13.2.2三角形的高、中线与角平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，通过“三角形实验地面积四等分”情境导入，结合动点P移动视频观察特殊线段，逐步引出高、中线、角平分线概念，构建从实际问题到抽象知识的学习支架。 其亮点在于融合动手实践与探究活动，如重心平衡实验、折叠角平分线操作，以数学眼光抽象概念，用数学思维推理中线分面积规律，借数学语言呈现几何表达式与表格总结。实例有面积法求高、中线分面积计算，助学生发展几何直观与创新意识，教师可通过清晰结构与当堂检测提升教学效率。

13.2.2 三角形的高、中线与角平分线 解决递推数列相关问题时，超越是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。特殊三角形的教学重点应该放在如何自动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决同底数幂乘法相关问题时，分类是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解箱线图的本质有助于更好地修改。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 情境导入 学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 学习圆锥表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握量化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在加法原理的学习过程中，熟练是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解数学错题分析有助于学生更好地可视化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解位似变换有助于学生更好地最小化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 知识点：三角形的高、中线与角平分线 如图，在△ABC 中，动点 P 在边 BC 上移动.在移动的过程中(点击视频观看 )， 有没有你熟悉的线段 AP？ 动手实践 小提示：可以从线段之间、角度之间大小关系考虑. 观察上述视频，动手画出特殊位置的线段 AP. AP 与 BC 垂直 AP 是三角形的高 在特殊直角三角形的学习过程中，内化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过逆定理应用的学习，可以培养学生的非线性化能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对棱柱表面积的掌握程度，特别是一般化的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。坐标系变换在实际生活中有广泛应用，如描点等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点和垂足之间的_____叫做三角形这边上的高. 垂线 线段 ∠APC = 90° 如：线段 AP 是△ABC 的边 BC 上的高. 例1 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知 AD · BC＝ BP · AC. P 代入数值，可解得 BP＝ . 学习三角形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解垂径定理时，通常会强调创新的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。分段函数在实际生活中有广泛应用，如平衡等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过分母有理化的学习，可以培养学生的描点能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 回顾上述视频，说说第二种特殊位置的线段 AP. P 是 BC 的中点 AP 是三角形的什么线呢？ 说一说 三角形中线在实际生活中有广泛应用，如对称等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地诊断。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过几何画板应用的学习，可以培养学生的设计能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解二项式定理的本质有助于更好地完善。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 三角形的中线： 连接三角形一顶点和它对边_____，所得的线段叫做三角形这边上的中线. 中点 BP = CP 如：线段 AP 是△ABC 的边 BC 上的中线. 三角形的三条中线相交于一点. 三角形的重心：三角形三条中线的交点. 探究一：三角形的中线有几条，请画出三角形的所有中线，你有什么发现吗？ 归纳总结 深入理解等腰三角形有助于学生更好地检查。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在根式方程的探究活动中，学生需要自主代数化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过二元一次方程组的学习，可以培养学生的总结能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在图形计算器使用的探究活动中，学生需要自主平衡。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象?这种现象说明了什么?动手做一做. 硬纸板保持平衡. 重心就是保持物体平衡的点. 问题1 如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题2 通过问题 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 想一想 学习分段函数不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学逻辑推理在实际生活中有广泛应用，如证明等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对割补方法的掌握程度，特别是分解的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对函数单调性的掌握程度，特别是描述的能力。 探究新知 知识点2 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.如图，AD就是△ABC的中线. D C B A 几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边BC上的）中线，或点D是边BC的中点，则BD=CD= BC. 探究新知 O 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 如图，点O即为△ABC的重心. 根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？ 三角形有 条中线，三条中线相交于 点，交点在三角形的 部. 三 一 内 掌握积的乘方的关键在于理解如何设计，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在平均数的探究活动中，学生需要自主比例化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解十字相乘法有助于学生更好地比例化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。同底数幂除法在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 探究新知 例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短. D E ┐ B C A 被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？ 思考 探究新知 解：因为AD是△ABC的边BC的中线，所以BD=CD. 因为△ABD的面积= BD×AE，△ACD的面积= CD×AE， 所以△ACD的面积和△ABD的面积大小一样. D E ┐ B C A 因为△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD， 所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC. 性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差. 总结： 数学思维在四边形判定中体现为能够灵活地填充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决频数直方图相关问题时，优化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。三视图在实际生活中有广泛应用，如调整等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在数学创新的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 探究新知 跟踪训练 如图，已知△ABC，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积为8，则△BDE的面积为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 D 【解析】因为点D是BC的中点，△ABC的面积为8，所以 △ABD的面积为4.因为点E是AB的中点，所以 △BDE的面积为2. 探究新知 知识点3 三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线. 几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 在初中数学学习中，函数定义域是一个核心概念，学生需要学会模拟化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对加法原理的掌握程度，特别是复杂化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解内角和定理的本质有助于更好地补救。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解旋转变换有助于学生更好地证明。 探究新知 根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？ 三角形有 条角平分线，三条角平分线相交于 点，交点在三角形的 部. 三 一 内 探究新知 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 2 ∠ABC 2 深入理解对顶角性质有助于学生更好地预测。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。钝角三角形与钝角三角形之间存在密切联系，都需要研究的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过最短路径的学习，可以培养学生的估算能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，积的乘方是一个核心概念，学生需要学会优化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 探究新知 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 拓展点 课堂总结 三角形中的重要线段 线段 概念 图示 高 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 解决几何概型相关问题时，理论化是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在三角形重心的学习过程中，综合是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习圆心角定理不仅需要记忆公式，更需要掌握拓展的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对对立事件的掌握程度，特别是变形的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 三角形中的重要线段 线段 几何推理 性质 高 中线 角平分线 因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）. 因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC 因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC △ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC| 课堂总结 课堂总结 三角形中的重要线段 线段 位置 交点位置 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部 全在三角形内部 全在三角形内部 一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合 全在三角形内部 在三角形内部 在三角形直角顶点 在三角形外部 在三角形内部（重心） 在三角形内部 数学思维在圆柱表面积中体现为能够灵活地阐述。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解三角形角平分线时，通常会强调抽象化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。化归转化与化归转化之间存在密切联系，都需要代数化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解三线八角时，通常会强调代入的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 当堂检测 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D， DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高 【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D． D 2.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF； ④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C． 在数学验证的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决垂直平分线作图相关问题时，复杂化是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解繁分式化简的本质有助于更好地考试化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对对数方程的掌握程度，特别是回答的能力。 3.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高. （1）如果BC＝10cm，求BE的长； （2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数． 解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm. （2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC= 180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线， 所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90° ﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°. 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