第2章 第10节 导数的概念与计算（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦导数概念与计算，通过基础辨析、图像分析及切线应用，构建从公式到综合问题的知识逻辑链，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练|10题（6选择+2填空+2解答）|导数公式辨析、图像与导数关系、切线方程求解|概念→公式→几何意义递进，夯实运算能力| |能力提升|4题（2选择+1填空+1解答）|综合应用、创新题型（如“巧值点”）、高考真题迁移|单一应用→综合问题→创新情境提升，发展推理意识|

课时冲关17　导数的概念与计算 学生用书　P298 [基础训练组] 1．下列求导数运算正确的有(　　 ) A．(sin x)′＝cos x　　　 B.′＝ C．(log3x)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析：A　[因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(e2x)′＝2e2x，所以A正确．] 2．(2024·商洛市模拟)设f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，则导函数f′(x)的图像可能是(　　 ) 解析：B　[由f(x)的图像可得，在y轴的左侧，图像下降，f(x)递减，即导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图像先下降再上升，最后下降，函数f(x)递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．] 3．(2024·邵阳市质检)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　 ) A.　　　　　　　　 B. C. D． 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x， ∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)， 解得f′(－2)＝.] 4．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 解析：D　[由直线与圆相切，故圆心(0,0)到直线的距离为圆半径r＝，符合条件的只有A，D，将选项A的直线方程代入y＝，得：2x－＋1＝0，无解；将选项D的直线方程代入y＝，得：x－2＋1＝0，有一解x＝1.] 5．(2024·聊城市模拟)若曲线y＝acos x＋sin x在处的切线方程为x－y＋1－＝0，则实数a的值为(　　 ) A．－1　　 B．1　　 C．－2　　 D．2 解析：A　[y＝acos x＋sin x的导数为y′＝－asin x＋cos x， 可得曲线在处的切线斜率为k＝－a，由切线方程x－y＋1－＝0，可得－a＝1，即a＝－1.] 6．(多选)(2024·江苏淮安盱眙中学校考模拟)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 解析：AC　[因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex, A项，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确； B项，令f′(x)＝ex＝－1无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误； C项， 因为(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点，则f′(0)＝1， 所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确； D项，设切点(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，因为点(0,0)在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(1，e)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误．] 7．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ln x－3x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则切线斜率为f′(1)＝－2，所以切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 答案：y＝－2x－1 8．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又∵f′(x)＝5ax4＋， ∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解． ∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 9．曲线y＝ln (2x)上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值是________． 解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y＝2x两平行线间的距离， 也即切点到直线y＝2x的距离． 由y＝ln 2x，则y′＝＝2，得x＝，y＝ln＝0， 即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln (2x)的切线的切点坐标是，y＝ln (2x)上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值，即＝. 答案： 10．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [能力提升组] 11．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图像(作图略)，可得两函数的图像有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．] 12．(2024·玉溪市模拟)已知函数f(x)＝x2＋ln2x－2m(x＋ln x)＋2m2＋1，若存在x0使得f(x0)≤成立，则实数m的值为(　　 ) A. B．1 C. D．2 解析：A　[∵函数f(x)＝x2＋ln2x－2m(x＋ln x)＋2m2＋1，若存在x0使得f(x0)≤成立⇔存在x0使得 x－2mx0＋m2＋ln2x0－2mln x0＋m2≤成立． 存在x0使得g(x0)＝(x0－m)2＋(ln x0－m)2≤成立． 可以看作是动点M(x0，ln x0)与动点N(m，m)之间距离的平方小于或等于，动点M在函数y＝ln x的图像上，动点N在直线y＝x的图像上，问题转化为求直线y＝x上的动点到曲线y＝ln x的最小距离，由y＝ln x得，y′＝＝1，解得x＝1，∴曲线上点M(1,0)到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，根据题意，要使g(x0)≤，则g(x0)＝，此时N恰好为垂足，由kMN＝＝－1，解得m＝.] 13．(2022·新高考Ⅰ卷，15)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 解析：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0，可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0·(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(*)，又切线有两条，即*方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 14．(2024·福州市质检)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是　解得 故f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $