第3章 3.2 导数与函数的单调性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §3.2导数与函数的单调性 ★[考试要求] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间（其中多项式函数一般不超过三次） 复盘>必备知识 学生用书P51 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的单调性与导数的关系 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则 条件 恒有 结论 f(x)在此区间内没有单调性. (/) f(x)在区间(a,b)上 f'(x)>0 (2)函数在某区间内单调递增，则一定有f(x)>0.(×) 函数y= 单调递增 (3)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个， f(x)在区 f(x)在区间(a,b)上 则f(x)在(a,b)内单调递减. (/) f'(x)<0 间(a,b)上 单调递减 (4)函数f(x)=x一sinx在R上是增函数. (/) 2.函数y=x一lnx的单调递增区间是 ( 可导 f(.x)在区间(a,b)上 f'(x)=0 A.(0,1) B.(0,2) 是常数函数 C.(0,+∞) D.(1,+o∞) 2.利用导数判断函数单调性的步骤 解析：D[函数y=x-lnx的定义域为(0，十oo), 第1步，确定函数的定义域； y=1-是=，所以y=x-1nx在区间 x 第2步，求出导数f(x)的零点； (1,十o∞)上y>0,函数单调递增.] 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若 3.函数f(x)=e-2x在[1，e]上的最小值为 干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正、负，由 解析：因为f'(x)=e-2,当x∈[1，e]时，f'(x) 此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. e-2>0,所以f(x)在[1，e]上单调递增， 知识拓展用活 所以f(x)min=f(1)=e-2. 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈(a,b)时， 答案：e-2 4.已知函数f(x)=mx一cosx在R上单调递增，则 f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递 m的最小值为 减，则x∈(a,b)时，f'(.x)≤0恒成立. 解析：因为函数f(x)=m.x一cosx在R上单调递增， 2.若函数f(.x)在(a,b)上存在单调递增区间，则 所以f'(x)=m十sinx≥0在R上恒成立， x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数f(x)在 即m≥-sinx在R上恒成立， (a,b)上存在单调递减区间，则x∈(a,b)时， 所以m≥1. f'(x)<0有解. 答案：1 跃升>关键能力 学生用书P52 核心考点分类突破 题型1 不含参函数的单调性 [解析]因为f(.x)=(2x-1)e,所以f'(x)= [例1] (1)函数f(x)=(2x一1)e的单调递减区 (2十1e,不等式f(u)<0,解得x<-,因此函数 间是 ( fx)=(2x-1c的单涧递减区间是(-，一) B(-+ [答案]A c.(-0) n.o》 (2)已知定义在区间（一r,π）上的函数f(x)=xsin x 十cosx,则f(x)的单调递增区间是 ·68· 第三章一元函数的导数及其应用 [解析]f(x)=sinx+xcos x-sinx=xrcos x, (2②)函数f)=nx+号女-ax的定义城为0，十) 令f'(x)=xcos x>0, 则其在区同（一，x)上的解为〔一，一】 求导降了)=+@， 和0，} 当a≤2时，f(x)=1+x-a≥2-a≥0， 即fu)的单湖递增区间为(-，一登)(0，引 则函数f(x)在(0，十∞)上单调递增； [答案] ()和(0，) 当u>2时，由f'(x)=1十-4=-ax+1=0, 规律方法 得x1=a-04,x,=a十0-4 2 2 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性 由f'(x)>0,得0<x<x1或x>x2,由f(x)<0, 的步骤即可，但应注意：一不能漏掉求函数的定义 得x1<x<x2, 域，二函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或 因此函数f(x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调递增， “和”隔开 在(x1,x2)上单调递减， 跟踪训练 所以当a≤2时，函数f(x)在(0，十o∞)上单调 函数f(x)=3十xlnx的单调递减区间是 递增； A日 a(0,) 2 c.(-m,) D.(日+ 上单调递增，在 解析：B[因为函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且 f(x)=lnx+x· 1=nx十1，令(x)<0,解得0< 递减。 <,放f)的单调远减区间是(0，)门 规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不 题型2 含参数的函数的单调性 等式解集的影响进行分类讨论， [例2] 已知函数f(x)=lnx十2x -ax. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域 内讨论，还要确定导数为零的点和函数的 (1)当a= 2时，求曲线y=fx)在点1，f1)处的切 问断点： 线方程； 跟踪训练 (2)讨论函数f(x)的单调性； 已知函数g(x)=lnx+a.x2-(2a十1)x.若a>0, [解](1)当a=时，f(x)=lnx+ 2x2 1 2, 试讨论函数g(.x)的单调性 求导得f)=十- 解：因为g(x)=lnx十ax2-(2a十l)x, 则了1)=子，1=0，即切点为(1.0，切线的斜 所以g'(x)=2a2-(2a+1)x+1 为， =(2a.x-1)(x-1) 所以切线方程为：y-0=号(x-10,即3x-2y-3 由题意知函数g(x)的定义域为(0，十∞)， 若<1，即a>号 1 =0. ·69· 高考总复习数学 由g)>0得>1成0<<品 (2)已知函数f(x)=3x-sinx,若f(a)十f(a2 2)>0,则实数a的取值范围为 由g)0释a<<1. [解析]函数f(x)=3x-sinx的定义域为R,且 1 所以函数gx)在(0,2a1,+o∞)上单调递增，在 f(-x)=-3x+sin x=-f(x), 所以f(x)=3x-sinx为奇函数， (侵上单调递减： 又f'(x)=3-cosx>0,所以f(x)=3x-sinx在 若站>1，即0<a<合由g()>0得>品或 R上单调递增， 0<x<1, 不等式f(a)+f(a2-2)>0,即f(a2-2)>-f(a) 由g'(x)<0得1<x<2a: -1 =f(-a), 等价于a2-2>-a,解得a>1或a<-2, 所以函教g)在(01(。十上单调递增，在 所以实数a的取值范围为（一∞，-2）U(1,十∞). 小上单调造 [答案](-∞，-2)U(1,+∞) 苏0=1，即a=号，则在(0，十∞)上恒有8(x) 1 P[角度2]根据函数单调性求参数 0, [例3-2]已知函数x)=2+2ax-1hx,若 所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增. 综上可得，当0<a<合时，画数g()在(0，D f(x)在区间[32]上单调递增，则实数a的取值 范围为 (品十)上单调递增，在()上单明递减： [解析] 由题意知了()=x十2a-≥0在 当a= 时，画数g)在(0，十o0)上单调递增： [号2]上恒成立，中20≥-z+是在[号2]小上板 当a> 合时，数g在(0，)1，十)上单 递增，在（公上单调适减。 成立，(x+)号∴2a≥即a≥号 题型3 函数单调性的应用 [答案]【停+) 卜[角度1]比较大小或解不等式 [延伸探究] 在本例中，把“f(x)在区间[片2]上单 [倒3-a设a=b=2。-3,期〈 调递增”改为“f八)在区间片，2]上存在单调递增 A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 区间”，求a的取值范围. [解析]设fx)=1n工，则f(x)=1-1n, [解]f(x)=x+2a-,若fx)在[片2]上奔 令f()=1-lnx=0,则x=e x 在单调递增区间，则当x∈号，2]时，f()>0有 所以当x∈(0，e)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当 x∈(e,十o∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减； 解，即2如>-x+子有解，：x∈[32] 又a=日-fe,b=2-n4-f4c-h3 24 3 (-+=-2+2=-2a>-即 f(3),所以f(e)>f(3)>f(4),即b<c<a [答案]D a>一圣，故a的取值花国是（是十∞） ·70· 第三章一元函数的导数及其应用 规律方法 教考衔接上面2024年新课标Ⅱ卷T11源于 根据函数单调性求参数的一般思路 人教A版选择性必修第二册P拓广探索，T3 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在 利用信息技术工具，根 (a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间 6 据给定的a,b,c,d的 的子集 5.00 300o4 值，可以画出函数f(x) f)=ax+t2月 (2)f(x)单调递增（减）的充要条件是对任意的x∈ ax'+bx2+cx+ 草+ 5 (a,b)都有f(x)≥0(f(x)≤0)，且在(a,b)内 的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意 d(a≠0)的图象，当a 此时式子中的等号不能省略，否则会漏解， =-4,b=1,c=5,d= (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等 一1时，f(x)的图象如图所示.改变a,b,c,d的 式有解问题. 值，观察图象的形状： 跟踪训练 (1)你能归纳函数f(x)图象的大致形状吗？它的 1.已知函数f)=hx-号，设a=f(log:2),b- 图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单 调区间吗？ f(logo.20.5),c=f(ln4),则a,b,c的大小关系为 (2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调 区间 A.c>a>b B.a>c>b C.b-c>a D.c>b>a 解：(1)函数f(x)=a.x3十b.x2十cx十d的图象大 解析：A[因为)=ln怎，则x∈(0，+eo 致是个“双峰”形状，类似“∩”或“个”的形 状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极 所以f(x)=1-1-x-e+x2-z 大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单 e 1)2 调区间. (2)因为f(x)=a.x3十bx2+cx+d(a≠0)， 所以f(x)=3ax2+2bx十c. 又当x0,+∞)时e>1,-)->≥- 分a>0和a<0两种情况： 所以f'(x)>0恒成立， ①当a>0且b2-3ac>0时，设方程f(x)=3ax 所以f)=1n1一老在0，+o∞)上单调递培。 十2bx十c=0的两根分别为x1,x2,且x1<x2· 又0<1og32<1, x∈(-o∞，x1)或x∈(x2,十∞)时，f(x)>0, og2<log2,In1 f(x)单调递增；x∈(x1,x2)时，f'(x)<0,f(x)单 调递减. 所以ln4>log32>logo.20.5,则c>a>b.] 当a>0且b2-3ac≤0时，f(x)=3a.x2+2bx十c 2.(2024·新课标Ⅱ卷，T1)设函数f(x)=2x3- ≥0，f(x)在R上单调递增， 3a.x2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 ②当a<0且b2-3ac>0时，设方程f'(x)=3ax B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 +2bx十c=0的两根分别为x1,x2,且x1<x2, C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴 当x∈(x1x2)时，f(x)>0,∴.f(x)在(x1,x2)上 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对称 单调递增；当x∈（一o∞，x1)或x∈(x2,十∞）时， 中心 f'(x)<0, 解析：AD[求导得f(x)=6.x(x一a),于是：A正 .f(x)在(-∞，x1),(x2,十∞)上单调递减. 确，当a>1时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)= 1-a3<0,所以必有三个零点；B错，a<0时x=0 当a<0且b2-3ac≤0时，f(x)=3a.x2+2bx+c 应为极小值点；C错，任何三次函数不存在对称轴： ≤0， D正确，当a=2时f(.x)=2(x-1)3-6(x-1) f(x)在R上单调递减. 3,关于(1，一3)中心对称.] ·71·