第五章三角函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 三角函数单元卷，覆盖弧长面积、函数图像、三角恒等变换等核心知识，结合《九章算术》弧田面积、港口水深等文化与实际情境，考查数学眼光、思维及语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|扇形圆心角、正切函数性质、图像平移|第7题结合锐角三角形考查正切关系，体现能力梯度| |多选|3/18|象限角、扇形面积、三角函数模型|第10题港口水深问题，融合实际应用与数学建模| |填空|3/15|对数方程、弧田面积、函数单调性|第13题引用《九章算术》，传承数学文化| |解答|5/77|三角恒等变换、函数拟合、抽象函数|16题生猪价格成本拟合，19题抽象函数与三角综合，突出创新应用与逻辑推理|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第五章　三角函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.4　　B.2　　C.　　D. 2.函数f(x)=·sin πx在区间[-3,3]上的图象大致为(　　) 　　 　　 3.已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z) B.函数f(x)的图象的对称中心是,k∈Z C.∀a∈R,直线y=a与函数y=f(x)图象的两个相邻交点之间的距离是π D.函数y=|f(x)|的图象的对称轴是直线x=+,k∈Z 4.将函数f(x)=sin(ω>0)的图象上所有的点向右平移个单位长度,或者向左平移个单位长度,两者的图象完全重合,则ω的最小值是(　　) A.　　B.1　　C.2　　D.3 5.已知sin=,那么cos=(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 6.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则实数ω的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.在锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是(　　) A.　　B.3　　C.　　D.12 8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时, f(x)=若关于x的方程λln|x|=f(x)至少有8个实数解,则实数λ的取值范围是(　　) A.　　B.　　 C.∪　　D.∪ 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.-是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=- D.若β为锐角,则2β为钝角 10.某港口某天的水深y(单位:m)与时间x(单位:h,0≤x<24)近似满足函数y=Asin+6(A>0,ω>0).该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为6 h,且中午12时的水深为8 m.为保证安全,当水深不低于8 m时,港口才允许船只出入,则下列说法正确的是(　　) A.ω= B.水位最高时的水深为10 m C.该港口这一天上午8时时允许船只出入 D.这一天内港口允许船只出入的时长为8 h 11.如图,点A,B,C是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=相邻的三个交点,且BC-AB=, f=0,则(　　) A.ω=4 B. f= C.函数f(x)在上单调递减 D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位长度,得到一个偶函数的图象,则|θ|的最小值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.  13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为,扇形的弧长为2π,则此弧田的面积为　　　　.  14.已知ω∈N*,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的可能取值的个数为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答.  条件①:角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心在原点的单位圆交于点M; 条件②:角α满足3sin2α-2cos2α+1=0. (1)求tan α的值; (2)求sin αcos α-sin2α的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)某地区近几年每年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年1月到4月的统计情况: 月份 1 2 3 4 收购价格(元/斤) 8 9 8 7 养殖成本(元/斤) 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<0);②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,根据近几年的趋势,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请你为上述函数关系选择适当的函数模型,并求出函数模型的解析式; (2)按照你选定的函数模型,分析今年该地区生猪养殖户在5,6,7,8月份分别是盈利还是亏损. 17.(15分)如图所示,扇形OAB的半径为1,∠AOC=α,∠BOC=β,且α,β∈,点P在线段OA(不含线段端点)上运动,T为线段OC上一点. (1)若3cos 2α-4sin α-1=0,且tan=7,求sin(α+β)的值; (2)若α+β=,且sin α·sin β=,求sin α+sin β的值; (3)若α=β,且sin α=,求AT+PT的最小值. 18.(17分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)≤; (3)若关于x的方程9[f(x)]2+acos-a-=0在上有四个不同的实数根,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y+1), f(3)=2,当x>3时, f(x)>2. (1)求f+f+f+…+ f的值; (2)证明: f(x)在R上单调递增; (3)设θ为锐角,求f(12+4cos 4θ)-f的最大值. 参考答案 1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2. 2.B　∀x∈[-3,3],都有-x∈[-3,3],且f(-x)=·sin(-πx)=-·sin πx=-f(x),所以函数y=f(x),x∈[-3,3]为奇函数,其图象关于原点对称,排除A和C; 当2<x<3时,>0,sin πx>0,所以f(x)=·sin πx>0,排除D. 3.D　对于A,函数f(x)=tan=-tan, 因为tan在每个单调区间内是递增的, 所以f(x)在每个单调区间内是递减的,不存在单调递增区间,因此A错误; 对于B,令2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心是,k∈Z,因此B错误; 对于C,函数f(x)的最小正周期T=,所以直线y=a与函数y=f(x)图象的两个相邻交点之间的距离是,因此C错误; 对于D,易知y=|tan x|的图象的对称轴方程是x=,k∈Z,令2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,因此D正确. 4.C　将函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度,可得y1=sin=sin的图象, 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y2=sin的图象, 两个函数图象完全重合,即sin=sin, 可得ωx++-=2kπ,k∈Z, 解得ω=2k,k∈Z, 因为ω>0,所以当k=1时,ωmin=2,即ω的最小值是2. 考场速决　依题意得+=π是函数f(x)的最小正周期的整数倍,即k×=π,k∈Z,因此ω=2k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值是2. 5.C　解法一:因为sin=sin=cosα-=, 所以cos=cos=2cos2-1=2×-1=-. 解法二:设β=α+,则α=β-,且sin β=, 因此cos=cos=cos(2β-π)=-cos 2β=-(1-2sin2β)=-. 6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,∴f(x)max=, f(x)min=-, 若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则f(x1)=-, f(x2)=. 当0<x<,ω>0时,<ωx+<+,∴+>,解得ω>. 7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos Bcos C, ∴tan B+tan C=3,∴0<tan Btan C≤=,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立. 易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=·tan Btan C==3+, ∵tan A>0,tan B>0,tan C>0,∴tan Btan C-1>0, ∴1<tan Btan C≤,∴3+≥3+=, ∴tan Atan Btan C的最小值为. 8.A　由f(2-x)=f(2+x),可得f(x)的图象关于直线x=2对称,因为函数f(x)为偶函数,所以f(2-x)=f(x-2), 则f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)是周期为4的周期函数. 易知函数y=λln|x|是偶函数,因为关于x的方程λln|x|=f(x)至少有8个实数解,所以由对称性可知,当x>0时,y=f(x)与y=λln x的图象至少有4个交点. 画出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当λ>0时,只需λln 5≤1,解得0<λ≤, 当λ<0时,只需λln 6≥-1,解得-≤λ<0, 当λ=0时,显然符合题意. 综上,λ的取值范围是. 9.BC　对于A,因为-=-2π且为第二象限角, 所以-是第二象限角,A错误; 对于B,由已知得该扇形的半径r==3, 因此该扇形的面积S=πr=π×3=,B正确; 对于C,由三角函数的定义得cos α==-,C正确; 对于D,若β=,则2β=,为直角,D错误. 10.ABD　对于A,依题意得=6,所以ω=,因此A正确; 对于B,当x=12时,y=Asin+6=8,解得A=4, 所以y=4sin+6,则ymax=4+6=10, 所以水位最高时的水深为10 m,因此B正确; 对于C,D,令y=4sin+6≥8,得sinx+≥, 因为0≤x<24,所以≤x+<, 所以≤x+≤或≤x+≤, 解得0≤x≤4或12≤x≤16, 所以该港口这一天上午8时时不允许船只出入,这一天内允许船只出入的时长为8 h,因此C错误,D正确. 11.ACD　设函数f(x)的最小正周期为T,由题图知,AB+BC=T,AB=, 方法技巧:作出函数y=sin x与y=的图象,由两图象的相邻两交点间的距离分别是与,进而得出AB与周期的关系  从而BC=,又BC-AB=,所以-==, 所以T==,解得ω=4,因此A正确; f(x)=sin(4x+φ),由f=0及题图可得4×+φ=-π,解得φ=-, 因此f(x)=sin,所以f=sin=cos =-,因此B错误; 当x∈时,4x-∈, 因为y=sin x在上单调递减,所以f(x)在上单调递减,因此C正确; 令4x-=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z), 因此离原点最近的一条对称轴为直线x=,即|θ|的最小值为,因此D正确. 12.答案　 解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x, 即tan x=,所以x=kπ+,k∈Z.① 易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ<x<2kπ+,k∈Z.② 由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为xx=2kπ+,k∈Z. 13.答案　3π- 解析　设扇形的半径为r,则扇形的弧长为×r=2π,解得r=3,故扇形的面积为×2π×3=3π,取AB的中点E,连接OE,如图所示: 因为OA=OB=3,所以OE⊥AB, 又因为∠AOB=,所以∠OAE=, 所以OE=OA=,AE=OAcos =3×=, 则AB=2AE=3, 所以S△AOB=AB·OE=×3×=, 因此弧田的面积S=3π-. 14.答案　4 解析　不妨先取ω>0, 由x∈,得ωx+∈, 令t=ωx+,则y=sin t在上单调递减,所以k∈Z, 解得+8k≤ω≤4+6k,k∈Z, 又ω>0,所以ω∈∪, 又ω∈N*,所以ω的可能取值为2,3,4,10,共4个. 15.解析　(1)选条件①:由已知可得x2+=1,则x=±,(3分) 由三角函数的定义可得tan α=±.(6分) 选条件②:由3sin2α-2cos2α+1=0, 得3sin2α-2cos2α+sin2α+cos2α=0,可得4sin2α=cos2α,(3分) ∴tan2α=,即tan α=±.(6分) (2)无论选择①还是②均可得到tan α=±, sin αcos α-sin2α==,(9分) 当tan α=时,==;(11分) 当tan α=-时,==-.(13分) 16.解析　(1)由题可知,收购价格每四个月重复出现,应选模型①, 由题表中数据可知,养殖成本逐月递增,应选模型②,(2分) 对于模型①,由已知可得函数的最小正周期为4,即=4,所以ω=, 又函数的最大值为A+B=9,最小值为-A+B=7,所以A=1,B=8,所以y=sin+8,(4分) 又图象过点(2,9),所以sin(π+φ)+8=9,则π+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-, 所以模型①y=sin+8=-cos x+8(x∈N*,1≤x≤12).(6分) 对于模型②,由题表中数据知y=log2(x+a)+b的图象过点(1,5),(3,6), 所以解得 所以模型②y=log2(x+1)+4(x∈N*,1≤x≤12).(10分) (2)由(1)设y1=-cos x+8,y2=log2(x+1)+4, 易知当y1>y2时盈利,当y1<y2时亏损. 当x=5时,y1=8>y2=log26+4; 当x=6时,y1=9>y2=log27+4; 当x=7时,y1=8>y2=log28+4; 当x=8时,y1=7<y2=log29+4.(14分) 这说明今年该地区生猪养殖户在5,6,7月份可能盈利,8月份可能亏损.　(15分) 17.解析　(1)3cos 2α-4sin α-1=3(1-2sin2α)-4sin α-1=0,整理得3sin2α+2sin α-1=0, 又α∈,所以sin α=,因此cos α=.(2分) 由tan==7,得tan β=, 则 解得sin β=,cos β=,(4分) 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.(5分) (2)由α+β=,得β=-α, 故sin αsin β=sin αsin=sin αcos α-sin2α =sin 2α-=cos-=cos2α--=,则cos2=, 由α∈,得α-∈, 则cos=,(8分) 所以sin α+sin β=sin α+sin=cos α+sin α=cos=.(10分) (3)过点A作AA0⊥OB于点A0,在OB上取点P0,使得OP0=OP,连接P0T, 由α=β,得OC平分∠AOB,则PT=P0T,AT+PT=AT+P0T≥AA0,当且仅当P0与A0重合,且T为AA0与OC的交点时取等号,(12分) 由sin α=,α∈,得cos α=, 因此sin∠AOA0=sin 2α=2sin αcos α=,AA0=OA·sin∠AOA0=, 所以AT+PT的最小值为.(15分) 18.解析　(1)由题图可知A=,周期T=×4=π,因此ω==2,(2分) 所以f(x)=cos(2x+φ), 因为f(x)的图象过点,所以=cos, 因此+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,则f(x)=cos.(4分) (2)由f(x)≤得cos≤, 即cos≤,(6分) 则+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以不等式的解集为x+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.(8分) (3)由9[f(x)]2+acos-a-=0可得cos2+acos-a-=0, 即sin2+acos-a-=0, 即1-cos2+acos-a-=0, 即cos2-acos+a+=0,(10分) 令t=cos,则t2-at+a+=0, 由x∈,得2x+∈,则t∈, 令m=2x+,则m∈,则t=cos m,画出t=cos m在m∈上的图象,如图, 要使cos2-acos+a+=0在上有四个不同的实数根, 则需t2-at+a+=0在t∈上有两个不相等的实数根,(13分) 故t2+=a在t∈上有两个不相等的实数根, 当t=时,t2+=a无解,故t≠, 则=a,令t-=s, 则t=s+,s∈且s≠0, 因此a==s++在s∈∪上有两个不相等的实数根, 设g(s)=s++,s∈∪, 则问题转化为g(s)的图象与直线y=a有两个交点. 由对勾函数的性质可知g(s)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,(15分) 易得g=-+×+=-,g=-+×+=-1,画出y=g(s)的图象,如图, 由图可得-<a<-1.(17分) 19.解析　(1)在f(x)+f(y)=f(x+y+1)中,令x=y=1,得f(1)+f(1)=f(3)=2,则f(1)=1, 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x+1)=f(1)=1,(2分) 易知∀i∈Z,cos +cos =0, 故f+f=1, 所以f+f+f+…+f=1 012×f+f=1 012.(4分) (2)证明:由已知得f(x+y+1)-f(y)=f(x), 任取x1,x2∈R,且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1-1),(6分) 结合f(3)=2可知f(x2-x1-1)=f(x2-x1-1)+f(3)-f(3)=f(x2-x1+3)-2, 因为x2>x1,所以x2-x1+3>3, 所以f(x2-x1+3)>2,即f(x2-x1+3)-2>0, 即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1), 所以f(x)在R上单调递增.(8分) (3)设u(θ)=f(12+4cos 4θ)-2f, 由f(x)+f(y)=f(x+y+1)得2f=f, 所以u(θ)=f(12+4cos 4θ)-f =f,(11分) 设h(θ)=4cos 4θ--+9, 则h(θ)=4cos 4θ--+9 =4cos 4θ-+9 =4cos 4θ-+9 =4cos 4θ-+10 =4(1-2sin22θ)-+10 =14-2, 因为θ为锐角,所以θ∈, 所以2θ∈(0,π),所以sin 2θ∈(0,1]. 由基本不等式可得4sin22θ+≥2=4,当且仅当sin 2θ=,即θ=或θ=时取“=”, 所以h(θ)≤14-2×4=6.(14分) 由于f(x)单调递增,所以u(θ)=f(h(θ))≤f(6), 故u(θ)的最大值为f(6), 由已知得f(5)=f(1+3+1)=f(1)+f(3)=1+2=3, 所以f(2)+f(2)=f(2+2+1)=f(5)=3,则f(2)=, 所以f(6)=f(2+3+1)=f(2)+f(3)=+2=, 所以u(θ)的最大值为, 所以f(12+4cos 4θ)-f的最大值为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $