第1章 第4节 不等式及其性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第4节不等式及其性质 ★[课程标准]1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式（组）的 实际背景.3.掌握不等式的性质及应用. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 自主诊断 1.比较实数a,b的大小 ◆[思考辨析] (1)文字叙述 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 如果a一b是正数，那么a b;如果a一b等于 零，那么a b:如果a一b是负数，那么ab, 里打“√”，错误的打“×” 反过来也对. (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 (2)符号表示 数，不等号方向不变 ) a-b>0台ab;a-b=0台a b;a-b<0台 (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( a b. (3)同向不等式具有可加和可乘性. ) 2.不等式的性质 性质l:如果a>b,那么a+cb+c. (4)a>b>0,c>d>0→g>b ( ) d 性质2：如果a>b,c>0,那么acbc. c 性质3：如果a>b,c<0,那么acbc. (5)若ab>0,则a>b=1<1 性质4：如果a>b,b>c,那么ac.(传递性) 性质5：如果a>b,则b<a;反之如果b<a,则a>b. ◆[小题查验] 推论l:如果a十b>c,则ac-b.(不等式的移项 1.(教材改编)设M=x2,N=一x一1，则M与N 法则) 的大小关系是 () 推论2：如果a>b,c>d,那么a+cb+d.(同向 A.MN B.M=N 可加性) 推论3：如果a>b>0,c>d>0,那么ac bd. C.M<N D.与x有关 推论4：如果a>b>0,那么a”(n∈N,n>1). 2.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶 推论5：如果a>b>0,那么Wa5 时，应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不 重要结论 等式就是 不等式的一些常用性质 A.v<40 km/h B.v>40 km/h 1.倒数性质 C.v≠40km/h D.v≤40km/h (1)a>b,ab>0→ 1<1 3.(教材改编)已知a,b,c满足c<b<a且ac<0, (2)a<0<b1<1 则下列选项中不一定能成立的是 () 1<1<1 A. B.b-a>o (3)0<a<x<b或a<x<b<0→ aa bx a 2.有关分数的性质 C.2 D.a-c<o ac 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数的性质 4.(教材改编)若一受<a<K受，则a一B的取值范 bb十m,b>b-m(b-m>0). 围是 aa十m'aa-m (2)假分数的性质 a>a+m,4<a-m(b-m>0). 5已知a>>0,且>d>0,则V号与，臣的大小 bb+m’bb-m 关系是 ·12 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春原1)用不等式（组）表示不等关系（基础点） 专点2 比较两个数（式）的大小（重难点） 1.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表： [典例](1)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N= a1+a2一l1,则M与N的大小关系是 食物种类 甲 乙 A.M<N B.M>N 维生素类型 C.M-N D.不确定 维生素A(单位/kg) 600 700 2已知a≠1且a∈R,试比较已a与1+a的 维生素B(单位/kg) 800 400 大小 设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多 [尝试解答] (1) 100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有 (2) 56000单位维生素A和62000单位维生素B,则 x,y应满足的所有不等关系为 2.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10 元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售 价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品 的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若 把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的 利润不低于300元的不等关系为 题后反思 。[互动探究] 用不等式（组）表示不等关系的常见类型及解 若将本例(1)中a1,a2∈(0,1)这个条件去掉，又 题策略 将如何判断M,N的关系？ (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； ②变量与常量之间的不等关系； ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系. (2)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量； ②选择其中起关键作用的未知量，设为x,再 用x来表示其他未知量； ③根据题目中的不等关系列出不等式（组） 提醒：(1)在列不等式（组）时要注意变量自身 方法指导 的范围，解题时极易忽略，从而导致错解 比较大小的常用方法 (2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等 式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系 结论 如表： (2)作商法：①作商；②变形：③判断商与1的大 大于等 小于等 小关系；④得出结论， 大于， 小于， 文字 高于， 低于， 于，至 于，至 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小 语言 少，不 多，不 超过 少于 跟踪训练 低于 超过 已知实数a、b、c,满足b+c=6-4a十3a2,c一b 符号 ≥ ≤ 4一4a+a2,则a、b、c的大小关系是 () 语言 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 13· 高考总复习人教数学B版（新教材） 专点3 不等式的性质及应用 ◆[命题角度2]求某些代数式的取值范围 ◆[命题角度]判断或证明不等式是否成立 (综合点) [典例]设f(x)=a.x2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤ (基础点) f(1)≤4，则f(一2)的取值范围是 1.(2022·上海卷)若a>b>c>d,则下列不等式恒 破题关键点了一是将f(=2)用f(=1)和 成立的是 f(1)表示出来；二是求f(-2)=4a-2b在 A.a+d>b+c B.a+c>b+d 11≤f(-1)≤2， 1≤a-b≤2， C.ac>bd 即在 D.ad>bo 2≤a+b≤4 条件下的 2≤f(1)≤4， 2.若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论：①ad> 最值. c,②分+2<0：®u-c>6-d,④ad-c) [尝试解答] 方法指导 b(d一c)中成立的个数是 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但 A.1 B.2 C.3 D.4 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二 题后反思 是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性” 断或反例说明.常用的推理判断需要利用不 不等关系的运算求解范围， 等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把 跟踪训练 要判断的命题和不等式性质联系起来考虑， 已知一1<x<4,2<y<3,则x一y的取值范围 是 ,3.x十2y的取值范围是 找到与命题相近的性质，并应用性质判断命 题真假，当然判断的同时还要用到其他知识， C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关4 比如对数函数，指数函数的性质等」 第5节 不等式的解集 ★[课程标准]1.会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集.2.能借助绝对值的几何意义求解 含绝对值的不等式的解集. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.数轴上两点间的距离及中点坐标公式 1.不等式的解集与不等式组的解集 (1)距离公式：一般地，如果实数a,b在数轴上对应 (1)不等式的解集：不等式的 组成的集合. 的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的 (2)不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得 长为 到的不等式组来说，这些不等式的解集的 (2)中点坐标公式：A(a),B(b),线段AB的中点M 称为不等式组的解集。 对应的数为x,则x 微思考 自主诊断 若不等式无解，其解集怎么表示？ ◆[思考辨析] 提示：若不等式无解，则其解集可表示为心 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里 2.绝对值不等式 打“√”，错误的打“X” (1)一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不 (1)在数轴上从点A(一2)引一线段到B(1),再 等式 同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为4. (2)当m>0时， ( 关于x的不等式|x|>m的解集为 (2)不等式-2.x-4>0, 的解为x<一2. x-3≤0 关于x的不等式|x|<m的解集为 14将它们代入②中，得3k一4k十10k= 18,解得k=2. 所以x=6,y=8,x=10, 所以原方程组的解集为{(6,8,10)}. (2)[解]将②代入①，整理得x x一2=0，解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2;x=一2 时，y=一1. 所以原方程组的解集为{(1,2)， (-2,-1). (3)[解]由①得(x-4y)(x+y) =0, 所以x一4y=0或x十y=0, 由②得(x+2y)2=1, 所以x十2y=1或x十2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0,x-4y=0, 1x+2y=1,{x+2y=-1, x十y=0,x十y=0, x十2y=1,x十2y=-1 解这四个方程组，得原方程组的四个 解是： 2 2 x13 x= 3 x3 1 y3=1, y=6,y2= 6 x1=1, y1=-1 所以方程组的解集为 {(得)(÷-吉）) （-1D.1.-D} 跟踪训练 1.解：由②×6，得 3(x+y)+(x-y)=6.③ ③-①，得5(x-y)=2, 申号 把x一y= 代入@，得x十y得 28 x17 解方程组 x十y 15 得 11 y=1 所以原方轻组的解桑为{（贵局）} 2.解：由②得x=2y十5③ 将③代入①，得(2y十5)2+2y(2y 5)+y2=4. 整理，得3y2十10y十7=0. 7 解得y=一了=一1 把y=- 子代入®，得x= 1 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是 1 x1=3 2=3, 7.y=-1. y1=一3’ 所以方程组的解集为 参考答案 3.解：由②得(x-y-3)(x-y十1)=跟踪训练 A 0.所以x-y-3=0或x-y十1=0.考点3命题角度1 所以原方程组可化为两个方程组： 1.B2.C x2-y=1,1x2-y2=1, 命题角度2 典例][解析]法一：设f(一2)= (x-y-3=0,{x-y+1=0. mf(一1)十nf(1)(m,n为待定系 用代入消元法解方程组，分别得 数)，则4a一2b=m(a-b)十n(a十 5 x1= b), 3 ∫x2=-1, 即4a-2b=(m十n)a十(n-m)b. y 4y2=0. 3 于是得m十n=4。解得{m=3, n-m=-2, n=1, 所以原方程组的解集为 .f(-2)=3f(-1)+f(1). {(停号)(-10 又.1f(-1)2,2f(1)4, .5≤3f(-1)十f(1)≤10， 第4节 故5≤f(-2)≤10. 夯实·必备知识必备知识 法二：由f1)=a-6, f(1)=a+b, 1.(1)>= (2)> a= 2.> > <> > 2-1D+1], 得 b=2f1)-f(-1D], 思考辨析(1)× (2)× (3)× ∴.f-2)=4a-2b=3f-1)+f(1). (4)/(5)/ 又.1f(-1)2,2f(1)4, 小题查验 .53f(-1)十f(1)10, 1.A2.D3.C 4.(-π，0) 故5≤f(-2)10. 5√>√E [答案][5,10] 跟踪训练 (-4.2)(1.18) 跃升·关键能力考点1 第5节 「x十y100 夯实·必备知识必备知识 6x+7y≥560 1.(1)所有解(2)交集 1. 2.x+y≥155 2.(2)(-o,-m)U(m,十o) x≥0，y≥0 (-m,m） 3.1Da-6(2空 2.x2-28.x+190≤0(10x≤20) 思考辨析 (1)/(2)/(3)X 考点2 小题查验 [典例](1)B[因为M-N=a1a2 1.C2.D3.{x-6x<4}4.{xx≥ a1-a,+1=a1(a2-1)-(a2-1)= 1}5.[-4,1 (a1-1)(a2-1),又a1,a2∈(0,1)， 跃升·关键能力考点1 所以a1-1<0,a2-1<0, [典例][解]分别求出各不等式的 所以(a1-1)(a2-1)>0, 解集，再求出各个解集的交集，并在 所以M>N.] 数轴上表示出来即可， (1)解不等式2x十3>1，得x>-1, (2)[解]“1a 1 (1十a)=1-a} a 解不等式x-2<0,得x<2, 0当=0时。=0心 则不等式组的解集为{x一1<x<2. 1=1十a. 将解集表示在数轴上如图所示： ②当a<1,且a≠0时，2a>0, -1012x _>1十a. .1-a 2)解不等式1-宁> 2 a 1-∠1十a. 得x>2, ③当a>1时已a<0… 解不等式x十8<4x-1,得x>3, 互动探究 则不等式组的解集为{xx>3}, 解：作差，即M-N=(a1-1)(a-1). 将不等式组的解集表示在数轴上如 图所示： ①当a1,a2∈(-o∞，1)时， (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; ②当a1,a2∈(1，十∞)时， -10 12 345x (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; 跟踪训练 ③当a1,a2中一个小于或等于1，另 解：(1)解不等式①，得x<一6，解不 一个大于或等于1时，(a1-1)(a2 等式②，得x≥2.把不等式①和②的 1)0,即MV 解集在数轴上表示出来： 综上，当a1,a2∈(-o∞，1)或a1,a2 (1,十o∞)时，M>N,当a1,a2中一个 -6 0 2 x 小于或等于1，另一个大于或等于1 由图可知，解集没有公共部分，不等 时，MV. 式组无解，即不等式组的解集为⑦. ·411·