3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第三章 一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用 导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f(,x十b))的导数. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 4.导数的运算法则 1.导数的概念 若f(x),g'(x)存在，则有 [f(.x)土g(.x)]'= (1)函数y=f(x)在x=x,处的导数记作 [f(x)g(x)]'= 或 f(x)],_ f(r)-limAy=limf(o+Ar)-f(2o .g() f(xg()-f)g((g(x)≠0)： Lg(x) △x [cf(x)]'= (2)函数y=f(x)的导函数 5.复合函数的定义及其导数 f(x）=limf(十△x)-f(.x) 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= △x f(),u=g(x)的导数间的关系为y',= 2.导数的几何意义 ,即y对x的导数等于y对u的导 函数y=f(x)在x=x,处的导数的几何意 数与u对x的导数的乘积. 义就是曲线y=f(x)在点P(x。,f(x)处 知识拓展用活 的切线的 相应的切线方程为 1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的 导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周 期函数 3.基本初等函数的导数公式 2.两类切线问题的区别 基本初等函数 导函数 (1)“过”与“在”：曲线y=f(x)“在点P(x)处 f(x)=c(c为常数) f'(x)= 的切线”与“过点P(xo,y)的切线”的区 别：前者P(o,)为切点，而后者 f(.x)=x(a∈Q,且a≠0) f'(x)= P(xoy)不一定为切点. f(x)=sin x f(.x)= (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不 一定只有一个公共点，而直线与二次曲线 f(x)=cos x f(.x) 相切只有一个公共点. f(x)=a'(a>0,且a≠1) f(.x)= 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” f(x)=e" f(x)= 或“X”) (1)f(xo)是函数y=f(x)在x=x,附近的平 f(x)=logx(a>0,且a≠1) f(x)= 均变化率。 () (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线 f(z)=In z f'(x)= 的切线 () ·49· 高考总复习数学 (3)f(o)=[f(x)]' () 3.已知函数f(x)=2,则函数f(x)的图象在 (4)若f(x)=sin(-x),则f(x)=cos(-x). 点(0，f(0))处的切线方程为 () A.x-y-1=0 2.若函数f(x)=1nx-2x+1,则f2 B.x-y+1=0 C.x·ln2-y-1=0 D.x·ln2-y+1=0 A.0 B.2 C.2 3 0.2 4.已知函数f(x)=1n(3一2x)十cos2x,则 f(0)= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 导数的计算 题型2( 导数的几何意义 [例1 (1)[多选]下列求导运算正确的是 [角度1]求切线方程 ( T例2一1]曲线y=lnx过坐标原点的两条 切线的方程为 cln'x P[角度2]求参数的值（范围） B.(x2e)'=2x+e [例2-2](2025·全国一卷)若直线y=2x+5 是曲线y=er十x十a的一条切线，则a= c[os2x-=-sm2x-》 [角度3]切线的应用 D(-}=1+ [例2-3]设点P在曲线y=e上，点Q在直 (2)函数f(x)的导函数为f(x),若f(x) 线y=。x上，则PQ的最小值为() 1 B.- 2 √e+1 e+1 规律方法 3 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基 C.e √e2+1 D.- e+1 本初等函数的和、差、积、商，再利用运算 规律方法 法则求导. 利用导数求切线方程的一般过程 (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活 已知曲线y=f(x)过点P(xo,yo),求曲线 用方程思想求解. 过点P的切线方程，需分点P是切点和不 (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必 是切点两种情况求解： 要时要进行换元， 1.若P(xo,y)是切点，则曲线的切线方程 跟踪训练 为y-y=f(xo)(x-2o): 1.[多选]下列求导数运算正确的是 2.若P(x,y)不是切点，则分以下几个 A.(2025)′=x2025-1 步骤： (1)设出切点坐标P(x1y). B.(x2025+log2.x)/=2025.x2024+ 1 xln 2 (2)写出过P(x1,y1)的切线方程y一y1= cos sin'x-cos'x f(x1)·(x-x1). sin x sinx (3)将点P(xo,y)的坐标代入切线方程求 D.(x23)′=2x3+x2321n3 出x1 2.已知函数f(x)=e2x十f(0)1n(x十4)，则 (4)将x1的值代入方程y-M=f()(x一x） f(0)= 得到所求切线方程. ·50。 第三章 一元函数的导数及其应用 跟踪训练 A.y=0 1.若曲线y=3(x2一x)e-1在点(1,0)处的切 B.2ex-y-e=0 线与y=a.x十2平行，曲线y= h气在点 C.y=0或2ex-y-e=0 D.y=0或ex-y-1=0 (1,0)处的切线与直线x一by+1=0垂直， (2)若曲线C:y=a.x2(a>0)与曲线C,:y=e 则a十b= 存在公共切线，则a的取值范围为 2.(2024·全国甲卷)设函数f(x)= 规律方法 。十2sinx,则曲线y=f(x)在点(0,1)处 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜 1+x2 率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列 的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组 积为 求解.或者分别求出两函数的切线，利用两 切线重合列方程组求解， d跟踪训练 c号 n号 已知曲线y=e在点(x1,y)处的切线与曲 线y=lnx在点(x2,y2)处的切线相同，则 题型3 两曲线的公切线 (x1+1)(x2-1)= [例3](1)已知点P是曲线y=xe与曲线y A.-1 B.-2 C.1 D.2 =ex的公共点，则两曲线在点P处的公共 C温馨提污 切线方程是 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 §3.2 导数与函数的单调性 ★[考试要求] 1,结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.利用导数判断函数单调性的步骤 1.函数的单调性与导数的关系 第1步，确定函数的 条件 恒有 结论 第2步，求出导数f(x)的 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 f(x)在区间(a,b)上 f(x)>0 分为若干个区间，列表给出(x)在各区间 上的正、负，由此得出函数y=f(x)在定义 函数y= 域内的单调性， f(x)在区 f(x)在区间(a,b)上 f'(.x)<0 知识拓展用活 间(a,b)上 可导 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈ f(x)在区间(a,b)上是 (a,b)时，f(x)≥0恒成立；若函数f(x)在 f'(x)=0 (a,b)上单调递减，则x∈(a,b)时，f(x)≤0 恒成立 ·51.高考总复习数学 9X10"Wm时，b,=10lg2X00=10g9X10) 10(1g9+1)=10十10lg9<10+10lg10=20.所以这4人 中达到班级要求的有3人.] 题型3 [例3][解](1)根据题意，d=d。十d1+d2十d3=30十 0.8w+0.2w+20k=30+w+20k(0≤u≤33.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d90恒成立，即 对任意的k∈[0.5,0.9]，30+u十20k<90恒成立， 易知当=0时，满足题意： 当0≤3.3时，有2<0-对任意的k∈[0.5,0.0 恒成立， 由c[0.509],得∈[房] 所以60-11 元10' 即V十10u-600<0,解得-30<v<20, 所以0<u20. 综上，0U20. 所以汽车的行驶速度应限制在20/s以下. 跟踪训练 C[设石片第n次“打水漂”时的速率为Un, 则n=100×0.90”-1. 由100×0.90"-1<60，得0.90"-1<0.6， 则(n-1)ln0.901n0.6, 中-1898 ≈4.87，则n>5.87, 故至少需要“打水漂”的次数为6.] 第三章一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)y=2.斜率y-fx)=f()(x一x) 3.0ax2-1 cos a -sin z a'ln a e' 1 1 4.f(z)+g'(z)f(z)g(z)+f(x)g'(z)cf(z) 5.y'm· 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A[f(x)=上-2，所以了（合）=2-2=0.] x 3.D[函数f(x)=2,求导得'(x)=2ln2, 则f(0)=ln2,而f(0)=1, 所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0), 即x·ln2-y+1=0.] 4.解析：因为∫'(x)=一 2 3-2x -2sin 2x, 所以'(0)=一2 3 答案：号 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析] xln'x' 故A正确： (x2e)y=(x2十2x)e,故B错误； [os(2x-等)]=-2sn(2x-晋）故C错误： (-=1+D正瑞 [答案]AD ·38 (2)[解析]f(x)=2x+f()cosx, r()-ξ+2() (), f)=d+号n, (倍)希 [答案] 跟踪训练 1.BD[(2025)'=2025lhn2025,A错误；(x225十l0g2x/= xy+(gxy=2025x则十2B正确：(} -sinx·sint-cosx·cosx=_1 sin'x snC错误；(x3y (x2)y'·3十x×(3)/=23十x3ln3,D正确.] 2解新：周为ra)=2e+9所以了0)=2+T0 4 解得了0)=号 答案：号 题型2 [例2-1][解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原点 的切线方程，设切点坐标为(xy), 由y=1,得切线斜率为1，又切线的斜率为兰， x 所以上=业，解得。=1， 代入y=lnx,得xo=e, 所以切线斜率为上，切线方程为y=上 e e 同理可求得当x<0时的切线方程为y=一1 综上可知，两条切线方程为y=。 y=-1 [答案]y=y=： [例2-2][解析]由2x十5=e十x十a得e=x十5 a,故可知y=x十5-a与y=e相切，所以5-a=1,故a =4. [答案]4 [例2-3][解析]令y=e=名，得x=-1, 代入曲线y=e1=1 所以PQ的最小值即为点(1，是)到直线y=。x的 距离d= 2 √e'+1 [答案]B 跟踪训练 1.解析：设f(z)=3(x2-x)el,g(x)=血 x+11 则f(x)=3(2x-1)e1十3(x2-x)e-1=3(.x2十x-1) e-1,f(1)=3. 直线y=ax十2的斜率为k1=a,由导数的几何意义可 得，k1=3,所以a=3. 2n+1一g00石 又g'(x)=工 1 (x十1)9 2 1 直线x一by十1=0的斜率为k:=方，由导数的几何意义 可得，之，=-1，所以6= 1 2 所以a十b=立 5 答案：号 2.A[f(x)=e+2sinx」 1十x ∴f(0=e+2os)1+)-(e+2sin)·2z (1+x)2 (z-1)'e+2(1)cos z-4zsin (1+x2)9 则f(0)=3, y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0), 即3x-y十1=0 令x=0,得y=1, 令y=0得x=宁 ∴y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三 角形的面积为S=合×-吉×1=合] _1 题型3 [例3](1)[解析]设P点的坐标为(x,yo), 对曲线y=xe求导得y'=e十xe, 对曲线y=ex2求导得y=2ex, 得，c心=2解得=1， lzoeo=ezo, 得P点坐标为(1，e),切线方程为2ex-y-e=0. [答案]B (2)[解析]由y=a.x(a>0),得y=2a.x, 由y=e,得y=e, 曲线C:y=ax(a>0)与曲线C2:y=e存在公共 切线， 设公切线与曲线C1切于，点(x1,ax1), 与曲线C2切于点(x2,e2), 则2au1=e=e-az x2一x1 可得2x=十2，a=2x,记fzx)=3+1 2x 则f(x)=+1(z-2 4.x 当x∈(0,2)时，∫(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(2，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. e .当x=2时，f(x)m= a的取值范国是厂g】 [答案] 跟踪训练 B[根据常用函数的导数可知：y=e→y'=e,y=lnx y=1, 则两函数在点(x1,y1)和(x2,y2)处的切线分别为：y一y =e1(红-x)y-为=1(x-),化简得y=ex十 1 1=)ey=+l-1 由题意可得： e=1 (1-zx1)e=lnx2-1 化简得x1x2十x2一x1十1=0→(x1十1)(x2-1)=-2.] ·3 参考答案 §3.2导数与函数的单调性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.单调递增单调递减常数函数2.定义域零点 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.D[函数y=x-lnx的定义域为(0，十o∞)， y=1一1=二1，所以y=x-nx在区间 (1,十∞)上y>0,函数单调递增.] 3.解析：因为f(x)=e-2,当x∈[1，e]时， f(x)=e一2>0，所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)m=f(1)=e-2. 答案：e-2 4.解析：因为函数f(x)=mx一cosx在R上单调递增， 所以f(x)=m十sinx≥0在R上恒成立， 即m≥一sinx在R上恒成立， 所以m≥1. 答案：1 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]因为f(.x)=(2x一1)e,所以f(x) =(2十1De,不等式了(x)<0,解得x<-之，因此函数 1 fx)=(2x-1e的单调递减区间是(-oo,-2) [答案]A (2)[解析]f(x)=sinx十ccos x-sinx=xcos x, 令f'(x)=xcos>0, 则其在区间(-，)上的解案为(-，-)和(0，受) 即f)的单调递增区间为(，-受)和(0，受)片 [答案] (-,-)和(0受)】 跟踪训练 B[因为函数f(x)的定义域为(0，十oo),且f(x)=lnx十 土=lnx+1,令fxK0,解得0<日故f)的单 调逼减区间是(0。）门 题型2 [例2][解] 1)当a=2时f()=nx+合2 1 2x, 求导得f(x)= 十x2 2 则f1)=是f1)=0,即切点为1.0. 切线的斜率为受 所以切线方程为：y-0=号(x-1),即3x一2y-3=0 (2)画数f)=lnx十号r-ax的定义域为0，十eo)… 求导得r)=士+xa 当a≤2时，f(x)=1十x-a≥2-a≥0， 则函数f(x)在(0，十o)上单调递增； 当a>2时，由f'(x)=1+x-a=t-ax+1=0, 得x1-0-4,-+合4. 2 2 由f(x)>0,得0<x<x1或x>x2,由f(x)<0,得 I<x 3