精品解析：浙江省乐清市实验中学2021-2022学年 九年级下学期解题策略研究(三)数学试题

2022学年第二学期九年级解题策略研究（3）数学卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷，草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题．每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 在下列各数中，比小的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 截至2022年5月25日，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约3375000000剂次．数据3375000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，已知等边三角形的边长为5，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 如图，在中，，，以其三边为边向外分别作正方形，连结，点在外接圆上，，过点作交边于点，交边于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：________． 12. 一个不透明的袋子里装有2个黄球、3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是____． 13. 不等式组的解集为________． 14. 如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 15. 如图，在矩形中，，分别为，的中点，将四边形绕点顺时针旋转得到四边形．当点落在上时，图中阴影多边形的面积分别记为，，若，则的值为________． 16. 某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算和化简 （1）． （2）． 18. 如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 19. 如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． （1）在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． （2）在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 20. 新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8 （1）填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 （2）结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 21. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求该抛物线的表达式和顶点坐标． （2）点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 22. 如图，在菱形中，点，在对角线上（点在点左侧），连结，，，，连结并延长交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，菱形的面积为10，求菱形的周长． 23. 端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 （1）求关于的函数表达式． （2）已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 24. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连结．动点在边上从点运动到点，连结，以为直径作，分别交，，于点，，，连结交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求的长． （3）连结，，当点与中两个顶点共线时，求的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第二学期九年级解题策略研究（3）数学卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷，草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题．每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 在下列各数中，比小的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较．根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”，即可判断得到答案． 【详解】解：∵，， ∴排除， ∵，，， ∴，． 2. 截至2022年5月25日，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约3375000000剂次．数据3375000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：． 3. 某几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，这个几何体的主视图为： 4. 将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式． 【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】成绩较好对应平均数较大，状态稳定对应方差较小，结合两个指标筛选即可． 【详解】解：∵甲、丁的平均数为，乙、丙的平均数为，， ∴甲、丁的成绩较好， ∵甲的方差为，丁的方差为，， ∴甲的状态更稳定，应选甲． 6. 如图，已知等边三角形的边长为5，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 7. 如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 8. 若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 10. 如图，在中，，，以其三边为边向外分别作正方形，连结，点在外接圆上，，过点作交边于点，交边于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可知，而在中，由勾股定理得，因此需要进一步结合条件再寻找关于的等量关系．首先连接，过点作，结合， ，可求出，，然后根据利用相似三角形的判定和性质得到一个关于的等式，进而使问题得解． 【详解】解：如图，连接，过点作， ， ， ． 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ． ，， ， ． 在 中，由勾股定理，得 ． 如图，分别过作，，交于点，， 过点作． 设，， 由等面积法可知 ， 则． 为等腰直角三角形， ，， ． ， ． 在 和 中 ， ， 同理可知 ， ， ． 在等腰直角三角形中， ， 同理可知在等腰直角三角形中， ， ． ， ， ． 在和中， ， ，即 ． 在中，由勾股定理得， ， ， 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；因此此题可根据提取公因式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为:． 12. 一个不透明的袋子里装有2个黄球、3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是____． 【答案】##0.3##30% 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求解． 【详解】解：∵袋子里装有2个黄球、3个红球和5个黑球， ∴袋子里共有10个球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是分别求出各个不等式的解集．先求出各个不等式的解集，再求出公共部分即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 14. 如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高为12，母线长为13， 圆锥的底面圆的半径， 该圆锥的侧面积为． 15. 如图，在矩形中，，分别为，的中点，将四边形绕点顺时针旋转得到四边形．当点落在上时，图中阴影多边形的面积分别记为，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，证明四边形是矩形，可知四边形是矩形，证明，得到，进而可知，设，则，，连接，作交于点H，根据平行线的性质及等边对等角得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将四边形绕点顺时针旋转得到四边形， ∴四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 即， ∴， 设， 则， 解得：， ∴，， 如图，连接，作交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 16. 