专题06 运用圆的周长和面积解决问题七大类型（易错专项训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

**基本信息** 围绕圆的周长和面积，通过七大易错类型构建从单一图形到组合图形的递进训练体系，突出实际应用与几何直观、空间观念的核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |训练一|5题|圆中方/方中圆面积计算|从圆与正方形关系切入，建立半径与边长联系| |训练二|5题|圆周长实际应用|结合生活场景（树干、喷灌等）强化周长公式应用| |训练三|5题|含圆组合图形周长|整合直线与曲线段，培养组合图形分解能力| |训练四|5题|圆面积基础应用|覆盖半圆、裁剪等基础题型，巩固面积公式| |训练五|5题|圆环面积计算|通过花坛、草坪等场景掌握圆环面积推导| |训练六|5题|最大面积问题|探究长方形、正方形、圆的面积优化，发展推理意识| |训练七|5题|含圆组合图形面积|综合运用分割、补全法，提升复杂图形分析能力|

专题06 运用圆的周长和面积解决问题七大类型 易错专项训练一 根据圆中方或方中圆的面积解决问题 易错专项训练二 根据圆的周长解决问题 易错专项训练三 根据含圆的组合图形的周长解决问题 易错专项训练四 根据圆的面积解决问题 易错专项训练五 根据圆环的面积解决问题 易错专项训练六 求最大面积问题 易错专项训练七 根据含圆的组合图形的面积解决问题 易错专项训练一根据圆中方或方中圆的面积解决问题 1．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】圆的直径20厘米，半径就是10厘米，先根据圆的面积公式计算圆的面积。 正方形的对角线等于圆的直径20厘米，把正方形看成2个完全相同的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是10厘米，用“×2”算出正方形面积。 最后用“用圆的面积－正方形的面积”据此可解答。 【详解】r＝20÷2＝10（厘米） （平方厘米） 20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝100×2 ＝200（平方厘米） 314－200＝114（平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 2．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米 【分析】由图可知，大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，求出大正方形的边长，根据“”求出大正方形的面积，连接大正方形的对角线，大正方形被分成两个完全相同的等腰直角三角形，斜边长度等于圆的直径，斜边上的高等于圆的半径，根据“”求出半径的平方，最后根据“”求出圆的面积。 【详解】 3＋2＋1＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 36÷2＝18（平方厘米） 解：设圆的半径为r厘米。 2r×r÷2＝18 2r2÷2＝18 r2＝18 3.14×18＝56.52（平方厘米） 答：圆的面积是56.52平方厘米。 3．在元旦庆祝活动中，乐乐用一张边长12厘米的正方形彩纸剪一个“外方内圆”窗花，请你求出正方形和圆之间部分的面积。 【答案】30.96平方厘米 【分析】根据题意可知，内圆的直径等于正方形的边长，所以内圆的半径＝直径÷2，据此求出内圆的半径；再根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据，分别求出内圆和正方形的面积，再作差，即可求出正方形和圆之间部分的面积。 【详解】12×12＝144（平方厘米） π×（12÷2）2 ＝π×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 144－113.04＝30.96（平方厘米） 答：正方形和圆之间的部分的面积是30.96平方厘米。 4．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】168.56平方厘米 【分析】解答这道题需明确：正方形的面积＝边长×边长；圆的面积。在正方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。题目中已知小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片，则圆的直径为28厘米，利用求出圆的半径后求出圆的面积。求出正方形面积后，用正方形面积减去圆的面积即可。 【详解】求圆的面积： （厘米） （平方厘米） 求正方形面积： （平方厘米） 求剩余部分面积： （平方厘米） 答：正方形纸剩余部分的面积是168.56平方厘米。 5．学校手工社团和书法社团联合制作窗花，他们先用圆形红纸镂空，剪出窗花的形状，然后写上祝福语送给敬老院，每张窗花的整体是一个圆形，圆内有一个最大的正方形（如下图），每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】观察图片，圆形窗花内部镂空的部分的面积等于圆的面积减去圆内最大正方形的面积。圆内最大正方形由两个面积相等的三角形组成。三角形的面积＝底×高÷2，则图中最大正方形的面积＝2×（底×高÷2）。观察图片可知，三角形的底为20厘米，高为20÷2＝10厘米。圆的直径已知，半径＝直径÷2。根据圆的面积＝π，代入数值计算即可。 【详解】 如图：圆内最大正方形由两个面积相等的三角形组成 所以，每张圆形窗花内部镂空的部分的面积为： ×π－2×［20×（20÷2）÷2］ ＝10×10×3.14－2×（20×10÷2） ＝100×3.14－2×（200÷2） ＝314－2×100 ＝314－200 ＝114（平方厘米） 答：每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是114平方厘米。 易错专项训练二根据圆的周长解决问题 6．绿化队的李叔叔为新栽的小树穿“防寒衣”。他用一条长9米的粗细均匀的草绳在一棵小树的树干上围了30圈，草绳还剩下0.63米。这棵小树的树干直径是多少米？（取3.1，得数保留两位小数） 【答案】0.09米 【分析】先用9减去草绳剩下的长度即可求出围了30圈用的长度，再除以30即可求出围1圈的长度，围1圈的长度就是这个圆的周长，根据圆周长公式：C=πd，把数代入即可求出直径。 【详解】9－0.63＝8.37（米） 8.37÷30＝0.279（米） 0.279÷3.1＝0.09（米） 答：这课小树的树干直径是0.09米。 7．神农公园有一个周长是31.4米的圆形草坪，准备在草坪上安装自动旋转喷灌装置，现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？应安装在哪个位置？ 【答案】选射程为5米的装置，安装在圆心位置 【分析】自动旋转喷灌装置旋转过程喷出的水形成一个圆形，若安装在草坪中央，那么能够将草坪全部喷灌到。神农公园的草坪周长已知，根据C＝2πr，求出半径，再用半径与喷灌设备的射程比较，射程最大程度接近半径即为可选的设备，据此解答。 【详解】 （米） 因为草坪半径是5米，所以选择射程是5米的喷灌设备即可，安装在圆形草坪的圆心处。 答：选择射程是5米的喷灌设备合适，安装在圆形草坪的圆心处即可。 8．一辆自行车，车轮的外直径是80厘米，如果它每分钟转200圈，通过一座长1004.8米的大桥，需要多少分钟？ 【答案】2分钟 【分析】车轮外直径80厘米，1米＝100厘米，所以80厘米换算为米是80÷100＝0.8米；车轮转一圈行驶的路程等于车轮的周长，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），可得车轮周长为：3.14×0.8＝2.512米。车轮每分钟转200圈，每分钟行驶路程＝周长×每分钟转的圈数，即：2.512×200＝502.4米/分钟。桥长1004.8米，根据时间＝路程（桥长）÷速度，用1004.8除以502.4计算即可解答。 【详解】1米＝100厘米 80÷100＝0.8（米） 3.14×0.8＝2.512（米） 2.512×200＝502.4（米/分钟） 1004.8÷502.4＝2（分钟） 答：通过这座大桥需要2分钟。 9．一位杂技演员在表演骑自行车“走钢丝”，自行车轮的外直径是60cm，车轮每分钟转5圈，钢丝的长度是20m。演员“走”完这段钢丝，需要大约多少分？（得数保留整数） 【答案】2分钟 【分析】依据圆的周长公式C＝πd（d为直径，π取3.14），算出直径60cm（即0.6m）车轮的周长为3.14×0.6＝1.884m；再根据“总路程＝单圈路程×圈数”，求出车轮每分钟转5圈行驶的距离（速度）为1.884×5＝9.42m；最后按照“时间＝路程÷速度”，用钢丝长度20m除以速度9.42m/分钟，得出“走”完钢丝约需2分钟。 【详解】20÷（3.14×0.6×5） ≈20÷9.42 ≈2（分） 答：演员“走”完这段钢丝，需要大约2分钟。 10．李老师骑一辆自行车从家去图书馆需要20分钟。已知这辆自行车车轮的外直径大约是60厘米，车轮平均每分转100圈，李老师家到图书馆的距离大约是多少米？ 【答案】3768米 【分析】车轮每分钟转100圈，每圈前进的距离等于车轮的周长。根据圆的周长公式，代入直径60厘米π取3.14，计算出每圈前进的距离后；再乘100，求出每分钟前进的距离，再乘时间得到总距离。 注意单位转换，1米＝100厘米，从小单位往大单位化，除以进率。 【详解】60厘米＝0.6米 3.14×0.6＝1.884（米） 1.884×100＝188.4（米） 188.4×20＝3768（米） 答：李老师家到图书馆的距离大约是3768米。 易错专项训练三根据含圆的组合图形的周长解决问题 11．有一种公交车站牌（如下图），制作这种站牌的外围用的是钢管。制作这样一个站牌的外围需要多长的钢管？ 【答案】 答：制作这样一个站牌的外围需要605.6厘米的钢管。 【分析】由图可知，钢管的长等于直径为80厘米的圆周长的一半加上下方长方形的2条宽，根据圆的周长公式，列式计算即可。 【详解】 答：制作这样一个站牌的外围需要605.6厘米的钢管。 12．体育馆修建了一个跑道，它的两头是半圆形，中间是长方形，强强绕这个跑道跑了一圈，他一共跑了多少米？ 【答案】348.4米 【分析】根据题意，强强绕这个跑道跑了一圈，求他一共跑了多少米，就是求图形的周长；图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；图形的周长＝圆的周长＋2条80米长的直道长度，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×60＋80×2 ＝188.4＋160 ＝348.4（米） 答：他一共跑了348.4米。 13．将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 【答案】114.24厘米 【分析】观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米，圆的周长＝圆周率×直径，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度。 【详解】（3.14×8＋4×8）×2 ＝（25.12＋32）×2 ＝57.12×2 ＝114.24（厘米） 答：捆扎2圈至少需要114.24厘米长的铁丝。 14．东东去超市买了3瓶相同的电解质饮料。售货员阿姨帮他用丝带将饮料捆扎起来（横截面如下图）。若打结处用去15厘米的丝带，则共需要多长的丝带？ 【答案】51.84厘米 【分析】根据题意，用丝带将3瓶半径是3厘米的饮料捆扎起来，则所需丝带的长度＝半径为3厘米的圆的周长＋6条3厘米的线段＋打结处用的长度，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×3＋3×6＋15 ＝18.84＋18＋15 ＝51.84（厘米） 答：共需要51.84厘米长的丝带。 15．一个底面是圆形的扫地机器人，沿着一块地毯边缘行进一周（如下图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，它的圆心走过路线的长度是多少分米？ 【答案】76.82分米 【分析】从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可以组成一个圆，这个圆的半径是（5＋1.5）分米，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这个圆的周长，再加上2个18分米即可。 【详解】长方形的两边路线和： 18×2＝36（分米） 两侧半圆路线和： 2×3.14×（5＋1.5） ＝2×3.14×6.5 ＝40.82（分米） 一共：36＋40.82＝76.82（分米） 答：它的圆心走过路线的长度是76.82分米。 易错专项训练四根据圆的面积解决问题 16．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 （1）修这个羊圈需要多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】（1）15.7米 （2）17.27平方米 【分析】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 17．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 （1）最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ （2）剩下的纸板还有多少平方分米？ 【答案】（1）14个 （2）64.16平方分米 【分析】首先需统一长度单位，将米换算成分米，以便与圆形直径单位一致； （1）计算圆形标志的数量时，不能直接用长方形面积除以圆的面积，因为圆形之间会有空隙，需要分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，取整数部分相乘； （2）计算剩余面积时，用长方形纸板的总面积减去所有圆形标志的面积之和即可求解。 【详解】（1）3米＝30分米 0.8米＝8分米 30÷4＝7（个）……2（分米） 8÷4＝2（个） 7×2＝14（个） 答：最多能从长方形纸板中裁剪出14个圆形标志。 （2）30×8＝240（平方分米） 4÷2＝2（分米） ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） 答：剩下的纸板还有64.16平方分米。 18．某市在拆墙透绿整治城市环境中，将某小区原来临街围墙的一段改为如图的样子后，美观透亮多了。图中半圆形的缺口要安装铁艺护栏，如果这些铁艺护栏每平方米160元，那么安装这段围墙的铁艺护栏共需花多少钱？（值取3.14） 【答案】1004.8元 【分析】观察图形可知，4个半圆可拼接成2个完整的圆。先求出圆的半径为2÷2＝1米，再根据圆的面积公式算出1个圆的面积，再乘2算出护栏总面积；然后用每平方米铁艺护栏的价格乘总面积即可得到总费用。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方米） 160×6.28＝1004.8（元） 答：安装这段围墙的铁艺护栏共需花1004.8元。 19．土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 【答案】2826平方米 【分析】这座土楼外围的底面周长是188.4米，已知圆的周长求面积，先根据：求出半径，再根据圆的面积：，即可求得占地面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：它的占地面积是2826平方米。 20．一块边长4米的正方形草地，两个相对的顶点上各拴一只羊。拴羊的绳子长都是4米。 （1）请画出两只羊都能吃到的青草面积，并涂上阴影。 （2）计算出阴影部分面积。 【答案】（1） 或 （2）9.12平方米 【分析】①分别以正方形的两个相对的顶点为圆心，以4米为半径，画出两个圆，相交部分涂上阴影，即是两只羊都能吃到的青草面积。 ②阴影部分面积＝两个圆的面积－正方形的面积＝半圆的面积－正方形的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】①略 ②3.14×42÷2－4×4 ＝3.14×16÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：阴影部分的面积是9.12平方米。 易错专项训练五根据圆环的面积解决问题 21．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【分析】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 22．一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 23．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 （1）如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ （2）在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 【答案】（1）25.12米 （2）1413元 【分析】（1）求篱笆的长，即为求圆的周长。根据C＝πd计算。 （2）根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积＝πr2，内圆的半径为8÷2，外圆的半径比内圆的半径多1米，计算鹅卵石小路的面积，小路的面积×50即为铺路花的钱。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：至少需要篱笆25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 28.26×50＝1413（元） 答：铺完这条小路大约需要1413元。 24．公园里有一个周长62.8米的圆形草坪。 （1）打算为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？安装在什么地方？ （2）如果在草地的外围铺一条宽2米的环形路方便游客行走，这条环形路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）10米；安装在圆心 （2）138.16平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝2πr，据此求出圆形草坪的半径；喷灌装置的射程应等于半径才能覆盖整个草坪，安装在圆心可使喷灌范围均匀。 （2）小路的面积就是圆环的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）解答。 【详解】（1）62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 答：选择射程为10米的比较合理，安装在圆心能够都喷到。 （2）10＋2＝12（米） 3.14×（122－102） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 答：这条环形路的面积是138.16平方米。 25．学校有一个靠墙的半圆形小花圃，直径是8米。 （1）同学们用栅栏将这个小花圃围起来，至少需要栅栏多少米？ （2）在老师的指导下，同学们用石子在花圃周围摆了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）12.56米 （2）31.4平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝求出直径为8米的圆的周长，再除以2即可求出需要栅栏多少米； （2）根据圆的面积求出半径为8÷2＝4米的圆的面积，和半径为4＋2＝6米的圆的面积，二者作差再除以2即可求出小路的面积是多少平方米。 【详解】（1）3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 答：至少需要栅栏12.56米。 （2）[3.14×（8÷2＋2）2－3.14×（8÷2）2]÷2 ＝[3.14×（4＋2）2－3.14×42]÷2 ＝[3.14×62－3.14×42]÷2 ＝[3.14×36－3.14×16]÷2 ＝[113.04－50.24] ÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：小路的面积是31.4平方米。 易错专项训练六求最大面积问题 26．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【答案】113 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【详解】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。 27．下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 【答案】图见详解；12.56平方厘米 【分析】由题意可知，在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，两条对角线交叉的点即可确定为圆心，依据圆的基本画法，即可画出符合要求的圆，再根据圆的面积公式：，将数据代入公式计算即可。 【详解】 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：这个长方形内最大的圆的面积为12.56平方厘米。 28．一根绳子长31.4m，用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请你画一画，算一算。 【答案】围成直径是10米的圆形，面积最大，图形见详解。 【分析】围成的图形可以是长方形、正方形、圆形，绳子的长度是一定的，也就是围成的图形周长是一定的，当周长一定的时候，长方形的面积和正方形的面积相比较，会发现正方形的面积大于长方形的面积，因此只需要计算围成的正方形面积和圆形的面积，就可以知道怎么围面积大了。 【详解】正方形面积 ＝ ＝（平方米） 圆形面积： ＝ ＝（米） ＝ ＝（平方米） 78.5＞61.6225    答：围成直径是10米的圆形面积最大。 【点睛】考查周长一定的时候，围成的圆形面积最大。 29．一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【分析】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【点睛】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 30．有一根628厘米长的铁丝．如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大 【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积． 解：长方形：628÷2=314（厘米）， 假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米）， 正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米）， 圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米）， 答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大． 点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可． 易错专项训练七根据含圆的组合图形的面积解决问题 31．施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【分析】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 32．垃圾分类有利于改善城乡环境，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面由一个长方形和两个半圆组成（如图）。这张海报的面积是多少平方分米？物业想给这张海报围上一圈灯带，一共需要多少分米的灯带？ 【答案】76.26平方分米     34.84分米 【分析】海报的面积＝两个半圆的面积＋长方形的面积，两个半圆可以拼接成一个直径是6分米的圆，根据圆的面积公式。长方形的长是8分米，宽是6分米，长方形的面积＝长×宽得出长方形的面积，最后相加即可； 灯带的长度＝长方形的两条长＋整个圆的周长，根据圆的周长公式得出圆的周长再加上长方形的两条长即可。 【详解】 答：这张海报的面积是76.26平方分米，物业想给这张海报围上一圈灯带，一共需要34.84分米。 33．如图，这是一个手机的滑动键示意图，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ （单位：厘米） 【答案】25.495平方厘米 【分析】整个图形左右两边可以拼成1个半径2厘米的圆，中间是个长方形，长方形的宽＝拼成的圆的直径。整个图形的面积＝圆的面积＋长方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，长方形面积＝长×宽，空白部分的面积＝整个图形的面积－涂色圆的面积，据此列式解答。 【详解】2×2＝4（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） 3.14×＋5×4－3.14× ＝3.14×4＋5×4－3.14×2.25 ＝12.56＋20－7.065 ＝32.56－7.065 ＝25.495（平方厘米） 答：图中空白部分的面积是25.495平方厘米。 【点睛】关键是看懂图示，掌握并灵活运用圆和长方形的面积公式。 34．育才小学在一块长为20米的长方形空地上用栏杆围成了一个半圆形的花坛，在剩余的地方铺上了草坪（阴影部分）。求草坪的面积。 【答案】43平方米 【分析】由题可知长方形的长和宽分别为圆的直径和半径，用长除以2，可求得圆的半径，圆的面积＝πr2，再除以2，即可求得半圆的面积。再根据长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积－半圆的面积，即可求得草坪的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 20×（20÷2）－157 ＝20×10－157 ＝200－157 ＝43（平方米） 答：草坪的面积为43平方米。 35．某广场的形状与大小如图，两边是两个圆形喷水池，场地中间是绿色草坪，广场的周长是多少？草坪的面积是多少？ 【答案】71.4米；121.5平方米 【分析】观察可知，广场的周长等于两个圆周长的一半（即一个圆的周长）加上长方形的两条长，根据圆的周长公式，代入数据计算即可得广场的周长；草坪的面积等于长方形的面积减两个半圆的面积（即一个圆的面积），根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】3.14×10＋20×2 ＝31.4＋40 ＝71.4（米） （平方米） 答：广场的周长是71.4米；草坪的面积是121.5平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 运用圆的周长和面积解决问题七大类型 易错专项训练一 根据圆中方或方中圆的面积解决问题 易错专项训练二 根据圆的周长解决问题 易错专项训练三 根据含圆的组合图形的周长解决问题 易错专项训练四 根据圆的面积解决问题 易错专项训练五 根据圆环的面积解决问题 易错专项训练六 求最大面积问题 易错专项训练七 根据含圆的组合图形的面积解决问题 易错专项训练一根据圆中方或方中圆的面积解决问题 1．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 2．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 3．在元旦庆祝活动中，乐乐用一张边长12厘米的正方形彩纸剪一个“外方内圆”窗花，请你求出正方形和圆之间部分的面积。 4．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 5．学校手工社团和书法社团联合制作窗花，他们先用圆形红纸镂空，剪出窗花的形状，然后写上祝福语送给敬老院，每张窗花的整体是一个圆形，圆内有一个最大的正方形（如下图），每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是多少平方厘米？ 易错专项训练二根据圆的周长解决问题 6．绿化队的李叔叔为新栽的小树穿“防寒衣”。他用一条长9米的粗细均匀的草绳在一棵小树的树干上围了30圈，草绳还剩下0.63米。这棵小树的树干直径是多少米？（取3.1，得数保留两位小数） 7．神农公园有一个周长是31.4米的圆形草坪，准备在草坪上安装自动旋转喷灌装置，现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？应安装在哪个位置？ 8．一辆自行车，车轮的外直径是80厘米，如果它每分钟转200圈，通过一座长1004.8米的大桥，需要多少分钟？ 9．一位杂技演员在表演骑自行车“走钢丝”，自行车轮的外直径是60cm，车轮每分钟转5圈，钢丝的长度是20m。演员“走”完这段钢丝，需要大约多少分？（得数保留整数） 10．李老师骑一辆自行车从家去图书馆需要20分钟。已知这辆自行车车轮的外直径大约是60厘米，车轮平均每分转100圈，李老师家到图书馆的距离大约是多少米？ 易错专项训练三根据含圆的组合图形的周长解决问题 11．有一种公交车站牌（如下图），制作这种站牌的外围用的是钢管。制作这样一个站牌的外围需要多长的钢管？ 12．体育馆修建了一个跑道，它的两头是半圆形，中间是长方形，强强绕这个跑道跑了一圈，他一共跑了多少米？ 13．将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 14．东东去超市买了3瓶相同的电解质饮料。售货员阿姨帮他用丝带将饮料捆扎起来（横截面如下图）。若打结处用去15厘米的丝带，则共需要多长的丝带？ 15．一个底面是圆形的扫地机器人，沿着一块地毯边缘行进一周（如下图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，它的圆心走过路线的长度是多少分米？ 易错专项训练四根据圆的面积解决问题 16．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 （1）修这个羊圈需要多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 17．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 （1）最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ （2）剩下的纸板还有多少平方分米？ 18．某市在拆墙透绿整治城市环境中，将某小区原来临街围墙的一段改为如图的样子后，美观透亮多了。图中半圆形的缺口要安装铁艺护栏，如果这些铁艺护栏每平方米160元，那么安装这段围墙的铁艺护栏共需花多少钱？（值取3.14） 19．土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 20．一块边长4米的正方形草地，两个相对的顶点上各拴一只羊。拴羊的绳子长都是4米。 （1）请画出两只羊都能吃到的青草面积，并涂上阴影。 （2）计算出阴影部分面积。 易错专项训练五根据圆环的面积解决问题 21．某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 22．一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 23．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 （1）如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ （2）在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 24．公园里有一个周长62.8米的圆形草坪。 （1）打算为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？安装在什么地方？ （2）如果在草地的外围铺一条宽2米的环形路方便游客行走，这条环形路的面积是多少平方米？ 25．学校有一个靠墙的半圆形小花圃，直径是8米。 （1）同学们用栅栏将这个小花圃围起来，至少需要栅栏多少米？ （2）在老师的指导下，同学们用石子在花圃周围摆了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？ 易错专项训练六求最大面积问题 26．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 27．下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 28．一根绳子长31.4m，用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请你画一画，算一算。 29．一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 30．有一根628厘米长的铁丝．如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 易错专项训练七根据含圆的组合图形的面积解决问题 31．施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 32．垃圾分类有利于改善城乡环境，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面由一个长方形和两个半圆组成（如图）。这张海报的面积是多少平方分米？物业想给这张海报围上一圈灯带，一共需要多少分米的灯带？ 33．如图，这是一个手机的滑动键示意图，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ （单位：厘米） 34．育才小学在一块长为20米的长方形空地上用栏杆围成了一个半圆形的花坛，在剩余的地方铺上了草坪（阴影部分）。求草坪的面积。 35．某广场的形状与大小如图，两边是两个圆形喷水池，场地中间是绿色草坪，广场的周长是多少？草坪的面积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $