第五章 三角函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学《三角函数》单元卷，通过扇形计算、简谐运动、摩天轮模型等情境，考查数学抽象、运算推理及模型意识，注重基础巩固与实际应用结合，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|扇形面积、象限角、诱导公式|基础概念辨析，如第3题结合三角函数与充分条件判断| |多选|3/18|三角函数符号、函数性质|多角度考查，如第11题分析弹簧振动的周期与振幅| |填空|3/15|终边点求三角函数、周期计算|核心公式应用，如第12题关联扇形周长与圆心角| |解答题|5/77|扇形综合、图像性质、摩天轮模型|分层综合，如第19题摩天轮高度建模，体现数学应用与运算推理|

第五章 《三角函数》单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 2．角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 8．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 10．设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 13．已知角终边上一点，则________________ ． 14．函数（）的最小正周期是，则的值为________； 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 16．已知，计算下列各式的值． (1)； (2)． 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 19．北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第五章� 三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B B B A A AD ACD 题号 11 答案 BCD 1．A 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得， 所以，该扇形圆心角的弧度数为. 2．B 【知识点】确定已知角所在象限 【详解】，所以所在的象限为第二象限． 3．A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】已知，若，则， 所以“”可以推出“”； 已知，若，则， 所以“”不能推出“”； 故“”是“”的充分不必要条件. 4．B 【知识点】诱导公式一、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 5．B 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 6．B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【详解】. 7．A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数图象的横坐标伸缩变换规律，原函数横坐标变为原来的（纵坐标不变）时，将原函数自变量替换为即可得到变换后的解析式. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到, 8．A 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 9．AD 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用第四象限角的三角函数符号判断各选项. 【详解】因为是第四象限角，所以，，. A.，正确. B.，与矛盾，错误. C. 由平方关系知，在第四象限不等于，错误. D. 由且得，正确. 【点睛】第四象限：正弦负、余弦正、正切负；开方得绝对值. 10．ACD 【知识点】求函数的零点、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 11．BCD 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】对于A：令，代入运算求解即可；对于BCD：根据简谐运动的振幅、周期和频率分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：当时，则，故A错误； 对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确； 对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率， 所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确. 12．6 【知识点】弧长的有关计算 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. 13． 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】角终边上一点，则。 14． 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值 【详解】由题意得，，得 15．(1) (2) 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 16．(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）解法一：分式上下同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； （2）解法一：将原式变形为分母为的分式，再将分子分母同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； 【详解】（1）解法一：； 解法二：因为，所以，即， 所以； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时； 若在第四象限，则， 此时 综上； （2）解法一：； 解法二：因为，所以，即， ； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时， 若在第四象限，则，， 此时， 综上； 17．(1) (2)． 【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值； （2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为． （2）由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． 18．(1) 最小正周期为，最大值为，最小值为； (2) 单调递增区间为，； (3) 在区间上的最大值为，最小值为。 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【详解】（1）因为， 所以. ，. （2）令， 解得单调递增区间为，. （3）因为，所以，则, 所以，. 19．(1) (2)分钟 (3)或，高度差最大值为25米 【知识点】和差化积公式、利用给定函数模型解决实际问题、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出、，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，作差后结合三角函数的最值求解出高度差的最大值及此时的时间. 【详解】（1）由题意：，解得，又，则， 又时在最低点，最低点高度为米，故， 代入得，又，故， 所以， 化简得：； （2）由题意，代入解析式得， 得，解得， 令，，则， 由，得， 代入，解得，则， 故游客的最佳视觉效果的持续时间为分钟； （3）摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为，两人间隔5个座舱， 圆心角， 设游客乙乘坐时间t（）分钟后，乙的高度， 则甲的高度， 他们的高度差为 ， 因为，当或，取得最大值1， 即当或时，高度差最大值为25米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $