第2章 第4节 指数与指数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数专题，涵盖有理指数幂运算、指数函数图像及性质等核心考点，按“概念—运算—图像—性质—应用”逻辑层次梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从根式到指数函数的完整知识体系，突破运算技巧与图像应用难点。 资料以数学运算、直观想象、逻辑推理素养为导向，创新设计“思考辨析+典例精讲+互动探究”教学活动，如通过图像分析解决指数不等式问题培养直观想象，设置分层练习（基础查验、综合应用、真题演练），确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第4节　指数与指数函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 4．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养． 2．指数函数的图像及应用，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　幂的运算性质、指数函数的图像和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图像的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 1．有理指数幂 (1)一般地，an中的a称为底数，n称为指数． (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． ①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0. ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． (3)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 一般地，根式具有以下性质： ①()n＝a.②＝ (4)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定＝；当没有意义时，称没有意义． 对于一般的正分数，也可作类似规定，即＝()m＝.但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义． 负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝. (5)有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，(as)t＝as t，(ab)s＝asbs. 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是 　增函数　 在(－∞，＋∞) 上是　减函数　 1．()n＝a(n∈N＋)． 2.＝n为偶数． 3．底数a的大小决定了图像相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图像越高． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与()n都等于a(n∈N＋)．(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)化简－(－1)0的结果为(　　 ) A．－9　　　 B．7　　 C．－10　　 D．9 解析：B　[原式＝－1＝8－1＝7.] 2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图像之间的关系是(　　 ) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：A　[∵y＝x＝2－x， ∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．] 3．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案：C 4．(2023·天津卷，3)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　[由y＝1.01x在R上递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在(0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.] 5．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝　________　. 答案：2或 　　　　　根式与有理数指数幂的运算(基础点) 答案： 答案：－ 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 　指数函数的图像及应用(综合点) [典例]　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是(　　) [解析]　A　[将函数解析式与图像对比分析， 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．] (2)(2024·长春市模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞)　　　　　 B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 核心素养 直观想象——函数图像在不等式中的具体应用 信息提取 信息解读 直观想象 存在正数x 存在正数x，即x>0，体现在图像上就是y轴的右侧 将不等式2x(x－a)<1变形为x－a<x 2x(x－a)<1成立 题干给出的不等式2x(x－a)<1不易求解，可转化为两个基本初等函数构成不等式x－a<x 画出y＝x的图像 考虑利用初等函数的图像解决，即转化为直线y＝x－a在(0，＋∞)上，有一部分在曲线y＝x的下方 画出直线y＝x－a的图像，满足在y轴的右侧，有一部分在曲线y＝x的下方 求a的 取值范围 观察图像，写出满足的条件，即可求得结果 根据在同一平面直角坐标系内直线y＝x－a与y＝x的图像，列出有关a的不等式，求得结果 [解析]　D　[第一步　将不等式2x(x－a)<1变形为两个基本初等函数构成的不等式 不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<x. 第二步　画出函数y＝x与y＝x－a的图像 在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝x的图像．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方． 第三步　观察图像，列出有关a满足的条件 观察可知，有－a<1，所以a>－1.] (3)(2024·衡水市模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是　________　. [解析]　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案]　[－1,1] [互动探究] 1．若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是　________　. 解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1) 2．若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是　________　. 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 3．若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是　________　. 解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折过来得到的． 当a＞1时，两图像只有一个交点，不合题意，如图(1)； 当0＜a＜1时，要使两个图像有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图(2)． 综上，a的取值范围是. 答案： 　　 指数函数图像可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图像与性质问题 对指数型函数的图像与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图像数形结合求解． 易错警示：应用指数函数的图像解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图像的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论． 1．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　 ) 解析：D　[法一：当a＞1时，函数y＝ax－是增函数，且其图像过点(－1,0)，排除A，B项，当0<a<1时，函数y＝ax－是减函数，且其图像可视为是由函数y＝ax的图像向下平移个单位长度得到的，结合各选项知选D. 法二：因为函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图像必过点(－1,0)，所以选D.] 2．方程2x＝2－x的解的个数是　________　. 解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图所示)． 由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：1 　指数函数的性质及应用(应用点) ◆[命题角度1]　比较指数式的大小　 1．(2024·海南统考)下列大小关系不正确的是(　　) ◆[命题角度2]　简单的指数方程或不等式的应用　 2．(2024·济宁期末)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 解析：A　[2x－2y<3－x－3－y⇒2x－3－x<2y－3－y⇒2x－<2y－. 设f(x)＝2x－，易知f(x)是定义在R上的增函数，故由2x－<2y－可得x<y，所以y－x>0⇒y－x＋1>1，从而ln(y－x＋1)>0.] ◆[命题角度3]　探究指数型函数的性质　 3．(多选)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．图像关于y轴对称 B．图像关于原点对称 C．在(－∞，0)上单调递增 D．f(x)恒大于0 解析：ACD　[函数f(x)＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ①因为f(x)＝＝· f(－x)＝·＝－·＝·＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数，所以A正确； ②由①知，函数f(x)为偶函数，所以B不正确； ③当x＞0时，y＝＞0，且y＝在(0，＋∞)单调递减， 当x＞0时，y＝1＋＞0， 且y＝1＋在(0，＋∞)单调递减， 而f(x)＝，故f(x)在(0，＋∞)单调递减， 又由f(x)为偶函数，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以C正确； ④由①知，f(x)＝，当x＜0，＜0，ex＋1＞0，ex－1＜0， 故此时f(x)＞0.故D正确．] 4．已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [思路导引]　(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，由此可求出a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y＝的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0. 　　 　指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $