(3,-1)} 6 所以方程组的解桑为仔一 3 解：由②X6,得3(x+y)+(x-y)=6.③ 方法二 由①得(x十y)2=4,即x十y=2或x+y =-2. 0-0得50ry)=2.即x-y=号 原方程组转化为十=2：或+)=一2， 起x-y=音代入国，得x十y器 1x-2y=5.1x-2y=5. 1 x2一3' 28 x十y一15' 7 解得13， x一15 y1=-1, 解方程组 得 3· 11 x-y= 6, =15 所以方程组的解集为{-)3-1} 所以原方程组的解集为 3.解方程组y-1, {(x-y)2-2(x-y)-3=0. ② ① 解：由②得(x-y-3)(x-y十1)=0.所以x-y-3 2.解方程组 2+2xy+y2=4, x-2y=5. ② =0或x-y+1=0. 解：方法一由②得x=2y十5③ 所以原方程组可化为两个方程组： 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 2-y=1,x2-y2=1, {x-y-3=0,{x-y+1=0. 整理，得3y+10y十7=0.解得1=-子 3 用代入消元法解方程组，分别 5 y2=-1. x1= 得 3 x2=-1, 把为= 号代入国，得x=日起为=-1代入 4 3y1 y2=0. ③，得x2=3. 所以原方程担的郑集为（得一号）（一10} 第4节 不等式及其性质 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.用不等式（组）表示不等关系，达成数学 不等关系、不等式的性质及应 1.了解现实世界和日常生活中 建模素养 用是高考的热点，高考中常以不等 的不等关系 2.比较两个数（式）的大小，发展逻辑推理式、不等关系为载体考查充要条件 2.了解不等式（组）的实际 背景 和数学运算素养 问题，有时以新概念（定义）比较两 3.不等式的性质及应用，提升逻辑推理和个数的大小，题型多以选择题为主， 3.掌握不等式的性质及应用 数学运算素养 题目难度不会太大 夯实>必备知识 对应学生用书P12 教材夯实强基固本 必备知识 2.不等式的性质 1.比较实数a,b的大小 性质1：如果a>b,那么a+c>b+c. 性质2：如果a>b,c>0,那么ac>bc. (1)文字叙述 性质3：如果a>b,c<0,那么ac≤bc. 如果a一b是正数，那么a>b;如果a一b等于零， 性质4：如果a>b,b>c,那么a>c.(传递性) 那么a=b;如果a一b是负数，那么a<b,反过来 性质5：如果a>b,则b<a;反之如果b<a,则a>b. 也对. 推论1：如果a十b>c,则a≥c一b.(不等式的移项 (2)符号表示 法则) a-b>0台a>b;a-b=0台a三b;a-b<0台 推论2：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(同向 a <b. 可加性) ·14 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 推论3：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 解析：A[M-N=x2+x+1= x1) 推论4：如果a>b>0,那么a”>b"(n∈N,n>1). +)+> 推论5：如果a>b>0,那么Wa>b 0,所以M>N.] 2.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶 重要结论 不等式的一些常用性质 时，应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等 1.倒数性质 式就是 ( 1 (1)a>b,ab>0→ A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40km/h D.40 km/h (2)a<0<b→1<1 解析：D[由汽车的速度v不超过40km/h,即小 于等于40km/h.即v≤40km/h.] (3)0axb或axb0→ 111 bx a 3.(教材改编)已知a,b,c满足c<b<a且ac<0,则 2.有关分数的性质 下列选项中不一定能成立的是 若a>b>0,m>0,则 A.c<b B.6-4>0 aa c (1)真分数的性质 66+m,bbm (b-m>0). c D.a-c<o ac aa+m'a-a-m (2)假分数的性质 解析：C[因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a> aa十m,a<a-m bb+mib b-m (b-m>0). 0,所以S<么，6一a>0,a二c<0,但b2与42的关 aa’c ac 自主诊断 系不确定，故<不一定成立] ◆[思考辨析] 4.(教材改编)若一受<a<K受，则&一月的取值范 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X” 围是 (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数， 解析：由-专<a<受一吾<-K受a<得-元 不等号方向不变 <a-B<0. (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( 答案：(-元，0) (3)同向不等式具有可加和可乘性. ( (4)a>b>0,c>d>0→4>b. ( dc 5已知a>6>0.且c>>0,则，√骨与，的大小关 (5)若ab>0,则a>b91<1 系是 ( ab' 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/ (5)/ 解折：a>6>0,6≥d0号>>0， ◆[小题查验] 1.(教材改编)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大 小关系是 ( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关 跃升>关健能力 对应学生用书P13 层级突破素养提升 专点1用不等式（组）表示不等关系（基础点） x+y100, 1.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表： 600.x+700y≥56000， 解析：依题意，有800x十400y≥62000， 食物种类 甲 x≥0， 维生素类型 y≥0， 维生素A(单位/kg) 600 700 x+y≤100， 6x+7y≥560， 维生素B(单位/kg) 整理化简得 800 400 2x+y≥155， 设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多100kg x≥0，y≥0. 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单 「x+y≤100 位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满 6.x+7y≥560 答案： 足的所有不等关系为 2x+y≥155 x≥0，y≥0 15· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元 销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减 (2)解：-a+a)=a 1-a -1-a1 少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每 -=1十a 提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商 ①当a=0时，1-4 品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于 300元的不等关系为 ②当a1,且a0时，产。之0，。>1+a 解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少 1<1+a @当>1时2。<0，己0 t-10×10件，因此，每天的利润为(x-8)[100一 1 O[互动探究] 10(x一10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以 若将本例(1)中a1,a2∈(0,1)这个条件去掉，又将 表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)]≥300.即 如何判断M,N的关系？ x2-28x+190≤0，同时10≤x≤20. 解：作差，即M-N=(a1-1)(a2-1) 答案：x2-28.x十190≤0(10≤x≤20) ①当a1a2∈(-∞，1)时，(a1-1)(a2-1)>0, 题后反思 即M>N; 用不等式（组）表示不等关系的常见类型及解题 ②当a1,a2∈(1，+o∞)时，(a1-1)(a2-1)>0, 策略 即M>N; (1)常见类型 ③当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于或等 ①常量与常量之间的不等关系； 于1时，(a1-1)(a2-1)≤0，即M≤V. ②变量与常量之间的不等关系； 综上，当a1,a2∈(-o∞，1)或a1,a2∈(1，+o∞)时， ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系. M>N,当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于 或等于1时，M≤N. (2)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量； 方法指导 ②选择其中起关键作用的未知量，设为x,再用 比较大小的常用方法 x来表示其他未知量； (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. ③根据题目中的不等关系列出不等式（组）. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小 提醒：(1)在列不等式（组）时要注意变量自身的 关系；④得出结论. 范围，解题时极易忽略，从而导致错解. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. (2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等 式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数 跟踪训练 学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系 已知实数a、b、c,满足b+c=6-4a十3a2,c-b=4 如表： -4a+a2,则a、b、c的大小关系是 ( A.c≥b>a B.a>c≥b 大于， 小于， 大于等 小于等 C.c>b>a D.a>c>b 文字语言 高于， 低于， 于，至 于，至 解析：A[.c-b=4-4a十a2=(2-a)2≥0， 少，不 超过 少于 多，不 .c≥b.(b+c)-(c-b)=2a2+2,.b=a2+1, 低于 超过 .b-a=a2-a+1>0,.b>a.] 符号语言 ≥ 春点3 不等式的性质及应用 ◆[命题角度]判断或证明不等式是否成立（基础点） 专点2 比较两个数（式）的大小（重难点） 1.(2022·上海卷)若a>b>c>d,则下列不等式恒成 立的是 [典例](1)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N=a1 A.a+d>b+c B.a+c>b+d 十a2一1，则M与N的大小关系是 C.ac>bd D.ad-be A.M<N B.M>N 解析：B[对于A,令a=2,b=1,c=一1，d=-2, C.M=N D.不确定 满足a>b>c>d,但a十d=b十c,故A错误； (2)已知a≠1且aeR,试比较已a与1+a的 对于B,a>b>c>d,即a>b,c>d,∴.由不等式 大小 的可加性可得，a十c>b十d,故B正确； [解析](1)B[因为M-N=a1a2-a1-a2+1 对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b> =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), c>d,但ac=bd,故C错误； 又a1a2∈(0,1)，所以a1-1<0,a2-1<0, 对于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b 所以(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.] >c>d,但adl<bc,故D错误.] ·16 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 2.若a>0>b>-a,c<<0,则下列结论：①ad>bc; [解析]法一：设f(-2)=mf(-1)十nf(1)(m, @号+2<0：@a->6-d:@ad-c)>6d- n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)十n(a十b), Bp 4a-26=(m+n)a+(n-m)b. 中成立的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 于是得m十n=4 1n=1, 解析：C[法一：a>0>b,c<d<0, nm=-2'解得m=3 .f(-2)=3f(-1)+f(1). ∴.ad<0,bc>0, 又，1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴.ad<bc,故①错误 a>0>b>-a,.a>-b>0.c<d<0, .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. .-c>-d>0, 法二：由1)=a一6 .a(-c)>(-6)(-d),:ac+bd<0,:a 1f(1)=a+b d c ac十bd<0,故②正确。 a=2-1)+f] 得 cd c<d,.-c>-d.a>b, 6=2f1)-f-1] .a+(-c)>b+(-d), ∴.f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). a-c>b-d,故③正确. 又1≤f(-1)≤2,2f(1)≤4， :a>b,d-c>0,.a(d-c)>b(d-c), .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. 故④正确. [答案][5,10] 法二：取特殊值.门 方法指导 题后反思 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围， (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断 但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性 或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大 的性质. 了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要 围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通 判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到 与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假， 过“一次性”不等关系的运算求解范围， 当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数 跟踪训练 函数，指数函数的性质等. 已知-1<x<4,2<y<3,则x一y的取值范围是 ◆[命题角度2]求某些代数式的取值范围（综合点） ,3x十2y的取值范围是 [典例们设f(.x)=a.x2十b.x,1≤f(-1)≤2,2≤f(1) 解析：-1<x<4,2<y<3,.-3<-y<-2, ≤4，则f(一2)的取值范围是 .-4<x-y<2. [破题关键点]一是将f(-2)用f(-1)和f(1) 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12 表示出来；二是求f(-2)=4a-2b在 4<2y<6, 1Sf(-1)≤2，即在{4条件下的最值， .1<3.x+2y<18. (2≤f(1)≤4， 答案：(-4,2)(1,18) 第5节 不等式的解集 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 求解不等式的解集与不等式组的解 1.会求解一元一次不等式及一元一次求解不等式的解集与不等式组的 集，解绝对值不等式等是高考的热 不等式组的解集 解集，提升数学运算的核心素养， 点，常与其他知识结合命题，各种题 2.能借助绝对值的几何意义求解含绝解绝对值不等式达成逻辑推理和 型均有可能出现，难度中等属于低 对值的不等式的解集 数学运算的核心素养 中档题 夯实必备知识 对应学生用书P14 教材夯实强基固本 必备知识 微思考 1.不等式的解集与不等式组的解集 若不等式无解，其解集怎么表示？ (1)不等式的解集：不等式的所有解组成的集合. 提示：若不等式无解，则其解集可表示为心. (2)不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到 2.绝对值不等式 的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为 (1)一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 不等式组的解集. ·17·