课时4 基本不等式（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 课时冲关4 对应学生用 [基础巩固练] 一、单选题 1.已知m>0,n>0,mn=81,则m十n的最小值是 () A.9 B.18 C.9√5 D.27 解析：B[因为m>0,n>0,由基本不等式m十 n≥2√mn得， m十n≥18，当且仅当m=n=9时等号成立， 所以m十n的最小值是18.] 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 ( A.a2+62>2ab a C.a+b>√ab D.1+1≤2 a+b√ab 解析：C[由基本不等式结合特例即可判断. 对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误；对 于B.D取a=子6=子此时日+方-2+1=6 1 1 =8=品+=2+4=6> 2 二=42=2，故B、D错误；对于C,由 ab 基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正确.] 3已知正数a,6满足是+号=1，则u十2沾的最小 b 值为 () A.9 B.6 C.4 D.3 解折：A[因正数a山满天}+号1， a 到a=+(+)=1+++4≥5 b a +2a 坠.24=9，当且仅当2沙=4，即4=3，b=3, a b 所以当a=3,b=3时，a十2b取得最小值9.] 4已知ab>0且a十26=1，则+2+的最小值是 ab ( ) A.12 B.16 C.15 D.14 解析：D[因为a+2b=1,所以a2+2b+1 ab G++e-i+tea+20=6+0+兴， ab ab a 又ab>0,所以么>0，g>0,所以2+26+1 b ab 6+0+2≥6+3√僧×名-6+8=1， b 当且仅当a=2必=号时等号成立，即4十+山 ab 的最小值是14.] ·29 基本不等式 书P239 5.已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2-t≤么+ 名机成立，则实数：的取值范同是 A-号 B【1] c D【1] 解析：D[已知a>0,b>0,则只>0，>0， 因为么+名=。++2必-名+号+2≥ b a b a b.&+2=4, 2 a b 当显仅号-名时￥号成2，迪公动。，所 得a=b= 2 故名+号的策小位为 a 因为3-1合+号恒成立， 所以3t2-t≤4，即(3t-4)(t+1)≤0， 解得-1≤≤专，即[-1，]门 6.对于正数a,b,有(2ab+1)(a+b)=6ab,则a+b 的取值范围是 A.(0,1] B.[1,w3] C.[1,2] D.[2,+∞] 解析：C[由题可知：a十b 6ab 3 2a0+1-32ab+1 因为。6布是上数，所以a6≤)- (a十b)(当且仅当a=b时取等)， 4 所以a十b=3 3 2ab+1≤3- 2(a+b)2 4 +1 (当且仅当a=b时取等)， 化简可得(a十b)2-3(a+b)十2≤0，解得1≤a 十b≤2，故C正确.] 二、多选题 7.设a>0,b>0,a十b=1,则下列结论正确的是 ( A.ab的最大值为 B.a2+b2的最小值为1 C.+方的最小值为9 D.√a十√b的最小值为√3 解析：AC[对于A,因为a>0,b>0,a十b=1, 则ab≤a+b)i 当且仅当a=b= 时取等号，故A正确： 当且仅当a=b= 号时取等号， 即。+6的最小值，故B不正确； 对于c+片-（任+8）a+)-5+兽+号 当且仪当碧-号且a十6=1.即6=日。=号时 1 取等号， 所以吾十号的最小位为9，故C正确： 对于D,(a+)2=1+2Va5<1+2×号=2， 故√a十√b≤√2， 当且仅当a=b= 合时取等号，即后十万的最大 值√2，故D错误.] 8.已知a,b为正实数，且ab+2a十b=16,则() A.2a十b的最小值为8 B十十十2的最小值为号 C.ab的最大值为2√2 D6叶，的最小值为 10 解析：AD[对于选项A,由16=ab十2a十b,得 6=16-20=18 a十+1a+1-2, 所以2a+b=a+月-2=2a+D+片-4 a+1 ≥2/2(a+1)·8-4=8, a+1 当且仅当2u十1)=即a=2b=4时取等 号，所以选项A正确， 对于选项B,因为ab十2a十b=16,所以1 1 a+1 b+2 1 当且仅当Q十1=b十2时取等号，此时1 a+1+ 十2取得最小植号，所以选项B错误， ·29 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 对于选项C,因为16=ab+2a十b≥ab十2√2ab, 当且仅当2a=b,即a=2,b=4时取等号， 又√ab>0,解不等式得0<√ab≤2√2，即0< ab≤8，得到ab的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D,由选项A知b=2,所以 =(9+g20+ -2 189二+09-） a十1 18 10(a+1) -品≥2- =62-1 10 当且仅当89-a)=a+1 10a+)1090,即a=163±02 17 时取等号，当a=163十302时，00，故会去， 17 此时b十 亡取得最小位1，所以选项D 10 正确.门 三、填空题 9.已知x>合，则x十2，与的最小值为 解析：由于>所以x一名>0,2x-1>0, 所以x十 1 当且仅当一言生时等号底之 2 所以x十2的最小值为名十E 答案：2十瓦 10,若当>1时，不等式x+≥2m-1包成 立，则实数m的取值范围是 x-1=x-1+1 解析：因为x>1,所以x十1 x-1 +1≥2-10x+1=8. 当且仅当-1=即x=2时，等号成这 故只需3≥2m一1，解得m≤2，所以实数m的 取值范围是（一∞，2]. 答案：（一∞，2] 05 高考总复习数学 四、解答题 11.已知a>0,b>0,且2a+b=ab. (1)求ab的最小值； (2)证明：a十2b≥9. 解：1)国为2a十6=a6,所以+名=1， a >06>0,1=}+号≥2 2 ,当且仅当 召-号-名即a-264时取等子 所以ab≥8，即ab的最小值为8； (2)证明： +26=a+26)(日+=5+0+≥5+ 42) 2b.2a=9, 2 a b 当且仅当的-器，即a=6=3时取等号所以 a+2b≥9. 12.某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场 的内圈由两条平行线段（图中的AB,DC)和两 个半圆构成，设AB为xm,且x≥80. D 1)若图中矩形ABCD的面积为16200m2,则 当x取何值时，内圈的周长最小？ (2)若内圈的周长为400m,则当x取何值时， 矩形ABCD的面积最大？ 解：1)S装影D=16200, 16200 则AD=r _16200(x≥80)， IT 则内图的周长为2z十元.16200=2x+16200 πC ≥2/2x·16200 =360, 2.x=16200 当且仅当 x≥80， 即x=90时，内圈的周长取得最小值，为360m. (2)若内圈的周长为400m, 则AD=400-2.x 则SE影AD=AB·AD=x·400-2L π =-2(x-100)2+20000 故当x=100时，矩形ABCD的面积最大，为 20000m2. ·2 [能力提升练] 13.已知a>0,b>0,且 2 a+1十1十6=1，那么a+b 的最小值为 () A.2√2-1 B.2 C.2√2+1 D.4 0gh+千6=1， 1 解析：C[因为a>0,b>0, 则a十b=a+1+b+1-2=(a十1+b+1) 12 a+1+1+b -2 =3+2a+D+b+12 1+b 'a+1 2书+2+1≥2 2(a+1).b+1 1+b V 1+6 a+1 2√2+1. 2(a+1)_b+1 当且仅当 1+b a+1'即a=2, 1 2 时取 a+1+1+6=1, b=1+21 等号.] 14.若x12、…2均为正实数，则x,十+ 1 十4十…十 x25—十 4一的最小 x xzX3 Tx2…T2024x1U2…t202s 值为 解析：原式= 4 x2025十…十 x1x2…T2025x1x2…x2024 I1T2I3 12 I1 ≥2 4 x2025 x2024 x1x2…x2025x1x2…x2024 T1x2…t2023 十十4十十十 I1T243 T142 T1 4 x2024 十…十 -十 x12…T2024 x1t2…t2023 II2T3 I1I2 T1 ≥2 4 x2024 十…十 x1x2…x2024 x1x2…x2023 I1X2I3 4 …十4十++ t1x2…T2023 ≥≥+x1≥2 4.x1=4, 当且仅当4=x,(行=1,2,3，，2025，x,>0)时， T: 即当x1=x2=…=x202s=2时，等号成立， 故，十+3十4十…十25 1T2 Z1T2T3 x1x2…x2024 4 x1x2…T202 的最小值为4. 答案：4 6