课时19 函数中的构造问题（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

第三章一元函数的导数及其应用 课时冲关19函数中的构造问题 对应学生用书P269 一、单选题 解析：C[设g(x)=f2 1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时， xf'(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,则不等式 则g'(x)=f(x)e-2fx)e (e2x)2 f(x>0的解集是 =f(x)-2f(x） A.(-2,0)U(0,2) 因为f(x)-2f(x)<0在R上恒成立， B.(-o∞，-2)U(2,+∞) 所以g(x)<0在R上恒成立， C.(-2,0)U(2,+o∞) 故g(x)是减函数， D.(-o∞，-2)U(0,2) 所以g(-1)>g(0), 解桥：D[设g)=f≠0. f二D=ef(-1)>f0)=1,故A不正确： e a e 因为f(x)是定义在R上的偶函数， g(1)<g(0),即f1<f(0) e2 e 所以f(-x)=f(x). 即f(1)<ef(0)=e,故B不正确； 因为g(-)=f二D=-f=-g(x), 一x 所以g(x)为奇函数， 所以g(-2)=-g(2). 即f()e,故C正确： 因为f(-2)=0, 所以g(-2)=g(2)=0. 当x>0时，g'(x)=f)f四<0， 即fI<ef(侵)故D不正确] 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， 3.已知a=ab=1hn3)c=-，则 e 此时不等式f>0的解集是(0,2). ( 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， A.a>b>c B.b>a>c 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减， C.b>c>a D.c>a>b 解析：B[因为b=ln(ln3)>ln(lne)=0,而 所以当x<0时，不等式f>0的解集是 a=n宁<06<0，所以b最大， (-∞，-2). 构造函数f(x)=xlnx(x>0),因为f(x)= 综上所述，不等式f)>0的解集是(-0，一 1nx+1(.x>0), 2)U(0,2).] 当0<x<时f(x)<0,当x>时f(x)>0, 2.己知定义域为R的函数f(x),其导函数为 f(x),且满足f(x)-2f(x)<0,f(0)=1,则 所以)〔)上单酒递减，在（日+ 单调递增， ( A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e 又因为。=()=（伯）所以侵 c.s()<o D.f(1)>ej f(日)脚a>c,故b>a>] ·343· 高考总复习数学 4已知函数y=fx)对任意的x(受，)满 5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 f(x),且3f(x)+f(x)<0,f(ln2)=1,则不 足f(x)cosx-f(x)sinx>0(其中f(x)是函 等式e3xf(x)>8的解集为 ( 数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是 A.(-∞，2) B.(-o∞，ln2) ( C.(ln2,+o∞) D.(2,+∞) A.f(}>() 解析：B[令g(x)=e3f(x), B(大Er() 函数g(x)的定义域为R, 因为3f(x)十f'(x)<0, c.2ro) 所以g'(.x)=[e3rf(x)]'=e[3f(x)+f'(x)] <0,故g(x)为减函数， D.( 又因为f(ln2)=1, 解析：C[构造函数g(x)=f(x)cosx, 所以g(ln2)=e3n2f(ln2)=8, re(受》 所以不等式erf(x)>8可化为g(x)>g(In2), 所以x<ln2, 则g'(x)=f(x)cosx- f(x)sin >0, 所以e3rf(.x)>8的解集为(-o∞，ln2).] 所以g)在（一受，》上单别递增， 6.已知0<x<y<π，且e'sinx=e'sin y,其中e 则(}大(-) 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立 的是 () 所以()（大((） A.cos x+cos y<0 B.cos x+cos y>0 申(》(》故A不证： C.cos a>sin y D.sin x>>sin y 解析：B[由0<x<y<π，且e'sinx=e'siny, 则()() 得e· e sin x sin y 所以f(号)m晋>（受 令fx)=。0<x<x), sin x 即f(音}财》故B不正确： 则f(ax)=e(sinx-cosx) sin'x 由gx)在（云）上单润递增，得g0)< 当0<<章时)0，画数)单调递减， () 当不<x<元时，f(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以f0eos0Kf(号os 当f()=f)时，0<x<平，平<yx 即2f0)<f(借故C正确 因为0<x<y<,e<c'sin asin y e e 所以siny>sinx>0, 所以f(0)cos0< f(os 所以至<y<一<， 所以cosy>cos(π-x)=一cosx, 即√2f(0)< ,故D不正确.] 所以cosx+cosy>0.] ·344· 第三章一元函数的导数及其应用 二、多选题 则3f(2)<2f(3),故A错误； 7.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)一1 令f'(x)=e-e>0,得x>1, >0,则下列结论正确的是 令f'(x)=e-e<0,得0x<1, A.f(2)-1n2>f(1) 则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单 B.f(4)-f(2)>ln2 调递增， C.f(2)+ln2>f(e)+1 ∴.f(1)<f(2)<f(e),f(x)在x=1处取得极 D.f(e2)-f(e)>1 小值，无极大值，故B,C,D均正确.门 解析：ABD[构造函数g(x)=f(x)-lnx, 三、填空题 x>0, 9.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导 则g'(x)=f'(x)-1=f()-1， 函数为f(x),若f(1)=4,且f'(x)-2.x<3对 任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x-3)<2x 因为xf(x)-1>0, (2x一3)的解集为 所以g'(x)>0, 解析：令g(x)=f(x)-x2-3x, 故g(x)是增函数， 则g'(x)=f(x)-2x-3<0在R上恒成立， 由g(2)>g(1)得，f(2)-ln2>f(1)-ln1, 所以g(x)是减函数. 即f(2)-ln2>f(1),故A正确； 又f(2x-3)<2x(2.x-3), 由g(4)>g(2)得，f(4)-ln4>f(2)-ln2, 即f(2.x-3)-(2.x-3)2-3(2.x-3)<0, 即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2,故B正确； 又f(1)-12-3×1=0, 由g(e)>g(2)得，f(e)-lne>f(2)-ln2, 即g(2x-3)<g(1), 即f(e)+ln2>f(2)+1,故C错误； 所以2x-3>1,解得x>2, 由g(e2)>g(e)得，f(e2)-lne2>f(e)-lne, 所以不等式f(2.x-3)<2x(2x-3)的解集为 即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故 (2,十∞). D正确.] 答案：(2，十∞) 8.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，导函数为 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导 f(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)e(e为自 函数为f(x),且当x<0时，2f(x)十xf'(x) 然对数的底数)，且f(1)=0,则 () <0,则不等式(x-2024)2f(x-2024)一 A.3f(2)>2f(3) f(一1)<0的解集为 B.f(1)<f(2)<f(e) 解析：令F(x)=xf(x), C.f(x)在x=1处取得极小值 则F(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(x)十 D.f(x)无极大值 xf(x)],由当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0, 解析：BCD[设gr)=f:(x>O, 所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)十xf(x)] 剥R=-@-e- >0,即F(x)在(-∞，0)上是增函数， 由题意f(x)是定义在R上的偶函数，所以 可设gx)=g+c, f(-x)=f(x),所以F(-x)=(-x)2f(-x) =x2f(x)=F(x), 则g(1)-e十c=0,解得c--e, 所以F(x)是偶函数，在(0，十∞)递减，所以 故gu)=号-e, F(x-2024)=(x-2024)2f(x-2024), F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1),即不等式等 即f(x)=e-ex,x>0, 价为F(x-2024)<F(-1), 令g'(x)>0,则x>1, 所以|x-2024|>1,所以x<2023或x> 故g(x)在(1，十∞)上单调递增， 2025. g(2)<g(3),即f2)<f(3) 2 3 答案：{xx<2023或x>2025} ·345·