课时16 导数的概念及其意义，导数的运算（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

第三章一元函数的导数及其应用 第三章 一元函数的导数及其应用 课时冲关16 导数的概念及其意义、导数的运算 对应学生用书P263 [基础巩固练] 5.过点P1,2)作曲线C:y=兰的两条切线，切点 一、单选题 分别为A,B,则直线AB的方程为 1.下列函数的求导正确的是 A.(x2)'=-2.x A.2x+y-8=0 B.2.x+y-6=0 C.2.x+y-4=0 D.x+2y-5=0 B.(xcos x)'=cos x-xsin x C.(nto 解析：A[设A(1y),B(x2y2),由y=4 D.(e2r)'=2e 得y'=- 厂，曲线C在A点处的切线方程为 解析：B[(x2)'=-2.x3,.A错；(xcos x)1 =cosx-xsin x,.B对；(ln10)'=0,.C错； y一y1=- (x-x1,把P(1,2)代入切线方 x (e2r)/=2e2x,.D错.] 程，得2-1=-马1-西)，化简得2红十-8 2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s) 的关系式为s=100t一5t2,则该质点的瞬时速度 =0,同理可得曲线C在B点处的切线方程为 为0m/s时，t= () 2x2十y2一8=0，：A,B都满足直线2x十y-8 A.50s B.20s C.10s D.5s =0,.直线AB的方程为2x十y-8=0.] 6.已知a,b为正实数，直线y=x-2a与曲线y= 解析：C[由题意知s=100t-5t2, 则√=100-10t, n(十6)相切，则2+云的最小值是( a 令s√=0，则t=10,即该质点瞬时速度为0m/s A.6 B.4√2 C.8 D.2√2 时，时间t=10s.] 解析：C[设切点为(m,n), 3前线了x)马-1在=1处的切线饭斜 y=ln(x+b)的导数为y'= x十b' 角是 ( ) A. B答 C. 6 n等 由题含可得十6=1， 又n=m-2a,n=ln(m十b), 解得n=0,m=2a, 解析：B[设曲线f(x)=,1在z=1处 即有2a十b=1,因为a、b为正实数， 的切线倾斜角为α， 所以+-（+号}2a+)=2+2+ 因为f'(x)=√3x2,则f(1)=√3，因为0≤a≤ x,因此a=号] b 4.己知直线y=ax是曲线y=lnx的切线，则实 当且仅当2a=b= 号时取等号。 数a= ( A.2 R品 c日 D 故十号的最小值为8.] 二、多选题 解析：C[设切点坐标为(xo,lnxo),由y=lnx 7.下列求导运算正确的是 ( 的导函数为了=子知切线方程为y-血= 1 A.若y=(x+1)nx,则y=lnx+是+1 (x-o),即y=工十ln,-1.由题意可知 B.(cosπ)'=-sinπ 解得a= c(-=a212 (In xo-1=0, D.(In 2r) ·333· 高考总复习数学 解析：AC[对于A,若y=(x十1)lnx,则y 数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点 1nx+1=1nx十L+1,故A正确： c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c 叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根 对于B,(cosπ)/=(-1)/=0，故B错误； 据这个定理，可得函数f(x)=x3-2x在[-2， 时于C.(年2}=（千） -21n2= 2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 (x+1) -21n2,故C正确； 解析：f)二2=4十4=2，f（x)= 2-(-2) 4 对于D,(1n2x)=2=上，故D错误.] 3.x2-2, 2x x 8.已知定义在R上的奇函数 令3x2-2=2,解得：x=-25∈[-2,2]或 3 f(x)的部分图象如图所 示，f(x)是f(x)的导函 x=2y5e[-2,2], 3 数，则下列结论中正确 -2 .f(x)在[一2,2]上的“拉格朗日中值点”的个 的是 () 数为2. A.f(2)=-1 答案：2 B.f(1)·f(2)>4 四、解答题 C.f'(1)·f(2)<0 11.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+ D.方程f(x)=0无解 解析：BC[结合函数图象及奇函数性质分别判 b(a,b∈R). 断各选项即可.由题图可知f(一1)=2，f(一2) (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的 >2,又：函数f(x)是奇函数，.f(1)=一2， 切线斜率为一3，求a,b的值； f(2)<-2,∴.f(1)·f(2)>4,∴.B对；由f(x) (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切 是奇函数，结合图象可知f(1)<0,f(2)>0, 线，求a的取值范围. ∴.f(1)·f(2)<0,.C对；由图象可知f(2) 解：f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). -f(-2)<-2,f(x)=0有解，.A、D错误.] 1f(0)=b=0, 三、填空题 (1)由题意得 f(0)=-a(a+2)=-3, 9.已知函数f(.x)=alnx(a≠0)，过原点作曲线y= 解得b=0,a=-3或a=1. f(x)的切线l,则切线l的斜率为 (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的 解析：根据题意得，∫(x)=4,设切点坐标为 切线，所以关于x的方程f'(x)=3x2十2(1 a)x一a(a十2)=0有两个不相等的实数根， （xoy),则f(xo)=4, To 所以△=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 所以切线1的方程为y=(x-xo)十y。, 即a+a+1>0,所以a≠-是 将点(0,0)代入，可得0=a(0-x)十y。,整理 所以a的取值范围为 得yo=a, (-0,-u(2+ 故aln zo=a,解得xo=e, 12.已知函数f(x)=x2-lnx 故f(x)=名，即切线1的斜率为号 e (1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. (2)在函数f(x)=x2-lnx的图象上是否存 答案：8 在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直， 10.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之 一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a,b] 且切点的横坐标都在区间合1]上？若存在， 上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导 求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由. ·334· 第三章一元函数的导数及其应用 解：(1)由题意可得f(1)=1, (3)若f(.x)>-2,当且仅当1<x<2,求b的 且%)=2z-f4)=2-1=1. 取值范围. 则所求切线方程为y-1=1×(x-1), 解：1)“2产>0f)的定义越为0,2》， 即y=x. b=0时，f'(x)=1十，1+a≥0，即4≥-1 (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为 x 2-x (,(x),且x∈21小 不妨设x1<x2,结合题意和(1)中求得的导函 [l又因为2在o,1上单调 解斯式可得(21)(2》-1， 递增，在(1，十∞)上单调递减，.当x=1时， 2 又函数f()=2x-是在区间[21]上单调 x(x-2)≤-2，a≥-2，故a的最小值为-2 递增，函数的值域为[-1,1]， (2)由y=1(2产)关于1,0)中心对称y 故-1≤2x1一t11 ∠1 1∠2x2一x2 ax关于(1，a)中心对称， y=b(1一x)3关于(1,0)中心对称知：f(x)关 1一1 2x1x1 于(1，a)中心对称，下证其成立：f(1十x)十f(1 所以 2x2一 11 +2a1+)+bx+1n=+ -t)=In i-x 2a(1-x)十b(-x)3=2a,故结论成立. 解得x1= (3)由函数的连续性及题意知：f(1)=一2，代 故存在两点（l2+,11)满足题意. 入原函数，得a=一2， 所以f(x)=lnx-ln(2-x)-2x十b(x-1)3, [能力提升练] 0<x<2, 13.已知lnx1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln2 f-2+2+-1 =0,则√(x1-x2)+(y一y2)严的最小值为 =(x-1) （(2-+36）, 2 () A.10 B.26 C.210 D.25 5 5 5 由，2产-2，故≥-号时，f>0fu 解析：B√(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值 单调递增，f(x)>f1)=-2,x∈(1,2)， 可转化为函数y=lnx一x十2图象上的点与直 当-号时0)=0. 线x十2y一4一2ln2=0上的点的距离的最小 f'(x)=(x- 位，由y=h2-十2，可得y=是-1，与直线 x+2y-4-21n2=0平行的直线的斜率为 =(z-1)2-3bx2+6bx+2 x(2-x) -日令-1=一子得x=2,所以初点的坐 令f'(x)=0, 1<x<2,.-3bx2十66x十2=0，得x=x1,x2 标为(2，ln2),切点到直线x+2y-4-2ln2=0 (x1≤x2), 的距离d=12+21n2-1-2n2-25.] 且x1十x2=- W1+4 6 的。2 2 14.(2024·新课标I卷)己知函数f(x) 故x1<1<x2,从而f(x)在(1，x2)上单调 ln2-2+ax+b(x-1)月. 递减， f(x2)<f(1)=-2,不满足题意.综上：b≥ (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； 2 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； 3 ·335·