课时18 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

14.解析：对任意的1，zx,∈(1，十o∞)，且x<x2, xlnx-ln<2,易知m≥0， x-x1 则x1lnx2-x2lnx1<2x2一2x1, 所以x1(lnx2十2)<x2(lnx1十2)， 即lnx+2lnx2+2 令f代x)=1血+2，则函数f(x)在(m,十60)上单调 递减 因为f(x)=-血中，由f(x)<0,可得x> 所以画教f)的单润递减区间为（日，十）， 所以(m,十)（日十o）故m≥， 即实数m的取值范固为[，十∞） 省索+∞) 课时冲关18导数与函数的极值、最值 1.C[因为f(x)=(x2+a.x-1)e-1, 故可得f'(x)=(2x十a)e-l十(x2十a.x-l)e1=e-l [x2+(a+2)x+a-1], 因为x=1是函数f(x)=(x2十ax-1)e-1的极值点，故 可得f'(1)=0, 即2a十2=0，解得a=-1. 此时f(x)=e-1(x2+x-2)=e-1(x十2)(x-1). 令(x)=0,解得x1=-2,x2=1, 由f(x)>0可得x<-2或x>1: 由f(x)<0可得-2<x<1, 所以f(x)在区间（一○，一2）上单调递增， 在（一2,1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 故f(x)的极大值点为x=-2.则f(x)的极大值为f(一2) =(4+2-1)e3=5e3.] 2.A[由题意，函数fx)=(x-a)e,则f(x)=(x一a十l)e, 令f'(x)=0,可得x=a一1，当x<a一1时，f(x)<0; 当x>a-1时，f'(x)>0,所以函数f(x)在x=a-1处 取得极小值，若函数f(x)在(0，十o)上有极值，则a一1 >0,解得a>1.因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)e在 (0,十∞)上有极值”的充分不必要条件，] 3.A[f(x)的定义域为R,f(一x)=一f(x),且f(x)= 2cOsx-3<0,所以函数fx)为R上的减函数且为奇函数， 因此f(a-3)十f(a2)>0→f(nia-3)>-fa2)=f-a) -,一{- a<1. 4.A[f(x)的定义域为(0，十o∞)， f(x)=a+1, 因为x=1是函数f(x)=alnx十x的极值，点， 所以f'(1)=0,即a十1=0，所以a=-1, 当a=-1时，f(x)=1-1=-1, 令'(x)>0,得x>1,令f(x)<0,得0<x<1, 所以f(x)在x=1处取得极小值，符合题意， 综上所述：a=-1.] 5.D[由题设f(x)=6x(x-1),则x<0或x>1时， f(x)>0,0<x1时，f(x)<0,所以f(x)在(-o∞，0)， (1,十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)= 1-a,f(1)=-a. ·48 参考答案 由2十a=2,即2=2-a,而y=2在R上单调递增， y=2-a在R上单调递减， 显然2°=12-0=2,2=2>2-1=1，故0a<1,所 以f(0)>0>f(1), 又x→一∞时，f(x)→一∞，x十∞时，f(x)→十0∞，结 合f(x)的图象可知f(x)共有3个零点.] 6.C[设底面边长为a, 则高h2) V2a 2 所以体积V=3ah= 1 3 /12a -d. 设y=12a-a,则y=48a-3a, 令y'=48a3-3a5=0,解得a=4. 当a>4时，y'<0,函数y=12a1- 2a在区间(4，十0) 上单调递减； 当0<a<4时y>0,函数y=12a-a在区间(0,4) 上单调递增。 所以当a=4时y=12a-之。取得最大值，即此时体 款采大：此时42号-2] 7.AB[由导函数的图象可知，当x∈[a,x2)时，f(x)> 0,f(x)单调递增；当x∈(x2,x)时，f(x)<0,f(x)单 调递减；当x∈(x,b]时，f(x)≥0，f(x)单调递增.故 A,B正确，C,D错误.] &.AC[f(x)=3x2-1,所以f(x)有两个极值点-5与 3 号又得)190，所以只有-个零点， 9 由f(x)十f(-x)=2可知，点(0,1)是曲线y=f(x)的 对称中心；令f(x)=3x2-1=2,可得x=±1，又f(1) =f(-1)=1, 当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1, 当切点为（一1,1）时，切线方程为y=2x十3.所以答案 选AC.] 9.解析：由f(x)=3x一x可得f(x)=3-3x, 令f(x)<0有3-3x2<0,解得x<-1或x>1,令f'(x) >0,有3-3x2>0,解得一1<x<1, 所以f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上单调递减，在 (-1,1)上单调递增， 所以函数的极值点为一1和1，则x1十x2=0. 答案：0 10.解析：函数f(x)=2x一1一2lnx的定义域为(0，十∞). ①当x>2时，fx)=2x-1-2lnx, f(x)=2-2=2(x-1少 x 当2<<1时f)<0, 当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)mim=f(1)=2-1-2ln1=1: @当0Kx≤号时，fx)-=1-2红-2nx在(0，]上 单调递减， 所以)m=f(2)-22=n2=h4>1ne=1 综上，f(x）m=1. 答案：1 高考总复习数学 11.解：(1)f(x)=a-2bx,x>0, x ”函数f(x)在x=1处与直线y=一号相切， 1f(1)=a-2b=0, a=1, 1 2 1b21 2)由0)知，f)=1nx-合2>0， f=-x 当≤x≤e时，令f(x)>0,得≤x<1, e 令f(x)<0,得1<x≤e, )在[日)）上单调递培， 在(1，e]上单调递减， ∴f(x)=f1)=- 1 12.解：(1)使用单调性的定义和导数即可判断单调性： (2)先用导数确定g'(x)的单调性，然后利用零点存在 定理分情况讨论g'(x)的零点个数，即可得到a的取值 范围 )由f)=了+a,知f)=+a 当a≥0时，f(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调 递增； 当a<0时，有f(x)=x十a=(x十√-a)(x-√一a), 从而对x<-√一a和x>√一a有f'(x)>0, 对-√一a<x<√一a有f'(x)<0. 所以f(x)在(-o∞，-√一a]和[√一a,十∞)上单调递 增，在[-√一a,√一a]上单调递减. 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 当a<0时，f(x)在(-∞，-√一a]和[√一a,十∞)上 单调递增，在[-√一a,√一a上单调递减. (2)由于g)=了+ar+2mx, 故g()=x2+2十a. 2h()=g,则()=2红名=2(x] 从而对0<2<1有h'(x)<0,对x>1有h'(x)>0. 所以g'(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十∞)上单调 递增. 当a≥一3时，对x∈(0,1)U(1,十∞)均有 g'(x)>g'(1)=3十a≥0，所以g(x)不可能有两个零 点，从而g(x)不可能有两个极值点； 当a<-3时由（号）合>0g=3+a<0 g'(-a)= >0,结合零点存在定理可知g(x) -a 有在两个零点E(吕）e1 再结合g(x)的单调性知g'(x)在x∈(0，u)U(,十 ∞)时取正值，在x∈(u,o)时取负值，所以g(x)有极大 值点x=u和极小值点x=u. 综上，a的取值范围是（一∞，一3. ·48 13.AD[根据材料知h(x)=x=e云=en,所以 )=e·(n=e·(2h叶)月 子·e“(1-hx,令Nx)=0得x=e,当0<x<e 1 时，h(x)>0,此时函数h(x)单调递增；当x>e时， h'(x)<0,此时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大 值，为h(e)=e:,无极小值.] 14.解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→f(x)= x2-x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0. 设g(x)=x十lnx-l,x>0,由y=x与y=lnx均为增 函数，故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0台x≥1，故解集为[1，十o∞). (2)由题意，f'(x)=2x-(m+2)十m =2z2-(m+2)x十m=(x-10(2x-m2 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=x-1D(2x-m≥03z≥1， 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故 f(x)无极大值不成立； 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时，'()=2二1D≥0恒成立，f(x)在 (0,十o)单调递增，故f(x)无极大值不成立； ②当0m<2时， f(x)=-1D2m≥0→x≥1浅0Kx≤2， z)在(0，受]和[1，+∞)单调逼增，在（受1）单调 递减，故f()在x=受处取得极大值： ③当m>2时，f'(x)=-1)(21-m)≥0>x≥或 0<x1, f)在(0,1]和[受，+∞)单调递增，在(1，受)单润 递减，故f(x)在x=1处取得极大值： 综上：m∈(0,2)U(2,十o∞). 课时冲关19函数中的构造问题 1.D[设g()= 2,x≠0 x 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(-x)=f(x). 因为g(-x)=f二四=-f八卫=-g(x, 一x 所以g(x)为奇函数， 所以g(-2)=-g(2). 因为f(一2)=0， 所以g(-2)=g(2)=0. 当x>0时g()=()-<0, x 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， 此时不等式2>0的解集是(0,2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减， 所以当<0时，不等式四0的解集是（一00，-2. 综上所述，不等式卫>0的解集是(-∞，一2U(0,2》.] 8第三章一元函数的导数及其应用 课时冲关18 导数与函数的极值、最值 [基础巩固练] 三、填空题 一、单选题 9.若f(x)=3x一x3的两个极值点为x1,x2, 1.若x=1是函数f(x)=(x2+ax-1)e 则x1十x2 的极值点，则f(x)的极大值为 10.函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 A.-1 B.-2e-3 C.5e3 D.1 2.若a∈R,“a>3”是“函数f(x)=(x-a)e 四、解答题 在(0，十∞)上有极值”的 ) 11.设函数f(x)=alnx-bx2,若函数f(x) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 在=1处与直线y=一相切. C.充要条件 (1)求实数a,b的值； D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)=2sinx一3x,若对任意m ∈[-2,2]，f(ma-3)+f(a2)>0恒成 立，则实数a的取值范围是 A.（-1,1) B.(-∞，-1)U(3,+∞) C.(-3,3) D.(-o∞，-3)U(1,+o∞) 4.若x=1是函数f(x)=alnx十x的极值 点，则a的值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.e 5.已知实数a满足2a十a=2,则函数f(x)= 2x3一3x2+1-a的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知正四棱锥的侧棱长为2√3，那么当该 (2)求函数f)在[是e上的最大值。 四棱锥体积最大时，它的高为 () A.1 B.√5 C.2 D.3 二、多选题 7.函数f(x)的导函数 f(x)的图象如图所 f(a) 示，则 ( A.f(x)在区间(x2, x3)上单调递减 B.f(x)在x=x2处取得极大值 C.f(x)在区间(a,b)上有2个极大值点 D.f(x)在x=x1处取得最大值 8.已知函数f(x)=x3-x十1，则 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 ·267· 高考总复习数学 []12.已知函数)=吉十a,a∈R [能力提升练] 13.[多选]材料：函数是描述客观世界变化规 (1)讨论f(x)的单调性； 律的重要数学模型，在现行的高等数学与 -2 数学分析教材中，对“初等函数”给出了确 3 切的定义，即由常数和基本初等函数经过 有限次的四则运算及有限次的复合步骤 ..4 所构成的，且能用一个式子表示的，如函 -5 数f(x)=x(x>0),我们可以作变形： -6 f(x)=x"=eh:=eh=e(t=xIn x), 所以f(x)可看作是由函数f(t)=e和 7 g(x)=xlnx复合而成的，即f(x)=x -8 (x>0)为初等函数.根据以上材料，下列 13 关于初等函数h(x)=x(x>O)的说法正 确的是 () A.无极小值 B.有极小值1 C.无极大值 D.有极大值e 14.(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m+ 2)x+mlnx,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1 的解集； (2)若函数g(x)-f(x)+2lnx存在两个 极值点，求实数a的取值范围. (2)若函数y=f(x)满足在(0，十∞)上存 在极大值，求m的取值范围. ·268·