第2章 2.4 函数的周期性与对称性（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以函数性质为核心，通过定义推导与性质转化构建周期性与对称性的解题体系，强化逻辑推理与抽象思维 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|12题（如第3、5、11题）|奇偶性与周期性互推、对称性转化（f(x+a)=f(b-x)）、周期公式推导|从奇偶性（特殊对称）到一般对称性，再到周期性，形成"定义→性质→应用"递进链条| |能力提升|2题（第13、14题）|复合函数性质综合、对称中心与周期综合应用|结合导函数与函数性质，深化多性质交叉问题的推理逻辑|

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关9函数的周期性与对称性 [基础巩固练] 一、单选题 1.函数y=-ex与y=ex的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析：C[画出草图，根据图象即可判断出函数图象关于原点对称.] 2.已知函数y=)的图象经过点P(1,一2)，则函数y=一一x)的图象必过点() A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析：A[函数y=x)与y=--)的图像关于原点对称，又y=x的图像经过点 P1,-2),则函数y=-f-x)的图像必过点(-1,2).] 3.已知函数x)是定义在R上的奇函数，xw)=x+5),且-1)=1，则2025)十 f2026)=(） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：A[因为函数x)是定义在R上的奇函数，术-1)=1， 所以f0)=0,-1)=-1),所以1)=-1， 又x)=x+5),所以函数x)是周期为5的周期函数， 则f2025)+f2026)=f405×5)+f405×5+1)=0)+f1)=-1.] 4.设x)是定义域为R的奇函数，且1十x)=一).如果f=,那么f-() ·独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.- B.- 9 0 解析：C[fx)是奇函数，则-x)=-x),又1+x)=-x), 所以fx+1)=-x),所以x+2)=-x+1)=x), x)是周期为2的周期函数， f=f=f=.] 5.己知函数x)的定义域为R,x)一1为奇函数，x十2)为偶函数，则1)+2)+… +16)=() A.0 B.16 C.22 D.32 解析：B[因为)-1为奇函数，则0)=1，且函数fx)的图像关于(0,1)中心对称， 即fx)+-x)=2, 因为x+2)为偶函数，所以x+2)=f2-x),则x+4)=-x), 所以)+fx+4)=2,fx+4)+x+8)=2,所以x)=x+8),故fx)的周期为8， 因为1)+5)=2,2)+6)=2，f3)+7)=2,f4+f8)=2, 所以1)+2)+…+f16)=2[1)+f2)+…+f8)】=16] 6.己知函数x)的定义域为R,1+x)=1一x)+x),则2024)+2026)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：B[因为函数x)的定义域为R,且1+x)=1-x)+x), 令-x代x,可得1-x)=1+)+-x), 联立，可得-x)=-x), 所以x)是定义在R上的奇函数，所以0)=0， 由f1+x)=f1-x)+fx),令x+1代x, 可得x+2)=-x)+fx+1)=-x)+1-x)+x), 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为-x)=-fx),所以fx+2)=1-x), 令x+1代x,则+3)=-x)=-x), 令x+3代x,则fx+6)=-+3)=x), 所以函数x)是周期为6的周期函数、 由1+)=1-x)+x), 令x=1,可得f2)=0)+1)=1)， 令x=2,可得3)=-1)+2)=2)-1)=0， 令x=3,可得4)=-2)+f3)=-2)=-1), 所以2024)=337×6+2)=2)=1)， f2026=f337×6+4)=4)=-1), 所以f2024)+2026)=1)-1)=0.] 二、多选题 7.已知函数)是定义在R上的奇函数，且4一x)十x)=0,1)=3,则() A.-2)=0 B.7)=3 C.3)+f9)=0 D.x)的图象关于y轴对称 解析：AC[因为w)是奇函数，所以-x)=-), 因为f4-x)+fx)=0 所以f4-x)=-x)=-x),所以x)=x+4),所以-2)=2). 因为4-x)+fx)=0,所以4-2)+2)=0， 所以2)=0，即-2)=0，则A正确， 令x=1,得3)+1)=0.因为1)=3，所以3)=-3，所以7)=3)=-3，则B错 误， 因为x)=x+4),所以9)=5)=1)=3，所以3)+9)=0，则C正确 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为x)是奇函数，所以x)的图象关于原点对称，则D错误.] 8.定义在R上的函数x)的导函数为g(x),且满足下列条件：2x)+孔一2一2x)=0, g(2x)=一g(2一2x),且1)=1.则下列正确的是() A.y=g(x)周期为8 B.y=g(2x)图象关于(1,0)对称 C.y=x)关于（一1,0）对称 2024 D.名0=0 解析：ACD[对于A,B,因为g(2x)=-g(2-2x),则g(x)=-g(2-x),则g(1+)= -g1-x), 可知g(x)的图象关于(1,0)中心对称，知g(2x)的图象关于中心对称，B错误； 因为f2xy)+尤-2-2x)=0, 则fx)=--2-x), 两边求导数可得(x)=（-2-x), 即得g(x)=g(-2-x), 所以g(2-x)=-g(-2-x),即得g(2+x)=-g(-2+x), 所以g(4+x)=-g),g(8+x)=-8+4)=8(x), 所以函数g(x)的周期为8，A正确； 对于C,因为2x)+-2-2x)=0则x)=--2-x), 所以-1-)=--1+x),函数fx)关于(-1,0)对称，C正确： 对于D,因为gx)的图像关于(1,0)中心对称，所以x)关于x=1对称，所以1-x)= 1+x), 又x)=--2-x),所以1+x)=--3-x)=1-x),可得--3+x)=1+x), 所以f+8)=-x+4)=-(-x)=x),所以函数fx)周期为8， 因为1+x)+-3+)=0,所以f1+x)+5+x)=0, 独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 o.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以1)+5)=0,2)+6)=0，f3)+7)=0,f4)+f8)=0, 所以1)+2)+f3)+f4+…+2024)=253[f1)+f2)+3)+4)+…+f8)] =253[f1)+f5)+2)+6)+f3)+f7)+f4)+8)]=0,D正确.] 三、填空题 9.若定义在R上的函数)满足fx十2)+x)=0,且-1)=-3，则202)= 解析：因为fx+2)+fx)=0,所以fx+2)=-x),所以fx+4)=-fx+2)=fx) 4为x)的一个周期，则f2027)=507×4-1)=-1)=-3. 答案：一3 10.已知函数y=x)的图象既关于直线x=1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1] 时，x)=,则2027)=」 解析：因为函数y=x)的图象关于直线x=1对称，所以-x)=2+x), 因为函数y=x)的图象关于点(2,0)对称， 所以-x)=-4+x), 所以fx+2)+fx+4)=0, 所以x)-fx+4)=0,即fx)=fx+4), 所以函数x)的周期为4， 由-x)=-4+x)得1)=-3)， 即f3)=-1) 又因为当x∈[0,1]时，x)=, 所以1)=， 所以2027)=4×506+3)=-1)=-. 答案：一 四、解答题 11.已知函数x)是定义在R上的偶函数，且y=x)的图象关于直线x=2对称 (1)证明：x)是周期函数. 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)若当x∈[-2,2]时，fx)=一x2+1,求当x∈[2,6]时，fx)的解析式. 解：(1)由函数y=fx)的图象关于直线x=2对称， 所以fx+2)=2-x),即有-x)=x+4), 又函数x)是定义在R上的偶函数，有-x)=x), 所以fx+4)=-x)=x), 即x)是周期为4的周期函数： (2)当x∈[-2,2]时，f)=-x2+1, 又x)是周期为4的周期函数， 当x∈[2,6]，则x-4∈[-2,2]， 所昕以x)=fx-4)=-(x-42+1, 所以fx)=-x-4)2+1,x∈[2,6] 12.经研究，函数y=x)为奇函数的充要条件是函数y=x一)十b图象的对称中心为 点(a,b),函数y=fy)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数Fx)=fx十 一b为奇函数，由F)十F(-x)=0得函数y=x)关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件 是fa十x)+fa-x)=2b. (1)已知函数f)=x+x+3,且5)=2，求-5)的值： (2)证明函数gx)=图象的对称中心为(2,3)： (3)已知函数x)=x3-3x2,求h(-7)十(-可+h(-5)+…十h(8)+h(⑨)的值. 解：(1)x)=x3+x3+3, -x)=-x-nx2+3, ,函数y=x3+x3为奇函数，∴.函数fx)=x+x3+3的图象关于点(0,3)对称 fw)+-x)=6,∵f5)+-5)=6, -5)=4； (2)g(x)==+3=+3, 令Fw)=g(x+2)-3=,， ·独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则gx)=F(x-2)+3 ,x∈R,定义域关于原点对称，Fx)=-F(-), ∴.Fx)为奇函数 ∴函数g(w)=图象的对称中心为(2,3) (3)假设函数(x)=x3-3x图像有对称中心且对称中心为(a,b), 则h(a+x)+h(a-x)=2b,∴.(a+x)3-3(a+x)2+(a-x)3-3(a-x)2=2b, ∴.(6a-x2+2m-62=2b, ∴.a=1,b=-2, ∴.函数h(x)=x3-3x2有对称中心(1，-2)，.h(1+x)+1-x)=-4, 令S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+h(9),S=h(9)+h8)+h(7)+…+(-6)+ h(-7), 相加得2S=[h(-7)+h(9)]+[h(-6)+h(8)]+…+[h(9)+h(-7)]=17×(-4), ∵.h(-7)+h-6)+h(-5)+…+h(8)+h(9)=-34 [能力提升练] 13.[多选]已知函数fx)的定义域为R,若f3x+1)为偶函数，x十2)一2为奇函数，且 1)=0,则() A.x)为周期函数 B.x)的图象关于点(2,1)对称 C.-3),-2),-1)成等差数列 D.f1)+2)+3)+…+9)=16 解析：ACD[函数x)的定义域为R,由3x+1)为偶函数，得-3x+1)=3x+1), 则f2-)=x), 由x+2)-2为奇函数，得-x+2)-2=-[fx+2)-2],则2-)+x+2)=4, 于是x)+fx+2)=4,即fx+2)=-fx)+4, 对于A,fx+4)=-+2)+4=-[-fx)+4-4=x),x)是周期为4的周期函数， ·独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A正确； 对于B,由2-x)+x+2)=4,得x)的图像关于点(2,2)对称，B错误； 对于C,-2)=2)=2,由fx)+x+2)=4,得-3)+-1)=4=2-2)， 因此术-3)，(-2)，(-1)成等差数列，C正确； 对于D,1)+3)=4,2)+4)=4,因此1)+f2)+3)+…+9) =2[f1)+f2)+3)+4】+1)=16,D正确.] 14.[多选]已知函数x)的定义域为R,若满足2一x)+x一1)=一1，且函数x)图象 关于(1,0)中心对称，则() A.0)=-1 B.2026=2025 C.x+2026=fx) 努 D.=-2026f0)=-4053 解析：ABD[对于A,因为函数x)的定义域为R,且函数x)图像关于(1,0)中心对称， 所以2-x)+x)=0, 又2-x)+x-1)=-1, 所以fx)-x-1)=1, 取x=1可得1)-f0)=1, 又1)=0，所以0)=-1，故A正确： 对于B,由x)-x-1)=1可得2026)-2025)=1,2025)-2024)=1，… 累加之后可得2026=2025，故B正确： 对于C,由0)=-1和f2026)=2025可得周期不是2026，故C错误； 对于D,由函数x)图像关于(1,0)中心对称，且0)=-1,2-0)+0)=0→f2)=1, 2026 所以=-2026f0=f-2026)+f-2025)+…+f2025)+2020=-2027-2026-… -1+0+1+…+2024+2025=-4053,故D正确.] ·独家授权侵权必究 罗 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 独家授权侵权必究