第3章 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第三章 一元函数的导数及其应用 [复习策略一教师专享] 1.处理好以下四个问题 (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程、不等式 (1)利用导数研究曲线的切线问题， 问题转化为函数的极（最）值等问题. (2)利用导数研究函数的单调性、极（最）值问题 (3)数形结合思想：研究函数性质，方程根的个数、不 (3)利用导数研究不等式恒成立或证明不等式问题. 等式的解集等问题. (4)利用导数研究复杂函数的零点问题. (4)分类讨论思想：研究函数的单调性等问题时，经常 2.注意以下四个思想方法的应用 (1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间 需要根据极值点的大小，极值点是否在定义域内 有着密切的联系. 进行分类讨论. §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导 数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f(α.x十b))的导数. 复盘~必备知识 学生用书P49 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 基本初等函数 导函数 1.导数的概念 f(x)=e" f(z)=e" (1)函数y=f(x)在x=x。处的导数记作f(xo)或 y\x=。 f(x)=log x(a>0,且a≠1) f'(x)= 1 f(o)=limAy=limf(o+Ar)-f(xo) xln a △x (2)函数y=f(x)的导函数f(x) f(x)=In x f(x)=1 limf(a+△r)-f(x) △x 4.导数的运算法则 2.导数的几何意义 若f'(x),g(.x)存在，则有 函数y=f(x)在x=x。处的导数的几何意义就是 [f(x)±g(x)]'=f(x)±g'(x); 曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处的切线的斜率， [f(x)g(x)]'=f(x)g(x)十f(x)g'(x)； 相应的切线方程为y一f(xo)=f(xo)(x一x). 3.基本初等函数的导数公式 I-f2g≠o: [g(x)]2 基本初等函数 导函数 [cf(x)]'=cf'(x). f(x)=c(c为常数) f(x)=0 5.复合函数的定义及其导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u= f(x)=x(a∈Q,且a≠0) f'(x)=ax"I g(x)的导数间的关系为y,=y。·Wz,即y对x f(x)=sin x f'(x)=cosI 的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. f(x)=cos x f'(x)=-sin x 知识拓展用活 1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是 f(x)=a(a>0,且a≠1) f'(x)=a"ln a 奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数. ·64· 第三章一元函数的导数及其应用 2.两类切线问题的区别 解析：A[f'()=1-2, (1)“过”与“在”：曲线y=f(x)“在点P(xoyo)处的 T 切线”与“过点P(xo,yo)的切线”的区别：前者 所以f(号)=2-2=0] P(xoy)为切点，而后者P(xy)不一定为切点. 3.已知函数f(x)=2,则函数f(x)的图象在点 (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只 (0,f(0)处的切线方程为 () 有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个 A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 公共点 C.x·ln2-y-1=0 D.x·ln2-y+1=0 自主诊断查验 解析：D[函数f(x)=2,求导得f(x)=2ln2, 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√/”或“×”） 则f(0)=1n2,而f(0)=1, (1)f(xo)是函数y=f(x)在x=x。附近的平均变 所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0),即x· 化率. (×) ln2-y+1=0.] (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 4.已知函数f(x)=ln(3-2.x)十cos2x,则f'(0)= 切线 (×) (3)f(xo)=[f(x)]'. (×) 解析：因为f(x)= 3-2x -2sin 2x, (4)若f(x)=sin(-x),则f(x)=cos(-x). (×) 2 2.若函数f)=hx一2x+1,则（分） 所以f(0)= A.0 B c D.2 答案：一号 跃升>关键能力 学生用书P50 核心考点分类突破 题型1 导数的计算 f()号 [例1] (1)[多选]下列求导运算正确的是 ( f)=x2+ B.(x2e)'=2.x+e )+ c.o(2x-晋=-simf2z-》 [答案] 需+ D（-月=1+ 规律方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等 [解桥]（广=·= xh,故 函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程 A正确；(x2e)'=(x2十2x)e,故B错误； 思想求解 os2x-]=-2sim2x-)故C错误： (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要 (-)=1+是放D正境。 进行换元 跟踪训练 [答案]AD 1.[多选]下列求导数运算正确的是 (2)函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)=x2十 A.(2025)′=x2025-1 r()sin,则f) B.(x225+10g2x)/=2025x224+1 xIn 2 [解析]f(x)=2x+f(3)osx, C.csin' sin x f()=5+2r() D.(x23")′=2x3+x231n3 ·65· 高考总复习数学 解析：BD[(2025)/=20251n2025,A错误； [角度3]切线的应用 (x2025十1og2x)/=(.x2025)'+(l0g2x)′=2025.x2024 [例2-3]设点P在曲线y=e上，点Q在直线y= + ln2B正确； 上，则PQ的袋小值为 ′cos -sinx·sinx-cosx·cosx= 1 A. B. 2 sin x sinx sin'x e+1 √e+1 C错误；(x23)'=(x2)′·3十x2X(3)'=2x3十 x231n3,D正确.] C.+ e D.3 √e2+1 2.已知函数f(x)=er+f(0)ln(x十4)，则f(0)= [解桥们令=心=得x=-1,代入曲线y= 解折：因为了x)=2+车9所以了0)=2+ e1= 1 f0),解得f'o)= 所以PQ的最小位即为点(-1，)到直线=： 4 3 2 答案号 的距离d= e+1 [答案]B 题型2〔 导数的几何意义 规律方法 ♪角度1求切线方程 利用导数求切线方程的一般过程 [例2一1]曲线y=1nx|过坐标原点的两条切线的 已知曲线y=f(x)过点P(xo,yo),求曲线过点P 方程为 的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情 [解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的 况求解： 切线方程，设切点坐标为，由-子得切 1.若P(xo,yo)是切点，则曲线的切线方程为y-yo =f(xo)(x-xo); 线斜率为工，又切线的斜率为迦 2.若P(xo,yo)不是切点，则分以下几个步骤： 所以上=业，解得=1， (1)设出切点坐标P(x1y1). Zo o (2)写出过P'(x1,y1)的切线方程y一y1 代入y=lnx,得xo=e, f'(x1)·(x-x1). 所以切线斜率为 ,切线方程为y=1 . (3)将点P(x。,yo)的坐标代入切线方程求出x1. (4)将x1的值代入方程y-y1=f'(x1)(x一x1)得 同理可求得当x<0时的切线方程为y=一 e 到所求切线方程. 综上可知，两条切线方程为y= et,y=- 跟踪训练 e 1.若曲线y=3(.x2-x)e-1在点(1,0)处的切线与 [答秦]y=xy=- e t y=a十2平行，曲线y丹在点1,0)处的切线 ●[角度2]求参数的值（范围） 与直线x-by十1=0垂直，则a十b= [例2-2](2025·全国一卷)若直线y=2x十5是 曲线y=e十x十a的一条切线，则a= 解析：设f(.x)=3(x2-x)e1,g(x)=1n x+1 [解析]由2x十5=e十x+a得e=x十5-a,故 则f(x)=3(2.x-1)e-1+3(.x2-x)e-1=3(.x2+ 可知y=x十5-a与y=e相切，所以5-a=1,故 x-1)e1,f(1)=3. a=4. 直线y=a.x十2的斜率为k1=a,由导数的几何意 [答案]4 义可得，k1=3,所以a=3. ·66· 第三章一元函数的导数及其应用 -n+1-严，g)=合 (2)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=e存 又g'(x)= 在公共切线，则a的取值范围为 (x+1)2 x(.x+1)2 [解析]由y=ax2(a>0),得y'=2ax, 直线x一十1=0的针率为：=方，由导数的儿何 由y=e',得y'=e, 意义可得，号：=-1，所以6=一日 曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=e存在公 共切线， 所以a十6=受 设公切线与曲线C切于点(x1,ax), 与曲线C2切于点(x2,e), 答案：号 则2ax1=e=e5-ax 2.(2024·全国甲卷)设函数f)=+2sin2,则曲 x2一x1 1+x2 线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成 可得2.x2=x1+2,a=。切 2x,记fx)= 2x,则 的三角形的面积为 ( A.日 c f(x)=e+(x-2) Ax 解析：A[“f(x)=e+2sinx 当x∈(0,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 1+x2 当x∈(2，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. ∴f(r)=（e+2cosx)1+x)-(e+2sin)·2z (1+x)2 .当x=2时，f(x)m=4 _(z-1)'e+2(1+x')cos x-4xsin z (1+x2)2 a的取值范同是[+ 则f′(0)=3， [答案] [层+】 .y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1= 3(x-0),即3.x-y+1=0 规律方法 令x=0,得y=1, 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相 令y=0,得x=- 等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点 3, 横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求 y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成 出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解： 的三角形的面机为S=之×引×1=合】 跟踪训练 题型3( 两曲线的公切线 已知曲线y=e在点(x1,y1)处的切线与曲线y= [例3](1)已知点P是曲线y=xe与曲线y=ex2 1nx在点(x2,y2)处的切线相同，则(x1+1)(x2-1)= 的公共点，则两曲线在点P处的公共切线方程是 A.-1 B.-2 C.1 D.2 A.y=0 解析：B[根据常用函数的导数可知：y=e→y- B.2ex-y-e=0 ey=lnx→y'=1. C.y=0或2ex-y-e=0 D.y=0或ex-y-1=0 则两函数在点(x1,y1)和(x2y2)处的切线分别为： [解析]设P点的坐标为(xo,yo), y-y=e西(x-x),y-y2=1(x一2)，化简得 「2 对曲线y=xe求导得y'=e十xe, 对曲线y=ex2求导得y=2ex, y=ex+(1-t)e",y=1x+Inz:-1 (e+toe"o=2exo, 得 解得x。=1, e5=1 xoe。=ex, 由题意可得： ,化简得 得P点坐标为(1，e),切线方程为2ex-y-e=0. (1-x1)e5=lnx2-1 [答案]B x1x2+x2-x1+1=0→(x1十1)(x2-1)=-2.] ·67·