第2章 2.9 函数的零点与方程的解（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.9函数的零点与方程的解 ★[考试要求] 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零 点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解 用二分法求方程近似解具有一般性. 复盘>必备知识 学生用书P42 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的零点与方程的解 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或 (1)函数零点的概念 “X”) 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×) 叫做函数y=f(x)的零点. (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则 (2)函数零点与方程实数解的关系 f(a)·f(b)<0. (X) 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有零点台 (3)函数y=f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 有一个零点. (X) (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 (4)二次函数y=ax2+b.x十c(a≠0)，若b2-4ac<0, 连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0,那么，函数 则f(x)无零点. (√) y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在 2.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式， c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x) 不能用二分法求图中函数零点的是 =0的解 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识拓展用活 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数， 则f(x)至多有一个零点. D (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函 解析：C[根据零，点存在性定理可知，函数f(x)的 数值保持同号， 图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a,b)上满 (3)连续不断的函数在零点两侧取值时，函数值可能 足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存 变号，也可能不变号. 在零点； (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)=0的 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近 实根. 不满足f(a)·f(b)<0, (5)由函数y=f(x)(图象是连续 (x 所以C选项不能用二分法求图中函数零，点.] 不断的)在闭区间[a,b]上有 零点不一定能推出f(a)· 3.函数y=lnx- 2的零点所在的大致区间是( f(b)<0,如图所示，所以图象连续且f(a)·f(b) <0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不 B.(1,2) 必要条件， C.(2,e) D.(e,十o∞) ·55 高考总复习数学 解析：C[y=f)=1nx-2的定义战为(0，十oo), e,x0 4.若函数f(x) 则函数y=f(x)一1 -1,x>0, 因为y=lnx与y=-2在(0，十0)上单调递增， x 的零点是 解析：要求函数y=f(x)一1的零，点，则令y=f(x) 所以fx)=1nx-2在(0，十0)上单调递增，又 x -1=0,即f(x)=1,①当x≤0时，f(x)=e,由 f(1)=ln1-2=-2<0,f(2)=ln2-1<0,f(e) e=1,解得x=0;②当x>0时，f(x)=x2-1,由 =1ne-2=1-2>0,所以f2)·f(e)<0,所以 x2-1=1,解得x=√2（负值舍去）.综上可知，函数 e y-f(x)-1的零，点是0和√2. f(x)在(2，e)上存在唯一的零点.] 答案：0和√2 跃升>关键能力 学生用书P43 核心考点分类突破 题型1{ 函数零点所在区间的判定 规律方法 [例1] (1)(2025·天津卷)函数f(x)=0.3-√元 确定函数零点所在区间的常用方法 的零点所在区间是 ( (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) 在区间[a,b们上的图象是否连续，再看是否有 C.(0.5,1) D.(1,2) f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间 [解析]本题考查了函数的零点存在定理，f(x) (a,b)内必有零点. =0.3-√(x>0)在(0，十o∞)上单调递减. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x f(0.3)=0.3°3-√0.3=0.3.3-0.35>0. 轴在给定区间上是否有交点来判断， f(0.5)=0.305-√0.5=0.3.5-0.5.5<0， 日跟踪训练 .f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上. 1.已知xo是函数f(x)=√元+log2(x十1)-4的零 [答案]B 点，则(x。-1)(x。-2)(x。-3)(x。-4)的值( (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)十(x A.为正数 B.为负数 -b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于 C.等于0 D.无法确定正负 区间 解析：B[由题意可知f(x)单调递增且f(3)= A.(a,b)和(b,c)内 √3+log24-4<0,f(4)=2+1og25-4>0,则x∈ B.(-o∞，a)和(a,b)内 (3,4),所以x0-1>0,x0-2>0,x0-3>0,x0-4 C.(b,c)和(c,十∞)内 <0,所以(x。-1)(x。-2)(x。-3)(x。-4)<0.] D.(-∞，a)和(c,十∞)内 2.已知函数f(x)=20×3-x的零点xo∈(k,k+1), [解析]函数y=f(x)是图象开口向上的二次 k∈Z,则k= 函数，最多有两个零，点，由于a<b<c,则a一b<0, 解析：因为函数y=3为R上的减函数，故函数 a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c) f(x)=20×3r-x为R上的减函数，又f(2)= >0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)· 20X3-2-9-2=号>0，f8)=20X83-3 (c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即 f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个 -3=-80<0,故f()=20×81-x在(2.3) 27 零点 上有唯一零点，结合题意可知=2. [答案]A 答案：2 ·56· 第二章函数 题型2 函数零点个数的判定 规律方法 求解函数零点个数的基本方法 [例2] 1)函数f(x)=sin受-logx的零点个 (1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个解，则f(x) 数为 ( 有多少个零点； A.1 B.2 C.3 D.4 (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调 性、奇偶性等； [解析] 函教f(x)=sin受-logx的零点个 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据 数，即函教g)=sn受与h()=l0g的交点 两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. (跟踪训练 个数，在坐标平面中画出两个函数的图象，如图 1.函数f(x)=2log.5x一1的零点个数为( 所示： A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B[由21logo.sx (》 h(x)=logxl -1=0得|1og.5x|= OT12345 ,作出y=1og5xl g(x)-sin 和y= 的图象，如 则两个图象交点的个数为2. 图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x) [答案]B =2|1og0.5x-1有2个零点.] 2+4-3,x≤0， (2)已知函数f(.x) 2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， (2x2-7x+4-lnx,x>0, f(x)=e十x-3,则f(x)的零点个数为( 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]当x≤0时，由f(.x)=2+4-3=0,得 解析：C[f(x)=e十x-3在(0，十∞)上为增函 x=log23-4,当x>0时，由f(x)=2x2-7x+4- 数，台》=e-8<0f)=e-2>0.f)在 lnx=0,得2x2-7x十4=lnx,则x>0时，函数 (0,十o∞)上只有一个零，点，由奇函数性质得f(x) f(x)=2.x2一7x十4一lnx零点的个数，即为函数 在（一∞，0）上也有一个零点，又f(0)=0,所以 y=2.x2-7x十4y=lnx图象交点的个数，如图，作 f(x)有三个零点.] 出函数y=2.x2-7x十4，y=lnx的图象， 题型3〔 函数零点的应用 [角度1]根据函数零点个数求参数 y=Inx [例3-1](2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x 17 +1)2-1,g(x)=cosx+2a.x.当x∈(-1,1)时， 17 y=2x2-7x+4 曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= ( 由图可知，两函数的图象有2个交点，即当x>0 A.-1 C.1 D.2 时，函数f(x)=2.x2-7x十4-lnx有2个零点，综 解析：Df(z)=g()Pa二，注意右边 上所述，函数f(x)有3个零点. 是偶函数，所以若只有一个交点就只能是在x=0 [答案]3 处相切，于是直接代x=0得a=2.] ·57 高考总复习数学 卜[角度2]根据函数零点的范围求参数 解析：A[依题意，函数g(x)=f(x)一b有四个不 [例3-2] 已知函数f(x)=3_1十a工.若存在 同的零点，即f(x)=b有四个解，转化为函数y= f(x)与y=b的图象有四个交点，由函数y=f(x)可 ∈(-∞，一1)，使得f(xo)=0,则实数a的取值范 知，当x∈（一∞，一1]时，函数单调递减，y∈[0，十 围是 ∞)；当x∈(-1,0]时，函数单调递增，y∈(0,1]； A（,) B〔o,) 当x∈(0,1)时，函数单调递减，y∈(0，十∞)；当 C.(-∞，0) n信+】 x∈[1，十∞)时，函数单调递增，y∈[0，+o∞).结合 图象可知，实数b的取值范围为(0,1].] [解析]由fx)=3-1十a=0,可得a=3- x y=f(x) 令gx)=3-是，其中x∈(-0，-1D,由于存在 x。∈(-o∞，一1)，使得f(xo)=0,则实数a的取值 3-2-10 1234主 范围即为函数g(x)在（一∞，一1）上的值域.由于 1x2+2x-3,x≤0 函数y=3,y=一1在区间(-0，-1)上均单调 2.[多选]已知函数f(x) -2+Inx,x>0 递增，所以函数g(x)在（一∞，一1）上单调递增.当 令h(x)=f(x)一k,则下列说法正确的是( xe(-,-D时，g)=3r-<3+1=号， A.函数f(x)的增区间为(0，十∞) B.当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3] 又g(x）=3”一1>0，所以函数g(x)在 C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为-1 x D.当k∈(-o∞，-4)时，h(x)有1个零点 (-0,-1)上的值城为0，号) 因此实数a的取值 2+2x-3,x≤0 解析：BD[函数f(x) 结合 2+In x,x>0 二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x) [答案]B 的图象如图所示， 规律方法 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 123-4567891011x 等式（组），再通过解不等式确定参数（范围）. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域 确定参数范围 由图象可知，函数f(x)的增区间为（一1,0]和(0， (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角 十∞)，A选项错误； 坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合 h(x)的零，点是函数y=f(x)和y=k图象交点的横 法求解· 坐标， 跟踪训练 由图象可知，当h(x)有3个零，点时，k∈（一4，一3]，B (x十1)2，x≤0， 选项正确； 1.已知函数f(.x) 若函数g(x)= 1gx|,x>0, 解方程可知，当k=一2时，h(x)有两个零点，一1一√2 f(x)一b有四个不同的零点，则实数b的取值范 和1，所有零点之和为一√2，C选项错误； 围为 ( ) 当k∈（一o∞，一4）时，函数y=f(.x)和y=k的图象 A.(0,1] B.[0,1] 有1个交点，即h(x)有1个零点，D选项正确.门 C.(0,1) D.(1,+∞) ·58 第二章函数 [热点翼化课3]嵌套函数的零点 学生用书P44 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇，对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设 中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 「2+2 2 ,x≤1 名师点拨 [典例]已知函数f(x)= 则 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零 |log2(.x-1),x>1, 点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零 函数F(x)=f[f(x)]-2f(.x)- 多的零点个数是 点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的 零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相 对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. A.4 B.5 C.6 D.7 日跟踪训练 [解析]令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t) -21-多，则画敛F()的零点问题可转化为方程 己知函数f(x)= e-2(.x≤0)， 则下列关于函数 In x(x>0), y=f儿f(kx)+1]十1(k≠0)的零点个数的判断正 f(t)-2t- =0的根的问题。 2 确的是 () A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点 令y=f0w)-21-8-=0则f0)=2+ 3 B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C.无论k为何值，均有3个零点 分别作出y=f)和y=2+号的图象，如图①，由 D.无论k为何值，均有4个零点 图象可得有两个交点，横坐标设为t1,t2(不妨设 解析：C[令fx)=-1,得x=0或x=是，则有 t1<t2),则t1=0,1<t2<2; y2+3 fx)=-1或f0x)=是-1. 当k>0时，①若x≤0，则kx≤0，er-2=-1或 y=f(t) y=f(x) 。5-2=是-1.所以kx=0支kx=l1+)解 e 1t22 图① 图② 得x=0或x= k 作函数y=f(x),与y=t的图象如图②，结合图 ln(kx)=一1或ln(kx)=上一l,解得kx=上或 e e 象，当f(x)=0时，有一解，即x=2; 当f(x)=t2时，结合图象，有3个解. =e(),则x=或) ke 飞一均满足. 所以3=ff(x)》-2f()-号共有4个零点。 所以当k>0时，零点有3个；同理当k<0时，零点 有3个. [答案]A 所以无论为何值，均有3个零点.] 备课记录 ·59·