课时19 函数中的构造问题&课时20 函数中的综合问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 11.解：(1)f(x)=a-2bx,x>0, x ”函数f(x)在x=1处与直线y=一号相切， 1f(1)=a-2b=0, a=1, 1 2 1b21 2)由0)知，f)=1nx-合2>0， f=-x 当≤x≤e时，令f(x)>0,得≤x<1, e 令f(x)<0,得1<x≤e, )在[日)）上单调递培， 在(1，e]上单调递减， ∴f(x)=f1)=- 1 12.解：(1)使用单调性的定义和导数即可判断单调性： (2)先用导数确定g'(x)的单调性，然后利用零点存在 定理分情况讨论g'(x)的零点个数，即可得到a的取值 范围 )由f)=了+a,知f)=+a 当a≥0时，f(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调 递增； 当a<0时，有f(x)=x十a=(x十√-a)(x-√一a), 从而对x<-√一a和x>√一a有f'(x)>0, 对-√一a<x<√一a有f'(x)<0. 所以f(x)在(-o∞，-√一a]和[√一a,十∞)上单调递 增，在[-√一a,√一a]上单调递减. 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 当a<0时，f(x)在(-∞，-√一a]和[√一a,十∞)上 单调递增，在[-√一a,√一a上单调递减. (2)由于g)=了+ar+2mx, 故g()=x2+2十a. 2h()=g,则()=2红名=2(x] 从而对0<2<1有h'(x)<0,对x>1有h'(x)>0. 所以g'(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十∞)上单调 递增. 当a≥一3时，对x∈(0,1)U(1,十∞)均有 g'(x)>g'(1)=3十a≥0，所以g(x)不可能有两个零 点，从而g(x)不可能有两个极值点； 当a<-3时由（号）合>0g=3+a<0 g'(-a)= >0,结合零点存在定理可知g(x) -a 有在两个零点E(吕）e1 再结合g(x)的单调性知g'(x)在x∈(0，u)U(,十 ∞)时取正值，在x∈(u,o)时取负值，所以g(x)有极大 值点x=u和极小值点x=u. 综上，a的取值范围是（一∞，一3. ·48 13.AD[根据材料知h(x)=x=e云=en,所以 )=e·(n=e·(2h叶)月 子·e“(1-hx,令Nx)=0得x=e,当0<x<e 1 时，h(x)>0,此时函数h(x)单调递增；当x>e时， h'(x)<0,此时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大 值，为h(e)=e:,无极小值.] 14.解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→f(x)= x2-x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0. 设g(x)=x十lnx-l,x>0,由y=x与y=lnx均为增 函数，故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0台x≥1，故解集为[1，十o∞). (2)由题意，f'(x)=2x-(m+2)十m =2z2-(m+2)x十m=(x-10(2x-m2 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=x-1D(2x-m≥03z≥1， 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故 f(x)无极大值不成立； 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时，'()=2二1D≥0恒成立，f(x)在 (0,十o)单调递增，故f(x)无极大值不成立； ②当0m<2时， f(x)=-1D2m≥0→x≥1浅0Kx≤2， z)在(0，受]和[1，+∞)单调逼增，在（受1）单调 递减，故f()在x=受处取得极大值： ③当m>2时，f'(x)=-1)(21-m)≥0>x≥或 0<x1, f)在(0,1]和[受，+∞)单调递增，在(1，受)单润 递减，故f(x)在x=1处取得极大值： 综上：m∈(0,2)U(2,十o∞). 课时冲关19函数中的构造问题 1.D[设g()= 2,x≠0 x 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(-x)=f(x). 因为g(-x)=f二四=-f八卫=-g(x, 一x 所以g(x)为奇函数， 所以g(-2)=-g(2). 因为f(一2)=0， 所以g(-2)=g(2)=0. 当x>0时g()=()-<0, x 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， 此时不等式2>0的解集是(0,2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减， 所以当<0时，不等式四0的解集是（一00，-2. 综上所述，不等式卫>0的解集是(-∞，一2U(0,2》.] 8 2.C[设g(r)=f2 则g(x)=()e-2f)e2 (e2)月 f(x)-2f(x) e 因为f(x)-2f(x)<0在R上恒成立， 所以g(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 所以g(-1)>g(0), 卫=cf(-1)>f0=1,故A不正确； e e0 g(1)<g(0),即1<f0) e 即f(1)<ef(0)=e,故B不正确； e 即了（合）K,故C正确： 即f)<cf(合)故D不正确.] 3.B[因为6=lnn3)>lnne)=0,而a=2ln号 <0， c<0,所以b最大， 构造函数f(x)=xlnx(x>0), 因为f'(x)=nx十1(x>0), 当0<x<。时f(x)<0,当x>。时f(x)>0, 所以x)在(0，是)上单调递减。 在（合，十∞）上单调递增， 又国为a=(侵)=f()所以（侵）P(日) 即a>c,故b>a>c.] 4.C[构造画数gx)=f)cosx,z∈（受，受） g()=f (cos a-f()sin 0 所以g)在（受，受）上单调递增， 则8（晋）<() 所以（晋）()Kf(晋)m()片 即（晋）（受）故A不正确： 则(5)>()片 所以f(等)o晋>f(紧)os子： 即()Pf(罕）故B不正确： 由在（受·受）上单调递培，得g0<s(合)月 所以f0)cos0<f(5)os号 参考答案 同理可得g0)<g(于)： 所以f0)cos0<f(受)os至 即，f0)<f(罕)故D不正确.] 5.B[令g(x)=ef(x), 函数g(x)的定义域为R, 因为3f(x)十f(x)<0, 所以g'(x)=[e3f(x)]'=e[3f(x)+f(x)]<0, 故g(x)为减函数， 又因为f(1n2)=1, 所以g(ln2)=e2f(ln2)=8, 所以不等式ef(x)>8可化为g(x)>g(In2), 所以x<ln2, 所以exf(x)>8的解集为（一oo,ln2).] 6.B[由0<x<y<π，且e'sinx=e"sin y, 得e e sin x sin y' 令f(x)=e -(0<x<π)， sin x 则f(x=e(sinx-cosx) sin'x 当0心<至时，广(x)<0,函数f(x)单调递减，当牙< x<π时，f(x)>0,函数f(x)单调递增， 当f)=f)时，0K<年，至<x, 因为0<x<y<π，e<e, sin sin y 所以siny>sinx>0, 所以子<<， 所以c0sy>c0s(π-x)=-cosx, 所以cosx十cosy>0.] 7.ABD[构造函数g(x)=f(x)-lnx,x>0, 则g)=f)-, x 因为xf(x)-1>0, 所以g(x)>0, 故g(x)是增函数， 由g(2)>g(1)得，f(2)-ln2>f1)-ln1, 即f(2)-ln2>f(1),故A正确； 由g(4)>g(2)得，f(4)-ln4>f2)-ln2, 即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2,故B正确； 由g(e)>g(2)得，f(e)-lne>f(2)-ln2, 即f(e)十ln2>f(2)十1，故C错误： 由g(e2)>g(e)得，f(e)-lne>f(e)-lne, 即f(e)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确.] 8.BCD[设g(x)=四(x>0), 则g=@-e=(侣} 可设g()=g+c, 2 则g(1)=e十c=0,解得c=-e, 故g()=g-e, x 即f(x)=e-ex,x>0, 令g'(x)>0,则x>1, 89 高考总复习数学 故g(x)在(1，十∞)上单调递增， g(2)<g(3),即2<f(3) 2 3； 则3f(2)<2f(3),故A错误； 令f'(x)=e-e>0,得x>1, 令f'(x)=e一e<0,得0<x<1, 则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， .f(1)<f(2)<f(e),f(x)在x=1处取得极小值，无极 大值，故B,C,D均正确. 9.解析：令g(x)=f(x)-x2-3x, 则g'(x)=f(x)-2x-3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数. 又f(2x-3)2x(2x-3), 即f(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0, 又f(1)-1-3×1=0, 即g(2x-3)<g(1), 所以2x-3>1,解得x>2, 所以不等式f(2x一3)<2x(2x-3)的解集为(2，十o). 答案：(2，十∞) 10.解析：令F(x)=x2f(x), 则F'(x)=2xf(x)十x2f'(x)=x[2f(x)十 xf(x)],由当x<0时，2fx)十xf(x)<0, 所以当x<0时，F(x)=x[2f(x)十xf(x)]>0, 即F(x)在（一○，0）上是增函数， 由题意∫(x)是定义在R上的偶函数，所以f(一x) f(x),所以F(一x)=(一x)f(-x)=xf(x)=F(x), 所以F(x)是偶函数，在(0，十∞)递减，所以 F(x-2024)=(x-2024)2f(x-2024), F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1),即不等式等价为 F(x-2024)<F(-1), 所以x-2024>1,所以x<2023或x>2025. 答案：{xx<2023或x>2025} 课时冲关20函数中的综合问题 1.解：(1)f(x)=an2·2-n2=ln2(a·2-1), 当a≤0时，f(x)<0,则函数f(x)在(-oo,十∞)上单 调递减； 当a>0时，当x<log2时fz)<0,当z>1ogd时， fu)>0,所以温教f(x)在(o,og:合）上单调 递减， 在(og:日，+∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(-c∞，十∞)上单调 递减； 当a>0时，函数f(x)在（-o∞，log:)上单调递减，在 (og立，十）上单调递增. (2)证明：由(1)得fx)m=f(og是）-a·2方-n 2Xlog:1=1+In a, 则只要证明1-lna≤21ha叶日即可， 即证lna十 1-1≥0. 令h(a)=lna+L-1(a>0), a 则(a)=1-1=a-1 aaa ·49 当0<a<1时，h'(a)<0,当a>1时，h'(a)>0, 所以函数h(a)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调 递增， 所以h(a)≥h(1)=0,即1na十1-1≥0， 所以当a>0时，不等式f(x≤2na十】有实数解。 a 2.解：1)当a=2时，fx)=(x-1De+,所以f(x) =xe十x, 1 所以f1)=2f(1)=e十1， (x)在x=1处的切线方程为y，=(e+1)(z-1), 1 即y=(e十1)x-e-2, (2)(1)当a=0时，f(x)=(x-1)e,不合题意； 若a≠0，由f(x)=(x-1)e十ax,所以f(x)=xe十 2ax=x(e十2a), (iⅱ)当a>0时，当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,即f(x)单 调递增； 当x∈(-∞，0)时，f(x)<0,即f(x)单调递减， 又f(0)=一1<0，f(1)=a>0,由零，点存在定理及函数 的单调性可知： 存在唯一的x1∈(0,1)，使得f(x1)=0, 又当x→一∞时，f(x)→十∞，由零点存在定理及函数的 单调性可知： 存在唯一的x2∈（一o∞，0），使得f(x2)=0, 所以a>0满足题意； (i)当a<0时，令f(x)=0,得x=0或x=ln(-2a), ①若-是<a<0,则ln(-2a<0,则当xE(-,la( 2a)时，f'(x)>0,即f(x)单调递增； 当x∈(ln(-2a),0)时，f'(x)<0,即f(x)单调递减： 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,即f(x)单调递增； 又f(ln(-2a))=-2a(ln(-2a)-1)+a(ln(-2a)) =a[(ln(-2a)2-2ln(-2a)十2]<0，不合题意： ②若a=-是则1n(-2a)=0,剥f(x)≥0在R上恒成 立， 即f(x)在R上单调递增，不合题意； ③若a<-子，则1h(-2a)>0, 当x∈(-∞，0)时，f(x)>0,即f(x)单调递增； 当zx∈(0，ln(-2a)时，f(x)<0,即f(x)单调递减； 当x∈(ln(-2a),十o∞)时，(x)>0,即f(x)单调递增： 又f(0)=一10，不含题意， 综上所述，参数a的取值范围为(0，十∞). 3.解：(1)若a=2,则f(x)=x2十2x-4lnx, 故∫(x)=2x+2-4=2(x+2)(x-1) 当0<x<1时，f(x)<0;当x>1时，f'(x)>0, 故f(x)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，即 f(x)的增区间为(1，十∞)，减区间为(0,1). (2)f(x)=2x+a-g=2x-a)(x+a2 当a=0时，f(x)=x,此时f(x)在(0，十oo)无零，点，不 合题意 当a>0时，当0<x<号时，则f()<0:当x>受时， (x)>0,故f(x)在（，+∞）上单调递增，在 (0受)上单涧递减，故f(x)=f(受)=子。 aln号，因为画数f(z)有两个不同的零点，则a2- a'lng<0,即a>2e. 又当a>2e时，f1)=1十a>0,而1<号， 结合函数的单调性可得(x)在（0，号）上有且只有一个 零点；而f(a2)=a十a-2alna=a(a2十a-2lna), 令g(a)=a2十a-2lna,a>2ei,则 g(a)=2a+1-二>0，故ga)在(2e,十o0)上单调递增， 故g(a)>4e是+2e于-2ln(2e)>4e量+2e子-2lne =4e2+2e-7>0, 故f(a)>0,结合函数的单调性可得f(x)在 (受十∞)）上有且只有-个零点， 故a的取值范围为a>2e导】 4.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，求导得f(x)= aln x x 若a=0,则f(x)=0,无极值； 若a≠0，由f(x)=0,可得x=1, 若a<0,当0<x<1时，f(x)<0,则f(x)单调递减，当 x>1时，f(x)>0,则f(x)单调递增， 此时，函数f(x)有唯一极小值f(1)=a,无极大值； 若a>0,当0<x<1时，f(x)0,则f(x)单调递增，当 x>1时，(x)>0,则f(x)单调递减， 此时，函数f(x)有唯一极大值f(1)=a,无极小值； 所以当a=0时，函数f(x)无极值； 当a<0时，函数f(x)有极小值f(1)=a,无极大值； 当a>0时，函数f(x)有极大值f(1)=a,无极小值； (2)证明：由(ex1)2=(ex2)1,两边取对数可得x2(lnx 十1)=(ln+1),即n十1_l+1 当a=1时，f()=+1,f()=-, x21 由(1)可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞) 上单调递减，所以f(x)mx=f(1)=1, 而/(）=0，>1时，)>0恒成主， 因此，当a=1时，存在x1,x2且0<x1<1<x2,满足 f(x1)=f(x2), 若x2∈[2，十∞)，则x1十x2>22≥2成立： 若x2∈(1,2)，则2-x2∈(0,1)， 记g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(1,2)， 则g()=f(x)十f2-x）=2-l2->血x x2(2-x)2 ln2-2=ln-（x=1)+>0, x 即有函数g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1) 0,即f(x)>f(2-x), 于是f(x1)=f(x2)>f(2-x2),而x2∈(1,2)，2-x,∈ (0,1),x1∈(0,1)， 函数f(x)在(0,1)上单调递增，因此x1>2-x2,即x1十 x2>2. ·49 参考答案 课时冲关21任意角和孤度制、三角函数的概念 1.C[与角紧的终边相同的角可以写成2x+要(k∈Z) 或k·360°十45°(k∈Z),但是角度制与孤度制不能混用， 排除A、B,易知D错误，C正确.] 2.A[因为角a的终边经过点P(1W5),则x=1,y=√5，r =0P=2,所以osa=号=之，ana=义=5，那么 cosa十tana= 1+25,] 2 3.A[因为角a的终边上一，点的坐标(a,2)且a是非零实 2 数，所以根据三角函数的定义知，sina= ，c0sa wa2+4 a tan a=2 √a+4 a 2 选项A,cos atan a= >0，故选项A正确；选项B, √a+4 sin acos a= 2因为口的正负不知，故选项B错误；选项 4 C,sin atan a=- 二，因为a的正负不知，故选项C错 a vaFA 误；选项D,tana= ,因为a的正负不知，故选项D错误.] a 4,C[因为点P 1在第四象限，所以根据三角函 1 数的定义可知tan0= 2 5,又9∈[0,2m),所以9 2 =11x 6 5.A[设扇形的圆心角的孤度数为日，其所在圆的半径为 w-ia 5-1,解得9=(3-5).] 6.D[如图所示，设0<a<π，0<g<π 分别是和角α，B终边相同的角，则由 角a和B的终边关于y轴对称，可得 a'十阝=π，由终边相同的角可得a十B =(2k十1)π，k∈Z.] 7.AC[因为角a是第二象限角，所以 受+2kx<e<26十k∈乙. 对于A,一0-2k<-a<-2km一受，k∈Z,故-a是第 三象限角，故A正确； 对于B,-2次r<-a<-2kx十受k∈乙，故x一a是第- 象限角，故B不正确； 对于C,-十2kx<a一经<2x-吾k∈Z,故。-受是 第三象限角，故C正确； 对于D,π十4kπ<2a<4kπ十2π，k∈Z,故2a是第三象限 角或y轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.] &.ABD[选项A,若0<a<乏，则sina<iana,A正确，选 项B,若a是第二象限角，即α∈(2kx十交，2kr十rk∈ ,则受∈（kr十牙kx+)k∈7，为第一象限或第三 1第三章一元函数的导数及其应用 课时冲关19 函数中的构造问题 [答题栏] 1 一、单选题 5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x> f(x),且3f(x)+f'(x)<0,f(ln2)=1, 0时，xf(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,则 则不等式e3f(x)>8的解集为 ( 4 A.(-∞，2) B.(-o∞，ln2) 不等式f)>0的解集是 C.(ln2,+∞) D.(2,+∞) 5. A.(-2,0)U(0,2) 6.已知0<x<y<π，且e'sin x=e'siny,其6 中e为自然对数的底数，则下列选项中一7. B.(-∞，-2)U(2,+∞) 定成立的是 ( C.(-2,0)U(2,+∞) A.cos x+cos y<0 B.cos z+cos y>0 D.(-∞，-2)U(0,2) C.cos x>>sin y D.sin x>sin y 2.已知定义域为R的函数f(x),其导函数为 二、多选题 f(x),且满足f(x)-2f(x)<0,f0)=1,则 7.定义在(0，+o∞)上的函数f(x)满足xf(x) ( ) 一1>0，则下列结论正确的是 () A.ef(-1)<1 B.f(1)>e A.f(2)-ln2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln2 D.f(1)>ej 2) C.f(2)+ln2>f(e)+1 D.f(e)-f(e)>1 3已知a=n2b=lnn3),c=-,则 8.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函 ( 数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=（x-1) A.a>b>c B.b>a>c e(e为自然对数的底数)，且f(1)=0,则 ) C.b>c>a D.c>a>b A.3f(2)>2f(3) 4.已知函数y=f(x)对任意的x∈ B.f(1)<f(2)<f(e) 〔-分，受满足∫()cosx-f(x)smx> C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)无极大值 0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则 三、填空题 下列不等式成立的是 9.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其 A.(-f- 导函数为(x),若f(1)=4,且f(x)-2x< 3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x一 Bf大f) 3)<2x(2x一3)的解集为 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其 c.2ro 导函数为f(x),且当x<0时，2f(x)十 xf(x)<0,则不等式(x-2024)f(x-2 D.r() 024)一f(-1)<0的解集为 ·269 高考总复习数学 课时冲关20 函数中的综合问题 1.已知函数f(x)=a·2一xln2. 2.已知函数f(x)=(x-1)e+ax2. (1)讨论函数f(x)的单调性； (1)当a=2时，求函数f(x)在x=1处的切 (2)当a>0时，证明：不等式f(x)≤2lna 线方程； +1有实数解 (2)若函数f(x)有两个零点，求参数a的取 值范围. ·270· 第三章一元函数的导数及其应用 3.已知函数f(x)=x2十ax-a21nx,a≥0. 4.已知函数f(x)=alnx十a (1)当a=2时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个不同的零点，求a (1)讨论f(x)的极值； 的取值范围. (2)若(ex1)=(ex2)(e是自然对数的底 数)，且x1>0,x2>0,x1≠x2,证明：x1十 x2>2. ·271·