专题06 三角形的再认识八大类型（易错专项训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

专题06 三角形的再认识八大类型 易错专项训练一 根据三角形的内角和判断三角形 易错专项训练二 根据三角形的内角和求角度 易错专项训练三 多边形的内角和的认识及求角度 易错专项训练四 图形计算求角度 易错专项训练五 根据给定的线段判断能否组成三角形 易错专项训练六 根据三边关系判断第三边的最大值和最小值 易错专项训练七 运用三角形内角和解决问题 易错专项训练八 运用三角形三边关系解决问题 易错专项训练一根据三角形的内角和判断三角形 1．有两个锐角为55°的三角形，这个三角形是（    ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 2．一个三角形的两个内角分别是40°和50°，这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．一个等腰三角形的一个底角是65°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 4．一个三角形中最小的一个角是50°，按角分这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 5．在三角形ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 易错专项训练二根据三角形的内角和求角度 6．一个三角形中至少有（ ）个角是锐角。一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是（ ）。 7．数学课上，小丽用长方形纸剪出一个三角形（操作如下图），按边分类，这是一个（ ）三角形。如果是70°，那么∠1＝（ ）°。 8．一个等腰三角形，它的一个底角与顶角的度数和是140°，这个等腰三角形的顶角是（ ）。 9．在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝（ ）；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）。 10．如图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝35°，∠3＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 易错专项训练三多边形的内角和的认识及求角度 11．如图，把一个长方形剪去一个角，剩下的图形是一个（ ）边形，这个图形的内角和是（ ）度。 12．街心花园的观景台是一个六边形，这个观景台的内角和是（ ）°。 13．长方形、正方形、平行四边形、梯形的内角和都是（ ）度，七边形的内角和是（ ）度。 14．一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是（ ）°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是（ ）边形。 15．蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。请你算一算，蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是（ ）。 易错专项训练四图形计算求角度 16．求出下面和的度数。 17．在三角形ABC中，A＝58°，1＝2，3＝4，求5的度数。 18．计算图中1、2和3的度数。 19．求下面图形∠1和∠2的度数。 20．如图，求∠1和∠2的度数。 易错专项训练五根据给定的线段判断能否组成三角形 21．下面三组小棒中，能围成等腰三角形的是（    ）。 A．5cm  5cm  10cm B．3cm  4cm  5cm C．3cm  3cm  5cm 22．图书馆出口放置了一个三脚架警示牌，下面不能围成三角形的三条线段是（    ）。 A．9m，5m，5m B．5cm，8cm，3cm C．1dm，6cm，0.06m D．1dm，1dm，2cm 23．下列各组线段中，不能围成三角形的是（    ）。 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 24．用下面每组中的三根小棒不能围成三角形的是（    ）。 A．B．C．D． 25．下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、5cm 易错专项训练六根据三边关系判断第三边的最大值和最小值 26．一个三角形的两条边分别是8cm，7cm，那么第三条边最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。（取整厘米数） 27．一个三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个三角形的第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（三角形的三条边长都是整厘米数） 28．制作三角形镇原香包剪纸支架，两根木条长5dm、2dm，第三根木条长度为整分米，这个三角形周长最小是（ ）dm，最大是（ ）dm。 29．一个三角形的两条边分别是3cm和7cm，第三条边也是整厘米数，那么第三条边最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。 30．一个三角形的两条边分别是13厘米和9厘米，这个三角形的第三条边最长是（ ）厘米，最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 易错专项训练七运用三角形内角和解决问题 31．为了保护校园里的草坪，四（1）班同学做了一个三角形的标语立在草坪上，这个三角形的最大角是90°，是最小角的3倍，这个三角形是什么三角形呢？请你求出另外两个角的度数。 32．如下图，一个球挂在绳上，从位置B荡到位置C。已知∠1＝48°，那么三角形ABC按角分是什么三角形？请通过计算说明理由。 33．【安全警示】在活动过程中，班长要在路口摆放一个三角形的交通警示牌，提醒大家注意来往车辆。已知这个警示牌是一个等腰三角形，并且量得它的顶角是100°。请问： 这个警示牌的一个底角是多少度？ 34．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 35．刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 易错专项训练八运用三角形三边关系解决问题 36．用全长27米的灯带围成一个等腰三角形装饰物，如果其中一条边长7米，那么另外两条边的长度分别是多少米？ 37．在机器人关节或机械臂的结构设计中，常采用等腰三角形的框架来平衡受力与重量。小明有长度为4厘米、8厘米的小棒各两根，选其中的三根围成一个等腰三角形。围成的等腰三角形周长是多少厘米？ 38．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 39．数学活动课上，同学们正在进行“剪小棒围三角形”的探索活动。他们首先尝试 把长度为12cm的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接 围一个三角形。 可可围的三角形其中一条边长是4cm，另外两条边分别长多少厘米？ 40．李叔叔想制作一个三角形框架。他找到了下面这两根木条。 （1）你认为李叔叔应该锯断哪那根木条？并写出理由。 （2）李叔叔把这根木条锯成长度是多少厘米的两段（取整厘米数）才能和另一根木条组成三角形？请你写出其中的一种锯法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的再认识八大类型 易错专项训练一 根据三角形的内角和判断三角形 易错专项训练二 根据三角形的内角和求角度 易错专项训练三 多边形的内角和的认识及求角度 易错专项训练四 图形计算求角度 易错专项训练五 根据给定的线段判断能否组成三角形 易错专项训练六 根据三边关系判断第三边的最大值和最小值 易错专项训练七 运用三角形内角和解决问题 易错专项训练八 运用三角形三边关系解决问题 易错专项训练一根据三角形的内角和判断三角形 1．有两个锐角为55°的三角形，这个三角形是（    ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 【答案】C 【分析】利用三角形内角和为180°算出第三个角的度数，再根据三角形按角分类的标准判断类型。 【详解】第三个角的度数： 该三角形三个角分别为55°、55°、70°，都小于90°，均为锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，因此这个三角形是锐角三角形。 2．一个三角形的两个内角分别是40°和50°，这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用三角形内角和等于180°，减去已知的两个内角度数，求出第三个内角的度数；然后根据第三个内角的度数判断三角形的类型，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 3．一个等腰三角形的一个底角是65°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】A 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。已知一个底角是，可求出另一个底角和顶角的度数，进而判断三角形的形状。 【详解】因为等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是，所以另一个底角也是。 根据三角形内角和是，顶角的度数为： 因为，，三个角都是锐角， 所以这个三角形一定是锐角三角形。 4．一个三角形中最小的一个角是50°，按角分这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和是180°。已知最小角是50°，可以求出另外两个角的和。利用最小角的限制条件，推断最大角的取值范围，若最大角小于90°，则为锐角三角形。 【详解】因为最小的一个角是50°，所以另外两个角的和是180°－50°＝130°。 又因为50°是最小的角，所以另外两个角都必须大于或等于50°。 为了判断三角形的类型，需要考虑最大角的情况。当另外两个角中较小的一个角取最小值50°时，最大的角取得最大值。 最大的角最大为：130°－50°＝80°。 因为最大的角80°＜90°，所以这个三角形的三个角都是锐角。 按角分类，这是一个锐角三角形。 5．在三角形ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】B 【分析】三角形内角和是，即。已知，可以通过等量代换将三个角的和转化为两个的和，从而求出的度数。根据的度数判断三角形的形状。 【详解】因为三角形的内角和是，所以 又因为，所以 即，，。 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 易错专项训练二根据三角形的内角和求角度 6．一个三角形中至少有（ ）个角是锐角。一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是（ ）。 【答案】2 116度/116° 【分析】三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，锐角是比直角小的角，锐角三角形有3个锐角，直角三角形有2个锐角和1个直角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角。据此答题即可； 等腰三角形的两个底角相等，顶角＝180°－2个底角的度数。已知等腰三角形的一个底角是32°，代入算式计算即可。 【详解】通过对不同种类三角形的分析可知三角形中至少有2个角是锐角； 一个等腰三角形的一个底角是，另一个底角也是32°，则顶角为： 180°－32°－32° ＝148°－32° ＝116° 7．数学课上，小丽用长方形纸剪出一个三角形（操作如下图），按边分类，这是一个（ ）三角形。如果是70°，那么∠1＝（ ）°。 【答案】等腰 55 【分析】如图，沿着一条线对折，把一张长方形的纸分成两个小长方形，再沿着对角线剪开。剪开的三角形是轴对称图形。且它的两边相等。两边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的两个底角相等，内角和是180°。用180°减去70°，算出结果再除以2，就是∠1的度数。 【详解】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 所以，这是一个等腰三角形。如果是70°，那么∠1＝55°。 8．一个等腰三角形，它的一个底角与顶角的度数和是140°，这个等腰三角形的顶角是（ ）。 【答案】100°/100度 【分析】首先根据三角形的内角和为180°，计算出等腰三角形一个底角的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等，最后用140°减去底角的度数，就是等腰三角形顶角的度数。据此解答即可。 【详解】180°－140°＝40° 140°－40°＝100° 这个等腰三角形的顶角是100°。 9．在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝（ ）；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）。 【答案】80° 40° 【分析】根据三角形内角和是180度，可得∠3＝180°－∠1－∠2；在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90度，所以另一个锐角的度数是：90°－50°，据此即可解答。 【详解】由分析可得： ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80° 90°－50°＝40° 所以，在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝80°；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是40°。 10．如图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝35°，∠3＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】35 110 【分析】等腰三角形两底角相等，三角形ABC是一个等腰三角形，所以∠1＝∠3。在等腰三角形ADC中，∠3＝∠CAD，三角形内角和180°，用180°减去两个底角的度数，就是顶角∠2的度数。 【详解】∠1＝35°，∠1＝∠3，所以∠3＝35°； ∠3＝∠CAD，所以∠CAD＝35°，∠2＝180°－35°×2＝180°－70°＝110°。 易错专项训练三多边形的内角和的认识及求角度 11．如图，把一个长方形剪去一个角，剩下的图形是一个（ ）边形，这个图形的内角和是（ ）度。 【答案】五 540 【分析】观察图形，剪去右上角的角后，剩下的图形一共有5条边，因此是五边形。如图： 把五边形分成3个三角形，明确三角形的内角和是180度，用180乘3，求出这个图形的内角和的度数。 【详解】剩下的图形是一个五边形， 180×3＝540（度） 这个图形的内角和是540度。 12．街心花园的观景台是一个六边形，这个观景台的内角和是（ ）°。 【答案】720 【分析】多边形内角和的计算方法是：内角和＝（边数－2）×180°，六边形有6条边，把数据代入计算即可。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 13．长方形、正方形、平行四边形、梯形的内角和都是（ ）度，七边形的内角和是（ ）度。 【答案】360 900 【分析】长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形，根据三角形的内角和是180°，推测四边形和七边形的内角和，只需看四边形和七边形的内角分别由几个三角形组成，然后用180°去乘三角形的个数即可求出它们的内角和。 【详解】    如图，四边形可以分成2个三角形，七边形可以分成5个三角形。 180°×2＝360° 180°×5＝900° 14．一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是（ ）°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是（ ）边形。 【答案】65 九 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去50°，再除以2，求出底角的度数即可。 多边形内角和公式为：内角和＝（边数－2）×180°，代入内角和1260°，用1260°除以180°，再加上2，求出多边形的边数即可。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是65°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是九边形。 15．蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。请你算一算，蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是（ ）。 【答案】720°/720度 【分析】根据题意，蜜蜂的每个“小房间”是一个正六边形，如图，六边形可以分成4个三角形，三角形的内角和是180°，所以六边形的内角和为180°×4＝720°，据此解答即可。 【详解】蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是720°。 易错专项训练四图形计算求角度 16．求出下面和的度数。 【答案】∠1＝30°；∠2＝133° 【分析】 在左图中，增加∠2。 ∠2与46°角组成平角，先利用平角为180°求出∠2，再结合三角形内角和为180°已知三角形的两个内角，可直接根据三角形内角和为180°，求出未知角∠1的度数。 右图中，四边形内角和是360°，用四边形内角和依次减去3个角的度数，就是∠2的度数。直角是90°。 【详解】 左图： ∠2＝180°－46°＝134° ∠1＝180°－16°－∠2 ＝180°－16°－134° ＝164°－134° ＝30° 右图：∠2＝360°－55°－90°－82° ＝305°－90°－82° ＝215°－82° ＝133° 17．在三角形ABC中，A＝58°，1＝2，3＝4，求5的度数。 【答案】119° 【分析】明确三角形的内角和是180°，∠A＝58°，剩余两角和＝180°－58°＝122°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝122°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，用122°除以2，求出∠2＋∠3的度数和，再用180°减去∠2＋∠3的度数和，∠5的度数。 【详解】∠A＝58° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－58°＝122° ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 ∠2＋∠3＝122°÷2＝61° ∠5＝180°－61°＝119° 5的度数是119°。 18．计算图中1、2和3的度数。 【答案】∠1＝60° ∠2＝30° ∠3＝20° 【分析】由图可知，左下角有直角符号，这是一个直角梯形，已知三角形内角和为180°，∠1＝180°－90°－30°计算即可，∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，计算即可；在另一个三角形中，∠3＝180°－130°－∠2，计算即可。 【详解】∠1＝180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° ∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝180°－130°－30° ＝50°－30° ＝20° 19．求下面图形∠1和∠2的度数。 【答案】∠1＝48°；∠2＝10° 【分析】求∠1，三角形的一个外角＝和它不相邻的两个内角之和。图中∠ACB＝80°是△ABC的外角，等于∠B＋∠1。 求∠2：如图，是直角梯形，分成两个三角形。先看下方直角三角形，算出∠4，∠4＝180°－50°－90°；再看上方钝角三角形，算出∠3，∠3＝90°－∠4，在根据三角形内角和为180°算出∠2。 【详解】左图： ∠1＝∠ACB－∠B 已知∠ACB＝80°，∠B＝32° 所以∠1＝80°－32°＝48° 右图： 180°－50°－90° ＝130°－90° ＝40° 90°－∠4 ＝90°－40° ＝50° 所以∠2＝180°－120°－50°＝10° 20．如图，求∠1和∠2的度数。 【答案】∠1是35度，∠2是110度 【分析】三角形的内角和是180度，∠1所在的三角形有一个角是直角90度，另一个角是55度，利用减法求出∠1的度数； 三角形的内角和是180度，∠2所在的三角形两个角都是35度，利用减法求出∠2的度数。 【详解】∠1的度数： 180－90－55 ＝90－55 ＝35（度） ∠2的度数： 180－（35＋35） ＝180－70 ＝110（度） 易错专项训练五根据给定的线段判断能否组成三角形 21．下面三组小棒中，能围成等腰三角形的是（    ）。 A．5cm  5cm  10cm B．3cm  4cm  5cm C．3cm  3cm  5cm 【答案】C 【分析】判断能否围成等腰三角形，需要同时满足两个条件：一是有两条边长度相等，二是符合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），据此逐一判断即可。 【详解】A．，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，排除； B．3cm、4cm、5cm三条边长度均不相等，不是等腰三角形，排除； C．有两条长度为3cm的边，且，满足三角形三边关系，可以围成等腰三角形。 22．图书馆出口放置了一个三脚架警示牌，下面不能围成三角形的三条线段是（    ）。 A．9m，5m，5m B．5cm，8cm，3cm C．1dm，6cm，0.06m D．1dm，1dm，2cm 【答案】B 【分析】判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可，计算前先统一单位。 【详解】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。 A．较短边为、，，，可围成三角形。 B．较短边为、，，，不可围成三角形。 C．统一单位：，，较短边为、，，，可围成三角形。 D．统一单位：，较短边为、，，，可围成三角形。 23．下列各组线段中，不能围成三角形的是（    ）。 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】三条线段能围成三角形，较短两条线段的长度和必须大于最长线段。分别找出每组中最长的线段，再比较另外两条线段的和与它的大小。 【详解】A．2＋2＝4（cm），4＜5，不能围成三角形。 B．3＋3＝6（cm），6＞3，能围成三角形。 C．3＋4＝7（cm），7＞5，能围成三角形。 D．4＋5＝9（cm），9＞6，能围成三角形。 所以不能围成三角形的是长度分别为2cm、2cm、5cm的一组。 24．用下面每组中的三根小棒不能围成三角形的是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】D 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，我们只需要验证较短两边的和是否大于最长边即可。 【详解】A．3＋3＝6＞3，满足“两边之和大于第三边”的要求，能围成三角形。 B．3＋3＝6＞5，满足“两边之和大于第三边”的要求，能围成三角形； C．3＋4＝7＞5，满足“两边之和大于第三边”的要求，能围成三角形。 D．1＋2＝3，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能围成三角形。 25．下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、5cm 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，只要两条较短边的长度之和大于最长边的长度，就能围成三角形，据此逐项判断。 【详解】A．因为，，两边之和等于第三边，不能围成三角形，此选项错误； B．因为，，两边之和等于第三边，不能围成三角形，此选项错误； C．因为，，两边之和大于第三边，能围成三角形，此选项正确； D．因为，，两边之和小于第三边，不能围成三角形，此选项错误。 易错专项训练六根据三边关系判断第三边的最大值和最小值 26．一个三角形的两条边分别是8cm，7cm，那么第三条边最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。（取整厘米数） 【答案】2 14 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【详解】8cm－7cm＜第三边＜8cm＋7cm 所以1cm＜第三边＜15cm 即第三边在1cm至15cm之间，不包括1cm和15cm， 第三条边最短：1＋1＝2（cm） 最长：15－1＝14（cm） 27．一个三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个三角形的第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（三角形的三条边长都是整厘米数） 【答案】7 3 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此即可解答。 【详解】5＋3＝8（cm），8－1＝7（cm） 5－3＝2（cm），2＋1＝3（cm） 一个三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个三角形的第三条边最长是7cm，最短是3cm。 28．制作三角形镇原香包剪纸支架，两根木条长5dm、2dm，第三根木条长度为整分米，这个三角形周长最小是（ ）dm，最大是（ ）dm。 【答案】11 13 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和。已知两条边长为5分米、2分米，第三边取整分米数；周长＝三边长度和，因此第三边数值越小，周长越小；第三边数值越大，周长越大。 【详解】先计算两边和与两边差： 5−2＝3（分米），5＋2＝7（分米） 可得第三边取值范围：3＜第三边＜7 因为第三边是整分米，所以第三边最小为4分米，最大为6分米。 最小周长：5＋2＋4＝11（分米） 最大周长：5＋2＋6＝13（分米） 所以，这个三角形周长最小是11分米，最大是13分米。 29．一个三角形的两条边分别是3cm和7cm，第三条边也是整厘米数，那么第三条边最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。 【答案】5 9 【分析】据三角形三边关系定理，第三条边必须满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边。已知一个边长均为整厘米数的三角形的两条边长分别是3cm和7cm，用3＋7＝10（cm），7－3＝4（cm），以此求出第三条边最长、最短各是多少即可。 【详解】根据分析可知： 3＋7＝10（cm） 10－1＝9（cm） 7－3＝4（cm） 4＋1＝5（cm） 一个边长均为整厘米数的三角形的两条边长分别3cm和7cm，那么第三条边最长是9cm，最短是5cm。 30．一个三角形的两条边分别是13厘米和9厘米，这个三角形的第三条边最长是（ ）厘米，最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 【答案】21 5 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】（厘米），第三边必须小于，满足条件最大整数是； （厘米），第三边必须大于，满足条件最小整数是。 这个三角形的第三条边最长是21厘米，最短是5厘米。（边长取整厘米数） 易错专项训练七运用三角形内角和解决问题 31．为了保护校园里的草坪，四（1）班同学做了一个三角形的标语立在草坪上，这个三角形的最大角是90°，是最小角的3倍，这个三角形是什么三角形呢？请你求出另外两个角的度数。 【答案】这个三角形是直角三角形，另外两个角的度数分别是和。 【分析】先根据最大角与最小角的倍数关系求出最小角的度数，再利用三角形内角和为求出第三个角的度数，最后根据最大角是直角判断三角形类型。 【详解】 因为最大角是（直角），所以这个三角形是直角三角形。 答：这个三角形是直角三角形，另外两个角的度数分别是和。 32．如下图，一个球挂在绳上，从位置B荡到位置C。已知∠1＝48°，那么三角形ABC按角分是什么三角形？请通过计算说明理由。 【答案】锐角三角形 【分析】根据球摆动的特征，确定AB和AC是绳子，长度相等，因此三角形ABC是等腰三角形，得到∠1=∠C。利用三角形内角和为180°，结合已知的∠1的度数，计算出顶角∠A的度数。根据三个角的度数特征，判断三角形按角分类的类型即可。 【详解】AC＝AB，所以∠C＝∠1＝48°， 则∠A＝180°－48°－48° ＝132°－48° ＝84° 84°＜90° 答：三角形ABC按角分是锐角三角形。 33．【安全警示】在活动过程中，班长要在路口摆放一个三角形的交通警示牌，提醒大家注意来往车辆。已知这个警示牌是一个等腰三角形，并且量得它的顶角是100°。请问： 这个警示牌的一个底角是多少度？ 【答案】40° 【分析】三角形内角和等于180°以及等腰三角形两个底角相等的特征。已知顶角是100°，先用内角和减去顶角得到两个底角的度数之和，再除以2，即可求出一个底角的度数。 【详解】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 答：这个警示牌的一个底角是40°。 34．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】67度；锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和等于度。已知其中两个内角的度数，用度减去这两个角的度数，即可求出第三个内角的度数。然后根据三个内角的大小判断三角形的类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】 （度） 因为度、度、度都小于度，即三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是度，这个三角形是锐角三角形。 35．刘奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍，求这块三角形菜地每个角的度数？ 【答案】、、 【分析】把最小角看作1份，则最大角是3份，另一个角是2份。已知三角形内角和是，用内角和除以总份数，求出1份的度数，即最小角的度数，再分别乘倍数，求出最大角和另一个角的度数。 【详解】总份数：1＋3＋2 ＝4＋2 ＝6（份） 最小角： 最大角： 另一个角： 答：这块三角形菜地每个角的度数分别是、、。 易错专项训练八运用三角形三边关系解决问题 36．用全长27米的灯带围成一个等腰三角形装饰物，如果其中一条边长7米，那么另外两条边的长度分别是多少米？ 【答案】7米和13米或10米和10米 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，灯带全长是三角形的周长。已知一条边长7米，需分这条边是腰、是底边两种情况计算，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断是否能围成三角形。 【详解】①若7米的边为腰： 底边长： （米） 验证：（米），14＞13，（米），6＜7，符合三边关系，此时另外两边为7米、13米。 ②若7米的边为底边： 腰长： （米） 验证：，17＞10，（米），3＜7，符合三边关系，此时另外两边为10米、10米。 答：7米的边为腰时，另外两条边的长度分别是7米和13米；7米的边为底边时，另外两条边的长度都是10米。 37．在机器人关节或机械臂的结构设计中，常采用等腰三角形的框架来平衡受力与重量。小明有长度为4厘米、8厘米的小棒各两根，选其中的三根围成一个等腰三角形。围成的等腰三角形周长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】列出所有可能的三根小棒的组合情况。根据三角形任意两边之和大于第三边，对每种组合逐一判断是否能构成三角形。如果组合满足三边关系，那么将三边长度相加即可得到对应等腰三角形的周长。 【详解】①选2根4厘米和1根8厘米，此时腰长为4厘米，底为8厘米，计算得 4＋4＝8（厘米），不满足“两边之和大于第三边”，无法围成三角形，排除这种情况。 ②选2根8厘米和1根4厘米，此时腰长为8厘米，底为4厘米，8＋4＝12（厘米）＞8厘米，满足三边关系，可以围成三角形。 周长：8＋8＋4＝20（厘米） 答：围成的等腰三角形周长是20厘米。 38．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【答案】最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 39．数学活动课上，同学们正在进行“剪小棒围三角形”的探索活动。他们首先尝试 把长度为12cm的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接 围一个三角形。 可可围的三角形其中一条边长是4cm，另外两条边分别长多少厘米？ 【答案】3厘米、5厘米或4厘米、4厘米 【分析】题干中给出了三角形其中一条边的长是4厘米，三角形的周长为12厘米，根据三角形的基本性质“任意两边之和大于第三边”计算推理出另外两边的长度。 【详解】根据题意可知三角形的周长为12厘米（三段的长度均为整厘米数），已知一条边长为4厘米，则另外两条边长的和为12−4＝8（厘米）。另外两边的边长情况只有以下几种：1厘米和7厘米、2厘米和6厘米、3厘米和5厘米、4厘米和4厘米。 当另外两边中有一条边长为1厘米时，第三条边长为8－1＝7（厘米），4＋1＝5厘米＜7厘米，所以另外两边长1厘米、7厘米不符合要求； 当另外两边中有一条边长为2厘米时，第三条边长为8－2＝6（厘米），4＋2＝6厘米＝6厘米，所以另外两边长2厘米、2厘米不符合要求； 当另外两边中有一条边长为3厘米时，第三条边长为8－3＝5（厘米），4＋3＝7厘米＞5厘米，4＋5＝9厘米＞3厘米，5＋3＝8厘米＞4厘米所以另外两边长3厘米、5厘米符合要求。 当另外两边中有一条边长为4厘米时，第三条边长为8－4＝4（厘米），这时三角形是等边三角形，所以另外两边长4厘米、4厘米符合要求。 综上所述，三角形另外两条边长可能是为3厘米、5厘米或者4厘米、4厘米。 答：另外两条边分别长3厘米、5厘米或者4厘米、4厘米。 40．李叔叔想制作一个三角形框架。他找到了下面这两根木条。 （1）你认为李叔叔应该锯断哪那根木条？并写出理由。 （2）李叔叔把这根木条锯成长度是多少厘米的两段（取整厘米数）才能和另一根木条组成三角形？请你写出其中的一种锯法。 【答案】（1）B木条；理由见详解 （2）5厘米和6厘米，或4厘米和7厘米，或3厘米和8厘米 【分析】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，观察两根木条，若不锯断11厘米的木条，仅6厘米这一根木条无法满足与11厘米木条组成三角形的条件。所以应该锯断11厘米长的木条，因为它太长，不锯断的话无法和6厘米的木条组成三角形。 （2）把B木条锯成两段，使锯断得到的两段木条之和6厘米，其差小于6厘米，即可围成三角形，由此解答即可。 【详解】（1）李叔叔应该锯断11厘米长的木条。 因为6＜11，6厘米的木条不论怎么据断都无法使两边之和大于11厘米，所以应锯断B木条。 （2）据法①：5＋6＞6，6－5＜6 可以把B木条锯成长度是5厘米和6厘米的两段和A木条组成三角形。 据法②：4＋7＞6，7－4＜6 可以把B木条锯成长度是4厘米和7厘米的两段和A木条组成三角形。 据法③：3＋8＞6，8－3＜6 可以把B木条锯成长度是3厘米和8厘米的两段和A木条组成三角形。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $