第1章 第3节 等式与方程(组)的解集-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 于0，因为ac0s号∈[-a,a],所以 …A≤f(x)m=2√2， g(x)mm=-a十5-2a=5-3a>0, 故实数入的取值范围为(-∞，2√2]. (2)当x∈[0,3]时，f(x)mim=f(0)= 所以0<a< 三，故B错误；对选项 0,当x∈[1,2]时，g(x)mim=g(2)= 1 C,只需f(x)在[1,2]上的最小值大 于g(x)的最大值，f(x)in=-1, 4 -m,由f(x）mn≥g(x）in, g(x)ms=a十5-2a=5-a,即-1> 得0≥ 1 4 一m,所以m≥ 4 5-a,a>6,故C正确；对选项D,只 需g（x)in≤f(x)mn'g（x）mx≥ [答案] (1)AB (2) fx)m-=f2)=2-号 互动探究 解析：当x∈[1,2]时，g(x)mx=g(1) 1,所以1∈[1,2]，f(x1)∈[-1， x[0,1]时，受∈[0受]所以 =-m, g(x)在[0,1]上单调递减，g（x)m 由f(x)m≥g(z)mx,得0≥2 g(1)=5-2a,g(x)mx=g(0)=5 1 a,所以g(x)∈[5-2a,5-a],由题 意，{881→3≤a≤4，D 答案：[2，十） 正确.门 跟踪训练1.B2.(-4,0] 考点2命题角度1 第3节 1.A2.C3.A 夯实·必备知识必备知识 命题角度2 [典例][解析]由(x一a)(x-a 4.两个不相等两个相等的实数根 无实数根6.得到的交集 1)>0,得x>a十1或xa,由题意， 思考辨析(1)×(2)/ (3)× 得{x-2≤x≤10}{xx>a十1， (4)×(5)/ 或x<a},所以a十1<-2或a>10, 小题查验 即a<-3或a>10. 1.C2.A3.C 4.-25.{(4.5, [答案](-0∞，-3)U(10,+∞) 3.5,8)} 互动探究 跃升·关键能力考点1 解析：由(x-a)(x-a-1)≥0，得x 命题角度1 ≥a十1或x≤a,由题意得{x-2< x<10}{xx≥a十1，或x≤a}.所 解：1)x(x-2-1）=0, 以a十1-2，或a≥10，即a-3, 或a≥10. 答案：(-∞，-3]U[10,十∞) 跟踪训练B 所以x1=0,x2= 受，所以该方粒的 考点3命题角度1 1.D2.C3.B 解集为{0，受} 命题角度2 (2)(x-3)2十2(x-3)=0,(x-3) 1.D2.B3.C4.C (x-3十2)=0， 命题角度3 所以x-3=0或x-1=0, [典例][解析](1)，若“3xo∈ 所以x1=3,x,=1, [22小使得2x-,+1<0成 所以该方程的解集为{3,1} (3)[3(2x+3)+2(2x-5)][3(2x 立”是假命题， 3)-2(2x-5)]=0, 即“3，∈[22]使得>2十 所以(10x一1)(2x十19)=0，所以 10x-1=0或2x十19=0，所以x1= 成立”是假命题， x 1022= 。所以该方程的解集 即等价于“Hx∈ [2]俊得≤ 为编} 2红十成立”是真命题 命题角度2 [典例][解](1)去括号，得4-30 令f(x)=2x十 1 十3y=5y.移项，得3y-5y=30一4. x 合并同类项，得一2y=26.系数化为 由对勾函数可知，当 e[z]时 1,得y=-13. 所以该方程的解集为{-13} f(z 在[]上单递，在 (2)去分母，得 2(2x-1)=(2x+1)-6. （]小上单调培， 去括号，得4x-2=2x十1-6 移项，得4x一2x=1一6十2. 合并同类项，得2x=一3. 当x 时，函数f(x)取最小值， 3 2 系数化为1，得x=一立· 即f(x)in= =2√2， 所以方程的解集为{} ·410· 跟踪训练 解：解方程，4-8=-十2， 3 2 去分母，得 2(x-4)-48=-3(x十2)， 去括号，得2x-8-48=-3x-6, 移项、合并同类项，得5.x=50,系数 化为1，得x=10. 把x=10代入方程4x-(3a+1)= 6x+2a-1, 得4×10-(3a十1)=6×10十2a一 1,解得a=-4. 当a=-4时a-=-4- a 考点2命题角度1 [典例】[解】解不等华式x一号<1， 得<1+受，而不等式x-号<1的 解为<1，所以1十号=1，解得a= 0,所以一元二次方程的根的判别式 △=a2一4=一4<0，所以关于x的一 元二次方程x2十a.x十1=0没有实 数根. 跟踪训练 1.解：△=(-2)2-4×3k=4(1-3k). （1)因为方程有两个不相等的实数 根，所以△>0， 即4(1-3k)>0,所以k<3: .1 (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以△=0，即4(1一3k)=0, 所以=子 命题角度2 [典例2][解]△=[-(k+1)]-4× (e+1）=2k-3,4≥0,6≥2 (1)设方程的两个根为x1,2,x1x2 =子2+1=5， k2=16,k=4或k=-4(舍). (2)①若x1≥0，则x1=x2, 4=0,6= 5,+25=0, 方程为x-是x+6 1号>0满足 ②若x1<0,则x1十x2=0, 即k十1=0，k=-1. 与k≥号不符， 所以k≠一1，所以k= 3 21 跟踪训练 2.(1)C(2)-3或9 考点3 [典例](1)[解]设号=￥=音=k (k为常数，k≠0)， 则x=3k,y=4k,之=5k. 将它们代入②中，得3k一4k十10k= 18,解得k=2. 所以x=6,y=8,x=10, 所以原方程组的解集为{(6,8,10)}. (2)[解]将②代入①，整理得x x一2=0，解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2;x=一2 时，y=一1. 所以原方程组的解集为{(1,2)， (-2,-1). (3)[解]由①得(x-4y)(x+y) =0, 所以x一4y=0或x十y=0, 由②得(x+2y)2=1, 所以x十2y=1或x十2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0,x-4y=0, 1x+2y=1,{x+2y=-1, x十y=0,x十y=0, x十2y=1,x十2y=-1 解这四个方程组，得原方程组的四个 解是： 2 2 x13 x= 3 x3 1 y3=1, y=6,y2= 6 x1=1, y1=-1 所以方程组的解集为 {(得)(÷-吉）) （-1D.1.-D} 跟踪训练 1.解：由②×6，得 3(x+y)+(x-y)=6.③ ③-①，得5(x-y)=2, 申号 把x一y= 代入@，得x十y得 28 x17 解方程组 x十y 15 得 11 y=1 所以原方轻组的解桑为{（贵局）} 2.解：由②得x=2y十5③ 将③代入①，得(2y十5)2+2y(2y 5)+y2=4. 整理，得3y2十10y十7=0. 7 解得y=一了=一1 把y=- 子代入®，得x= 1 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是 1 x1=3 2=3, 7.y=-1. y1=一3’ 所以方程组的解集为 参考答案 3.解：由②得(x-y-3)(x-y十1)=跟踪训练 A 0.所以x-y-3=0或x-y十1=0.考点3命题角度1 所以原方程组可化为两个方程组： 1.B2.C x2-y=1,1x2-y2=1, 命题角度2 典例][解析]法一：设f(一2)= (x-y-3=0,{x-y+1=0. mf(一1)十nf(1)(m,n为待定系 用代入消元法解方程组，分别得 数)，则4a一2b=m(a-b)十n(a十 5 x1= b), 3 ∫x2=-1, 即4a-2b=(m十n)a十(n-m)b. y 4y2=0. 3 于是得m十n=4。解得{m=3, n-m=-2, n=1, 所以原方程组的解集为 .f(-2)=3f(-1)+f(1). {(停号)(-10 又.1f(-1)2,2f(1)4, .5≤3f(-1)十f(1)≤10， 第4节 故5≤f(-2)≤10. 夯实·必备知识必备知识 法二：由f1)=a-6, f(1)=a+b, 1.(1)>= (2)> a= 2.> > <> > 2-1D+1], 得 b=2f1)-f(-1D], 思考辨析(1)× (2)× (3)× ∴.f-2)=4a-2b=3f-1)+f(1). (4)/(5)/ 又.1f(-1)2,2f(1)4, 小题查验 .53f(-1)十f(1)10, 1.A2.D3.C 4.(-π，0) 故5≤f(-2)10. 5√>√E [答案][5,10] 跟踪训练 (-4.2)(1.18) 跃升·关键能力考点1 第5节 「x十y100 夯实·必备知识必备知识 6x+7y≥560 1.(1)所有解(2)交集 1. 2.x+y≥155 2.(2)(-o,-m)U(m,十o) x≥0，y≥0 (-m,m） 3.1Da-6(2空 2.x2-28.x+190≤0(10x≤20) 思考辨析 (1)/(2)/(3)X 考点2 小题查验 [典例](1)B[因为M-N=a1a2 1.C2.D3.{x-6x<4}4.{xx≥ a1-a,+1=a1(a2-1)-(a2-1)= 1}5.[-4,1 (a1-1)(a2-1),又a1,a2∈(0,1)， 跃升·关键能力考点1 所以a1-1<0,a2-1<0, [典例][解]分别求出各不等式的 所以(a1-1)(a2-1)>0, 解集，再求出各个解集的交集，并在 所以M>N.] 数轴上表示出来即可， (1)解不等式2x十3>1，得x>-1, (2)[解]“1a 1 (1十a)=1-a} a 解不等式x-2<0,得x<2, 0当=0时。=0心 则不等式组的解集为{x一1<x<2. 1=1十a. 将解集表示在数轴上如图所示： ②当a<1,且a≠0时，2a>0, -1012x _>1十a. .1-a 2)解不等式1-宁> 2 a 1-∠1十a. 得x>2, ③当a>1时已a<0… 解不等式x十8<4x-1,得x>3, 互动探究 则不等式组的解集为{xx>3}, 解：作差，即M-N=(a1-1)(a-1). 将不等式组的解集表示在数轴上如 图所示： ①当a1,a2∈(-o∞，1)时， (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; ②当a1,a2∈(1，十∞)时， -10 12 345x (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; 跟踪训练 ③当a1,a2中一个小于或等于1，另 解：(1)解不等式①，得x<一6，解不 一个大于或等于1时，(a1-1)(a2 等式②，得x≥2.把不等式①和②的 1)0,即MV 解集在数轴上表示出来： 综上，当a1,a2∈(-o∞，1)或a1,a2 (1,十o∞)时，M>N,当a1,a2中一个 -6 0 2 x 小于或等于1，另一个大于或等于1 由图可知，解集没有公共部分，不等 时，MV. 式组无解，即不等式组的解集为⑦. ·411·高考总复习人教数学B版（新教材） 第3节等式与方程（组）的解集 ★[课程标准]1.掌握等式的性质及常用的恒等式.2.从函数观点看一元二次方程，会结合一元二次函 数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.3.会用代 入消元法或加减消元法解二元一次方程组，能灵活解二元二次方程组. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 5.一元二次方程根与系数的关系 1.等式的性质 若x12是一元二次方程ar2十bx十c=0(a≠0)的 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式 两个根，则x1十2=一b, a 仍成立， 6.方程组的解集 用公式表示为：如果a=b,则对任意c,都有a十 方程组中，由两个方程的解集 称为 c=b+c; 这个方程组的解集. (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数 解方程组常用的方法：(1)加减消元，(2)代入 式，等式仍成立. 消元. 用公式表示为：如果a=b,则对任意不为零的 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方 c,都有ac=bc. 程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将 2.恒等式 其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任 能用这些未知数表示出来。 意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等 重要结论 式两边恒等。 1.常用的恒等式： 3.方程的解集 (1)a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)： 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的 (2)(x+y)2=x2+2xy十y2(两数和的平方公式)； 未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的 (3)(a+b)c=ac+bc; 集合称为这个方程的解集。 (4)t3+1=(t+1)(2-t+1). 4.2-4ac(△)的取值与根的个数间的关系 2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下 变形： b2-4ac(△) 根的情况 (1)x2+x2=(x2+2x1x2+x2)一2x1x2=（x1+ x2)2-2x1x2; 方程a.x2+bx+c=0(a≠0)有 (2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; 的实数根，即x1= (3)川xm-2=√/-x2)-√+x2)2-41x2; b2-4ac>0 -b+√2-4ac x2= -b-√b2-4ac (4)1+1 x1十x2 2a 2a X1X2 (5)22+1 x号十x号 (x1十x2)2-2c1x2 X1X2 方程a.x2+bx+c=0(a≠0)有 自主诊断 b2-4ac=0 ◆[思考辨析] ,即x1=x2=一 6 Za 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“X” (1)一元二次方程的解集中一定有两个元素. ( b2-4ac<0 方程ax2十bx十c=0(a≠0) (2)3-1=(t-1)(2+t+1). ( (3)a2+8ab-33b2=(a+3b)(a-11b).( ) 8· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 3.x-2y+7=0, 2.若代数式x2一6x十5的值是12，则x的值为 (4)方程组 1 的解集为{-1,2}. ( 6.x+2y+5=0 A.7或-1 B.1或-5 ( ) C.-1或-5 D.不能确定 (5)关于x的一元二次方程3.x2+4.x一5=0有两 (y=x, 3.方程组 x2+y2=2 的解集是 个不相等的实数根. ( A.(±1，±1) B.{(±1，±1)} ◆[小题查验] C.{(-1,-1),(1,1)} D.(-1,-1),(1,1) 1.若4x2一3(a一2)x十25是完全平方式，则a的 4.已知一元二次方程x2一2x一1=0的两根分别为 值为 ) BS 1x2,则1+1 A号 X1 x2 [x+y-之=0， ① 5.方程组y十之-x=7, ②的解集为 D.不存在 之+x-y=9③ 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1) 等式的性质与方程的解集 ◆[命题角度2]一元一次方程的解集 ◆[命题角度1刂用因式分解法解一元二次方程 [典例]求下列方程的解集： 用因式分解法求下列方程的解集： (1)4-3(10-y)=5y: (2)2x1-2x+1-1. 3 6 (2)(x-3)2+2x-6=0: [尝试解答] (3)9(2x+3)2-4(2.x-5)2=0. 题后反思 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积： (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再 题后反思 求解 解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不 提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会 到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤 遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将 (1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整 其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取 数.注意根据分数的基本性质，分子、分母必 公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂 须同时扩大同样的倍数. 的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解 (2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注 因式 意括号外的系数及符号. ·9。 高考总复习人教数学B版（新教材） 日跟踪训练 !跟踪训练 如果方程82的解集与方程4红 1.已知关于x的一元二次方程3x2一2x十k=0,根 3 据下列条件，分别求出k的范围. (3a+1)=6.x+2a-1的解集相同，求式子a- (1)方程有两个不相等的实数根； 0 (2)方程有两个相等的实数根。 的值 春点2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ◆[命题角度1]方程根个数的判断及应用 ◆[命题角度2]应用根与系数的关系求字母 [典例]若关于x的不等式x一号<1的解为x< 系数的值或范围 1,试判断关于x的一元二次方程x2+a.x+1=0 [典例2]已知关于x的方程x2一(k+1)x+ k2 4 的根的情况。 [尝试解答] 十1=0，根据下列条件，求出k的值. (1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根x1,x2,满足|x1|=x2. [尝试解答] 方法指导 对于一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，有 (1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2 -b±Vb2-4ac 2a (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根x1 题后反思 x2=-2 b 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的 值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件， (3)当△<0时，方程没有实数根. 即△≥0. 10· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 跟踪训练 题后反思 2.(1)关于x的方程x2-(m+6)x+m2=0有两个 1.消元法解三元一次方程组的两个注意点 相等的实数根，且满足x1十x2=x1x2,则m的 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般 值是 选择消去后可以使计算量相对较小的未知数. A.-2或3 B.3 (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达 C.-2 D.-3或2 不到消元的目的 (2)已知方程2x2一(k+1)x十k+3=0的两根之 2.有一个二元一次方程的二元二次方程组的实 差为1，则k的值为 数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的 吉点3 方程组的解集 判别式来判断. 3.解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”， ① [典例] (1)解方程组 3 4 转化的方法是“降次”“消元”， x-y+22=18. ② 跟踪训练 [尝试解答] 1.用适当的方法解方程组： [3(x+y)-4(x-y)=4, ① x十y+义=1. ② 2 6 (x2+y2=5, ① (2)求方程组 的解集 y=x+1 ② 2+2xy+y2=4, ① [尝试解答] 2.解方程组 2y=5. ② -y2=1, ① 3.解方程组 (x-y)2-2(x-y)-3=0 ② -3xy-4y2=0, ① (3)解方程组 x2+4xy+4y2=1. ② [尝试解答】 C温馨提店 学习至此，请完成配套训练 课时冲关3 11