第3章 热点强化课5 导数与数列的综合问题（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数导数综合应用核心考点，涵盖恒成立求参数范围、利用函数不等式证明数列不等式等高考高频题型，按“函数性质分析—不等式转化—数列应用”逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法指导（如构造函数求导分析单调性）、真题训练（典例详解）等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义采用“问题链驱动”教学法，以函数不等式x-1≥lnx为桥梁，引导学生通过变量代换转化为数列不等式，培养数学思维与推理能力。设置典例精讲与方法总结模块，如通过求导确定函数最值解决恒成立问题，助力学生快速掌握转化技巧，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

[典例]　已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a∈R (1)若函数f(x)的图象恒不在x轴上方，求实数a的取值范围； (2)证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)，其中n∈N*. [解]　(1)由函数f(x)的图象恒不在x轴上方，且f(x)＝ln x－ax＋1， 即f(x)＝ln x－ax＋1≤0恒成立， 即a≥在(0，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝(x＞0)，可得g′(x)＝－， 当x∈(0,1)时，g′(x)＞0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a≥1， 即实数a的取值范围为[1，＋∞)． (2)由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln x－x＋1≤0， 即x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取等号， 令x＝(n∈N*)，可得＞ln， 所以1＋＋＋…＋＞ln＋ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln(n＋1)， 即当n∈N*时，1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)． 由函数不等式化为数列不等式的方法 x－1≥ln x⇒ln(1＋x)≤x(x＞－1)， 取x＝，则＞ln，取x＝－，则＜ln 已知函数f(x)＝ex－ax2－x. (1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a的值； (2)证明：(1＋1)…＜e2(n∈N*且n≥2)． 解：(1)函数f(x)＝ex－ax2－x， 求导得f′(x)＝ex－ax－1， 由于函数f(x)在R上单调递增， 则f′(x)＝ex－ax－1≥0恒成立， 令h(x)＝ex－ax－1，则h′(x)＝ex－a， 当a＝0时，f′(x)＝ex－1，当x＜0时，f′(x)＜0，不满足条件； 当a＜0时，h′(x)＞0，h(x)在R上单调递增， 又h＝－a·－1＝－2＜0， 即f′＜0，不满足条件； 当a＞0时，令h′(x)＝0，得x＝ln a，则当x＜ln a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x＞ln a时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，于是当x＝ln a时，h(x)取得最小值， h(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1， 于是h(ln a)≥0，即a－1－aln a≥0， 令u(a)＝a－1－aln a，则u′(a)＝－ln a， 当0＜a＜1时，u′(a)＞0，u(a)单调递增； a＞1时，u′(a)＜0，u(a)单调递减，则u(a)max＝u(1)＝0， 由于a－1－aln a≥0恒成立， 因此a－1－aln a＝0，则有a＝1， 所以f(x)单调递增时，a的值为1. (2)由(1)知，当a＝1时，ex－x－1≥0，即有ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号，即当x＞0时，ln(x＋1)＜x， 因此当n∈N*且n≥2时， ln＝ln(1＋1)＋ln＋…＋ln≤1＋＋…＋， 而当n≥2时，＜＝－， 所以1＋＋…＋＜1＋＝1＋1－＜2， 则ln＜2，所以，(1＋1)…＜e2. 学科网（北京）股份有限公司 $