课时18 导数与函数的极值，最值（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

第三章一元函数的导数及其应用 课时冲关18导数与函数的极值、最值 对应学生用书P267 [基础巩固练] 3.已知函数f(x)=2sinx-3.x,若对任意m∈[一 一、单选题 2,2],f(ma-3)+f(a2)>0恒成立，则实数a 1.若x=1是函数f(x)=(x2十a.x-1)e-1的极值 的取值范围是 点，则f(x)的极大值为 A.(-1,1) B.(-co,-1)U(3,+∞) A.-1 B.-2e3 C.(-3,3) D.(-∞，-3)U(1,+∞) C.5e3 D.1 解析：A[f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x), 解析：C[因为f(.x)=(.x2+a.x-1)e1, 且f(x)=2cosx-3<0,所以函数f(x)为R上的 故可得f(x)=(2x+a)e-1十(.x2十a.x-1) 减函数且为奇函数，因此f(ma-3)十f(a2)>0→ e-1=e1[x2+(a+2)x+a-1], f(ma-3)>-f(a2)=f(-a2)→ma-3<-a2,即 因为x=1是函数f(x)=(x2十a.x-1)e-1的极 2a-3<-a, -3a<1, 值点，故可得f(1)=0, -2a-3<-a2{-1<a<3 s-1<a<1.] 即2a十2=0，解得a=-1. 此时f(x)=e1(x2+x-2)=e-1(x+2)(x-1). 4.若x=1是函数f(x)=alnx十x的极值点，则a 的值是 令f'(.x)=0,解得x1=-2,x2=1, 由f'(x)>0可得x<-2或x>1; A.-1 B.0 C.1 D.e 由f'(x)<0可得-2<x<1, 解析：A[f(x)的定义域为(0，十∞)， 所以f(x)在区间（一∞，一2）上单调递增， f)=4+1, 在（一2,1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 因为x=1是函数f(x)=alnx十x的极值点， 故f(x)的极大值点为x=一2.则f(x)的极大 所以f(1)=0,即a+1=0,所以a=-1, 值为f(-2)=(4十2-1)e3=5e3.] 2.若a∈R,“a>3”是“函数f(x)=(x-a)e在 当a=-1时，f(x)=1-1=x-1, (0,十∞)上有极值”的 令f(x)>0,得x>1,令f(x)<0,得0<x<1, A.充分不必要条件 所以f(x)在x=1处取得极小值，符合题意. B.必要不充分条件 综上所述：a=-1.] C.充要条件 5.已知实数a满足2a+a=2,则函数f(x)=2x D.既不充分也不必要条件 -3.x2+1-a的零点个数为 () 解析：A[由题意，函数f(x)=(x一a)e,则 A.0 B.1 C.2 D.3 f(x)=(x-a十1)e,令f(x)=0,可得x= a-1,当x<a-1时，f(x)<0;当x>a-1时， 解析：D[由题设f'(x)=6x(x-1),则x<0 f(x)>0,所以函数f(x)在x=a-1处取得极 或x>1时，f(x)>0,0<x<1时，f(x)<0, 小值，若函数f(x)在(0，十∞)上有极值，则a一 所以f(x)在（一∞，0），(1，十o∞)上单调递增， 1>0,解得a>1.因此“a>3”是“函数f(x)= 在(0,1)上单调递减，且f(0)=1-a,f(1)=-a. (x-a)e在(0，十o∞)上有极值”的充分不必要 由2+a=2,即2=2-a,而y=2在R上单调 条件.门 递增，y=2-a在R上单调递减， ·339· 高考总复习数学 显然2°=1<2-0=2,2=2>2-1=1，故0<a 解析：AB[由导函数的图象可知，当x∈[a, <1,所以f(0)>0>f(1), x2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈（x2, 又x→-∞时，f(x)→-∞，x→+o∞时，f(x)→ x3)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(x3,b] 十∞，结合f(x)的图象可知f(x)共有3个 时，f'(x)≥0，f(x)单调递增.故A,B正确，C, 零点.] D错误.] 8.已知函数f(x)=x3一x十1，则 6.已知正四棱锥的侧棱长为2√3，那么当该四棱 A.f(x)有两个极值点 锥体积最大时，它的高为 B.f(x)有三个零点 A.1 B.3 C.2 D.3 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 解析：C[设底面边长为a, D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 2 则高h (23) 2a 12 解析：AC[f(x)=3x-1,所以f(x)有两个 2 2 极值点一 与9x阁=1-2>0，所以 所以体积V= 3ah= 3 12a f(x)只有一个零点；由f(x)十f(-x)=2可 设y=12a- 20°，则y=48a3-3a5, 1 知，点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心；令 f(x)=3.x2-1=2,可得x=±1，又f(1)= 令y=48a3-3a5=0,解得a=4. f(-1)=1, 当a>4时y<0,函教y=12a-4在区间 当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x一1， (4,十∞)上单调递减； 当切点为（一1,1）时，切线方程为y=2x十3.所 以答案选AC.] 当0<a<4时y>0,函数y=12d-0在区 三、填空题 间(0,4)上单调递增。 9.若f(x)=3.x一x3的两个极值点为x1,x2,则x 所以当a=4时，y=12a- 2a°取得最大值，即 十x2= 解析：由f(x)=3.x-x3可得f(x)=3-3x2, 此时体积最大，此时h =2.] 令f(x)<0有3-3x2<0,解得x<-1或x>1, 令f(x)>0,有3-3x2>0,解得-1<x<1, 二、多选题 所以f(x)在（一∞，-1）和(1，十∞)上单调递 7.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则 减，在(-1,1)上单调递增， ( 所以函数的极值点为一1和1，则x1十x2=0. 答案：0 y=f(x) 10.函数f(x)=|2x-1|-21nx的最小值为 解析：函数f(x)=|2x一1-21nx的定义域 A.f(x)在区间(x2,x3)上单调递减 为(0，十∞) B.f(x)在x=x2处取得极大值 ①当>号时，f(x)=2x-1-2n, C.f(x)在区间(a,b)上有2个极大值点 D.f(x)在x=x1处取得最大值 f(x)=2-2=2(x-1) x ·340· 第三章一元函数的导数及其应用 当2<<1时，f(x)<0, 解：(1)使用单调性的定义和导数即可判断单 调性；(2)先用导数确定g'(x)的单调性，然后 当x>1时，f(x)>0, 利用零点存在定理分情况讨论g'(x)的零点个 所以f(x)min=f(1)=2-1-21ln1=1; 数，即可得到a的取值范围. ②当0<x≤2时，f(x)=1-2x-21nx在 由fx)=号+ax,知f)=+a (0,]上单调递减， 当a≥0时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增； 所以fxm=f(2)-21n合=21n2=ln4 当a<0时，有f(x)=x2+a=(x十√-a)(x- >lne=1.综上，f(x)min=1. √-a), 答案：1 从而对x<-√一a和x>√-a有f'(x)>0, 四、解答题 对-√-a<x<√-a有f'(x)<0. 11.设函数f(.x)=alnx一bx2,若函数f(.x)在x=1 所以f(x)在(-∞，-√一a]和[√-a,十∞)上 处与直线y=一号相切。 单调递增，在[一√一aW一a]上单调递减. (1)求实数a,b的值； 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； (2)求函数fx)在片c上的最大值。 当a<0时，f(x)在(-o∞，-√-a]和[√一a,十 ∞)上单调递增，在[-√一a,√一a]上单调 解：(1)f(x)=4-2bx,x>0, x 递减 :函数f(x)在x=1处与直线y=- 相切， (2)由于g)=3+ax+2nx, 〔f(1)=a-2b=0, fa=1, 故)=r+是+d U1)=-b=一1，解得 2 记h(x)=g'(x),则h'（x)=2x- (2②)由1)知，f)=l1nx->0, =2(x3-1) f(x)=1-x=1-x2 x 从而对0<x<1有h(x)<0,对x>1有h'(x) >0. 当1≤x≤e时，令f(x)>0,得≤x<1, 所以g'(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十o∞)上 令f(x)<0,得1<x≤e, 单调递增 f)在[日，上单递增， 当a≥-3时，对x∈(0,1)U(1,十∞)均有 g'(x)>g'(1)=3十a≥0，所以g'(x)不可能有 在(1，e]上单调递减， 两个零点，从而g(x)不可能有两个极值点； f=f1)=- 当a<-3时，由()>0g3 12.已知函数)=号计aaa∈R +a<0,g'(w-a)= 2>0,结合零点存在 -a (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数g(x)=f(x)十21nx存在两个极值 定理可知g)存在两个零点u∈（吕，小 点，求实数a的取值范围. v∈(1，w-a). ·341· 高考总复习数学 再结合g'(x)的单调性知g'(x)在x∈(0，u)U +lnx-1≥0.设g(x)=x+lnx-1,x>0,由 (v,十o∞)时取正值，在x∈(u,v)时取负值，所 y=x与y=Inx均为增函数，故g(x)为增 以g(x)有极大值，点x=u和极小值点x=v. 函数 综上，a的取值范围是（一c∞，一3). 由g(1)=0得g(x)≥0台x≥1，故解集为[1， [能力提升练] 十∞). 13.[多选]材料：函数是描述客观世界变化规律的 (2)由题意，f(x)=2x-(m+2)+ x 重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析 教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即 =2x2-(m+2)x十m_(x-1)(2x-m) 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运 故分类讨论，由当m≤0时， 算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式 f'(x)=-1D(2-m≥0>x≥1， 子表示的，如函数f(x)=x'(x>0),我们可以作 变形：f(x)=x'=e=ehr=e(t=xlnx),所以 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递 f(x)可看作是由函数f(t)=e和g(x)= 增，故f(x)无极大值不成立； xlnx复合而成的，即f(x)=x'(x>0)为初等 当m>0时，分类讨论， 函数.根据以上材料，下列关于初等函数h(x) ①当m=2时，f(x)=2(二1D≥0恒成立， =x(x>O)的说法正确的是 ) f(x)在(0，十∞)单调递增，故f(x)无极大值 A.无极小值 B.有极小值1 不成立； C.无极大值 D.有极大值e ②当0<m<2时， 解析：AD[根据材料知h(x)=x=ch宁 f(x)=u-D2x-m≥0>x≥1或0<x e,所以h(x)=c(nz=c, 2 -inx+2)是·e(1-ln),令 fx)在0，受]和[1，十∞)单调递增，在 h'(x)=0得x=e,当0<x<e时，h'(x)>0,此 时函数h(x)单调递增；当x>e时，h'(x)<0,此 (受，1单洞递减，故f(x)在x=罗处取得极 时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大值，为 大值； h(e)=e,无极小值.] ③当m>2时，f(x)=x-1)(2xm)≥0→ 14.(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m十2)x十 mlnx,m∈R. x≥或0<x≤1， 2 (1)若f(1)=0,求不等式f(.x)≤x2-1的 解集； f(x)在(0,1]和 单调递增，在 (2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极 （,受)单调递减，故fx)在x=1处取得极 大值，求m的取值范围. 解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→ 大值； f(x)=x2-x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x 综上：m∈(0,2)U(2,+o∞). ·342·