某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 【答案】 ①. 29.4 ②. ## 【解析】 【分析】①连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作，构造直角三角形，解直角三角形求出吹风机最高点B到底座的距离； ②过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S，构造直角三角形，利用解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质求出吹风机最高点B到底座的距离． 【详解】①解：如下图所示，连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作， 则四边形是矩形， ， 由题意可知，，，， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 过点M作， 则， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ∴吹风机最高点B到底座的距离为； ②解：如图，过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S， ∴四边形是矩形， ∴，，， 过点M作交于点X，过点N作交于点Y， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴吹风机最高点B到底座的距离为． 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算和化简 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）， ， ， 又，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 19. 如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． （1）在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． （2）在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 【答案】（1）答案不唯一， （2）答案不唯一， 【解析】 【分析】（1）以为对角线，作矩形即可； （2）根据勾股定理可判断直角，根据割补法可判断面积，再根据题意画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8 （1）填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 （2）结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 【答案】（1）3；4.28；6 （2）从平均数看，九（2）班高于九（1）班，说明整体水平更高；从中位数看，九（2）班也高于九（1）班，说明九（2）班中等水平的学生成绩更高．综上，九（2）班团体成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念即可解答； （2）根据平均数和中位数作出判断即可． 【小问1详解】 解：九（2）班的成绩平均数为分； 根据扇形统计图可得九（1）班的学生数为偶数个，且中间两个数的成绩为分和分，则九（1）班的成绩的中位数为分； 在九（2）班的成绩中分出现次数最多，则九（2）班的成绩的众数为分； 【小问2详解】 略 21. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求该抛物线的表达式和顶点坐标． （2）点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： 【小问2详解】 解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 22. 如图，在菱形中，点，在对角线上（点在点左侧），连结，，，，连结并延长交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，菱形的面积为10，求菱形的周长． 【答案】（1）连交于点 菱形 ， 又 四边形为平行四边形 又 平行四边形为菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得，由得四边形是平行四边形，进而即可证明结论成立； （2）设，则，证，得即，解得，再由菱形的面积为，得，进而求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：菱形，菱形 ，，  设， 菱形 又，即 （负值已舍去） ， （负值已舍去） 菱形周长为． 23. 端午临近，某手工艺人用，两种规格的绒布片拼制成甲、乙两款粽子挂件进行销售，拼制每款粽子挂件所需不同规格绒布片用量如表所示．该艺人制作甲款粽子挂件个，乙款粽子挂件个，共用去种绒布3000片． 款式 种绒布（片） 种绒布（片） 甲款粽子挂件 30 20 乙款粽子挂件 15 30 （1）求关于的函数表达式． （2）已知每个甲款粽子挂件的利润为元（），每个乙款粽子挂件的利润为8元，假设两款粽子挂件均能全部卖出． ①当时，若要获得总利润不少于950元，则至少要用去绒布多少片？ ②该艺人现有种绒布数量在片（包含边界值），求加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）①片；②加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元 【解析】 【分析】（1）根据表格信息，可得，整理即可求解； （2）①设用去绒布片，根据题意列出不等式组，可得，，再根据一次函数的性质，即可求解；②设总利润为元，则，根据题意列出不等式组，可得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由表格可知，， ， 则关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①设用去绒布片， 根据题意，得，解得， ， ， 随的增大而减小， 当最大取100时，取得最小值，为片， 则至少要用去绒布片； ②设总利润为元， 则， ， ， 当时，，随的增大而减小， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 当时，元， 当时，，随的增大而增大，，时，取得最大值为元， 当时，取得最小值为元；当时，取得最大值为元； 综上可知：当，时，取得最小值为元；当，当时，取得最大值为元； 则加工销售这批粽子挂件所获利润的最大值为元，最小值为元． 24. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连结．动点在边上从点运动到点，连结，以为直径作，分别交，，于点，，，连结交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求的长． （3）连结，，当点与中两个顶点共线时，求的直径． 【答案】（1）证明：如图1，连结， 矩形， ，， 为直径， ， 四边形为矩形， ， 点是的中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2） （3）直径为或 【解析】 【分析】（1）连结，根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角，可证四边形为矩形，再证，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证； （2）连结，，先说明四边形为矩形，从而，根据“等角等弦”，得，进而，再利用“”得，可求，，设，则，根据勾股定理，列方程求解即可； （3）根据题意分类讨论：①当、、共线时，根据角之间的关系和等量代换，可得，从而，再利用弧之间的数量关系，可得，进而可求，，再根据相似三角形的判定和性质，可求，，最后根据勾股定理，即可求解；②当、、共线时，根据圆周角定理，可得，从而可得，进而，可求，，最后根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连结，， 为直径， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ∴ ， ， 又，， ， ， 矩形，矩形，，，点是的中点， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 则，解得， ； 【小问3详解】 解：①如图3，当、、共线时， 由（1）知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ，即， ， ， 在中，； ②如图4，当、、共线时， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中，； 综上，直径为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $