第1章 1.4 基本不等式（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以基本不等式应用为主线，系统整合直接应用、常数代换、配凑变形等方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|12题（含2025北京卷真题）|直接应用√(ab)≤(a+b)/2、常数代换（乘“1”法）、配凑变形、恒成立问题转化|从基本不等式概念出发，经条件不等式变形，到结合函数、方程的综合应用，形成“概念-变形-应用”递进链条| |能力提升练|2题|多变量递推放缩、实际问题建模|拓展至复杂变量与实际情境，强化模型意识与创新思维|

课时冲关4　基本不等式 [基础巩固练] 一、单选题 1．已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9　　 B．18 C．9　　 D．27 解析：B　[因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时等号成立， 所以m＋n的最小值是18.] 2．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B.＋≥ C．a＋b> D.＋≤ 解析：C　[由基本不等式结合特例即可判断． 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．] 3．已知正数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 解析：A　[因正数a，b满足＋＝1， 则a＋2b＝(a＋2b)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝3，b＝3， 所以当a＝3，b＝3时，a＋2b取得最小值9.] 4．已知ab＞0且a＋2b＝1，则的最小值是(　　) A．12 B．16 C．15 D．14 解析：D　[因为a＋2b＝1，所以＝＝＝6＋＋， 又ab＞0，所以＞0，＞0，所以＝6＋＋≥6＋2＝6＋8＝14， 当且仅当a＝2b＝时等号成立，即的最小值是14.] 5．已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，若3t2－t≤＋恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[已知a＞0，b＞0，则＞0，＞0， 因为＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝时等号成立，由，解得a＝b＝. 故＋的最小值为4. 因为3t2－t≤＋恒成立， 所以3t2－t≤4，即(3t－4)(t＋1)≤0， 解得－1≤t≤，即t∈.] 6．对于正数a，b，有(2ab＋1)(a＋b)＝6ab，则a＋b的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1，] C．[1,2] D．[2，＋∞] 解析：C　[由题可知：a＋b＝＝3－， 因为a，b都是正数，所以ab≤2＝(当且仅当a＝b时取等)， 所以a＋b＝3－≤3－(当且仅当a＝b时取等)， 化简可得(a＋b)2－3(a＋b)＋2≤0，解得1≤a＋b≤2，故C正确．] 二、多选题 7．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为1 C.＋的最小值为9 D.＋的最小值为 解析：AC　[对于A，因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，则ab≤2＝， 当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确； 对于B，因为2≤，故a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号， 即a2＋b2的最小值，故B不正确； 对于C，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝且a＋b＝1，即b＝，a＝时取等号， 所以＋的最小值为9，故C正确； 对于D，(＋)2＝1＋2≤1＋2×＝2，故＋≤， 当且仅当a＝b＝时取等号，即＋的最大值，故D错误．] 8．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　) A．2a＋b的最小值为8 B.＋的最小值为 C．ab的最大值为2 D．b＋的最小值为 解析：AD　[对于选项A，由16＝ab＋2a＋b，得b＝＝－2， 所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝8， 当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为ab＋2a＋b＝16，所以＋≥2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时＋取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2， 当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号， 又＞0，解不等式得0＜≤2，即0＜ab≤8，得到ab的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知b＝－2，所以b＋＝＋－2 ＝－2 ＝＋－≥2－＝， 当且仅当＝，即a＝时取等号，当a＝时，b＜0，故舍去， 此时b＋取得最小值，所以选项D正确．] 三、填空题 9．已知x＞，则x＋的最小值为________． 解析：由于x＞，所以x－＞0,2x－1＞0， 所以x＋＝x－＋＋≥2＋＝＋， 当且仅当x－＝，x＝时等号成立， 所以x＋的最小值为＋. 答案：＋ 10．若当x＞1时，不等式x＋≥2m－1恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：因为x＞1，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立， 故只需3≥2m－1，解得m≤2，所以实数m的取值范围是(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 四、解答题 11．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab. (1)求ab的最小值； (2)证明：a＋2b≥9. 解：(1)因为2a＋b＝ab，所以＋＝1， a＞0，b＞0，故1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号， 所以ab≥8，即ab的最小值为8； (2)证明： a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b≥9. 12．某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB为x m，且x≥80. (1)若图中矩形ABCD的面积为m2，则当x取何值时，内圈的周长最小？ (2)若内圈的周长为400 m，则当x取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 解：(1)S矩形ABCD＝， 则AD＝＝(x≥80)， 则内圈的周长为2x＋π·＝2x＋≥2＝360， 当且仅当 即x＝90时，内圈的周长取得最小值，为360 m. (2)若内圈的周长为400 m， 则AD＝， 则S矩形ABCD＝AB·AD＝x· ＝， 故当x＝100时，矩形ABCD的面积最大，为m2. [能力提升练] 13．已知a＞0，b＞0，且＋＝1，那么a＋b的最小值为(　　) A．2－1 B．2 C．2＋1 D．4 解析：C　[因为a＞0，b＞0，＋＝1， 则a＋b＝a＋1＋b＋1－2＝(a＋1＋b＋1)－2 ＝3＋＋－2 ＝＋＋1≥2＝2＋1. 当且仅当即时取等号．] 14．若x1、x2、…、x2 025均为正实数，则x1＋＋＋＋…＋＋的最小值为________． 解析：原式＝＋＋…＋＋＋＋x1 ≥2＋＋…＋＋＋＋x1 ＝＋＋…＋＋＋＋x1 ≥2＋…＋＋＋＋x1 ＝＋…＋＋＋＋x1 ≥…≥＋x1≥2＝4， 当且仅当＝xi(i＝1,2,3，…，2 025，xi＞0)时， 即当x1＝x2＝…＝x2 025＝2时，等号成立， 故x1＋＋＋＋…＋＋的最小值为4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $