第1章 第7节 均值不等式及其应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以题载法系统构建均值不等式应用体系，通过分层训练强化“正定等”条件判断与配凑、代换等技巧，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题|反例验证、配凑法、“1”的代换|从基本形式到变形应用，构建“概念-条件-技巧”链条| |综合拓展|6题|拆项构造、换元转化、实际建模|结合向量、函数、几何等知识，形成跨情境应用能力|

课时冲关7　均值不等式及其应用 学生用书　P281 [基础训练组] 1．(多选)下列命题不正确的是(　　 ) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4 B．若a<0，则a＋≥－4 C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2 D．若x＞0，y＞0，则 ≥ 解析：ABC　[当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A不正确；若a<0，则a＋≤－4，B不正确；因为lg a，lg b可以小于零，C不正确；若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为 ≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，D正确．] 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[∵0<x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 当x＝1－x，即x＝时取等号．] 3．(2024·广东模拟)已知正实数x，y满足x＋＋y＋＝5，则x＋y的最小值与最大值的和为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：B　[因为正实数x、y满足x＋＋y＋＝5，所以(x＋y)＝5(x＋y)，所以5(x＋y)＝(x＋y)2＋＋＋2≥(x＋y)2＋4，当且仅当x＝y时等号成立，所以(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，所以x＋y的最小值与最大值的和为5.] 4．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x>0，则由x＋≥2－1＝1知，x＋的最小值为1 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4 D．若xy＝1，则x2＋y2≥2|xy|＝2 解析：D　[对于A，a≠0，b≠0，当a>0.b>0时，＋≥2＝2，当且仅当＝时等号成立，当a<0，b<0时，＋≥2＝2，当且仅当＝时等号成立，当a，b异号时，－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即b＝－a时等号成立，故A错误；对于B，当x>0，则由x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，显然等号不成立，故错误；对于C，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立，故C错误；对于D，若xy＝1，则x2＋y2≥2|xy|＝2，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时等号成立，故D正确．] 5．(2024·宿州模拟)若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为(　　 ) A．1 B．5 C．4 D．4 解析：D　[圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)， 圆C关于直线l：ax＋by＝2对称，∴圆心在l上， ∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4.] 6．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A.有最大值 B.＋有最小值4 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：ABC　[由于a>0，b>0，由均值不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此有最大值，＋有最小值4；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，所以＋有最大值，a2＋b2有最小值，故选ABC.] 7．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为________． 解析：由题意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝. 答案： 8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________． 解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3. 答案：3 9．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________． 解析：＝－＝(a－1,1)， ＝－＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴与共线， ∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1. ∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立． 答案：8 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1) 得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0， 即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. [能力提升组] 11．(多选)(2024·威海模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 解析：ABD　[对于A选项， ≥＝⇒a2＋b2≥，正确； 对于B选项，由a＋b＝1且a>0，b>0可得，a－b＝2a－1>－1，因此2a－b>，正确； 对于C选项，a＋b＝1≥2⇒ab≤⇒log2ab≤log2＝－2，错误； 对于D选项，≤ ＝⇒＋≤，正确．] 12．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 解析：A　[因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.] 13．(2024·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB边上的高为h，若c＝2h，则＋的取值范围是________． 解析：如图， ∵a＞0，b＞0，∴＋≥2，当a＝b时，＋取得最小值2.又＋＝， ∵absin∠ACB＝ch，c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB； ∴ab＝，a2＋b2＝c2＋2abcos ∠ACB； ∴＋＝ ＝；又c＝2h； ∴＋＝＝ 2(sin∠ACB＋cos∠ACB) ＝2sin≤2. ∴2≤＋≤2.∴＋的取值范围是[2,2]． 答案：[2,2] 14．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2 500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本C(x)(单位：万元)，且C(x)＝如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润＝销售额－成本) (1)求2024年的利润P(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式； (2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 解：(1)∵C(x)＝ ∴当0<x<40时，P(x)＝500x－10x2－100x－2 500＝－10x2＋400x－2 500， 当x≥40时，P(x)＝500x－501x－＋4 500－2 500＝2 000－. 故P(x)＝ (2)由(1)得P(x)＝ 当0<x<40时，P(x)＝－10(x－20)2＋1 500， ∴P(x)max＝P(20)＝1 500； 当x≥40时，P(x)＝2 000－≤ 2 000－2＝2 000－200＝1 800， 当且仅当x＝，即x＝100时等号成立，故P(x)max＝P(100)＝1 800. ∵1 800>1 500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1 800万元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $