2.9 函数的零点与方程的解-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.9函数的零点与方程的解 ★[考试要求] 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特 点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具 用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性， 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (5)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭 1.函数的零点与方程的解 区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)· (1)函数零点的概念 f(b)<0,如图所示，所以图象连续且f(a) 对于函数y=f(x),我们把使 的 ·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上 实数x叫做函数y=f(x)的零点 有零点的充分不必要条件， 2 (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有 0 a 台函数y=f(x)的图象与 有公共点 自主诊断查验 (3)函数零点存在定理 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 或“X”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的 是一条连续不断的曲线，且有 交点 () ,那么，函数y=f(x)在区间 (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点， 内至少有一个零点，即存在c∈(a,b), 则f(a)·f(b)<0. () 使得 ,这个c也就是方程f(x)=0 (3)函数y=f(x)为R上的单调函数，则f(x) 的解. 有且仅有一个零点 () 2.二分法 (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若b一 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 4ac<0,则f(x)无零点. () 的函数y=f(x),通过不断地把它的 2.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析 零点所在区间 ,使所得区间的 式，不能用二分法求图中函数零点的是( 两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法 知识拓展用活 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单 3.函数y=lnx一 2的零点所在的大致区间是 调函数，则f(x)至多有一个零点. () (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的 所有函数值保持同号， B.(1,2) (3)连续不断的函数在零点两侧取值时，函数 C.(2,e) D.(e.+) 值可能变号，也可能不变号， (e,x0, 4.若函数f(x)= x2-1,x>0, 则函数y= (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程 f(x)=0的实根. f(x)一1的零点是 ·42· 第二章函数 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 函数零点所在区间的判定 (2)已知函数f(x)= [例1] (1)(2025·天津卷)函数f(x)=0.3 2x+4 -3,x≤0， 一√x的零点所在区间是 ( 2x2-7x+4-lnx,x>0, A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) 的零点个数为 C.(0.5,1) D.(1,2) 规律方法 (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x一a)(x 求解函数零点个数的基本方法 b)+(x-b)(x-c)+（x-c)(x-a)的两个 (1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个解， 零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 则f(x)有多少个零点； B.(-∞，a)和(a,b)内 (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数 C.(b,c)和(c,+∞)内 的单调性、奇偶性等； D.(-o∞，a)和(c,十∞)内 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单 规律方法 函数，依据两函数图象的交点个数得出 确定函数零点所在区间的常用方法 函数的零点个数. (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是否连 :跟踪训练 续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有， 1.函数f(x)=21ogo.sx|-1的零点个数为 则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有 零点 A.1 B.2 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象 C.3 D.4 与x轴在给定区间上是否有交点来 判断， 2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 (跟踪训练 x>0时，f(x)=e+x-3,则f(x)的零点个 数为 1.已知x。是函数f(x)=√x+1og2(x+1)-4 的零点，则(x。-1)(x。-2)(x。一3)(x。-4) A.1 B.2 的值 ( C.3 D.4 A.为正数 B.为负数 题型3 函数零点的应用 C.等于0 D.无法确定正负 P[角度1]根据函数零点个数求参数 2.已知函数f(x)=20X3x一x的零点x。∈ [例3-1] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x) (k,k十1)，k∈Z,则k= 题型2〔 函数零点个数的判定 =a(x+1)2-1,g (x)=cos x+2ax. x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰 例2] (1)函数(x)=sin受-|log,x的零 有一个交点，则a 点个数为 ( A.-1 A.1 B.2 B. C.3 D.4 C.1 D.2 ·43· 高考总复习数学 [角度2]根据函数零点的范围求参数 日跟踪训练 [例3-2]已知函数f(x)=3-1+a .若 (x+1)2,x≤0， 1.已知函数f(x)= 若函数 1g zl,x-0, 存在x,∈(-∞，-1)，使得f(x)=0,则实 g(x)=f(x)一b有四个不同的零点，则实数 数a的取值范围是 b的取值范围为 ( A.(0,1] B.[0,1] C.(0,1) D.(1,+∞) C.(-∞，0) D.,+∞ 1x2+2x-3,x≤0 规律方法 2.[多选]已知函数f(x)= -2+lnx,x>0 根据函数零点的情况求参数的三种常用 令h(x)=f(x)一k,则下列说法正确的是 方法 ( (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 A.函数f(x)的增区间为(0，十∞) 数的不等式（组），再通过解不等式确定 B.当h(x)有3个零点时，k∈(-4，一3] 参数（范围） C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函 -1 数值域确定参数范围. D.当k∈(-o∞，一4)时，h(x)有1个零点 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平 C温馨提 面直角坐标系中画出函数的图象，然后 学习至此，请完成配套训练 课时冲关14 利用数形结合法求解， [热点贵化课3]嵌套函数的零点 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先 “换元解套”，设中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图 象、性质求解. [典例]已知函数f(x)= 对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”， 2+2 将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借 2 x≤1， 则函数F(x)=f[f(x)] 助函数的图象、性质求解 log2(x-1),x>1, 跟踪训练 -2f(x)- 3 2 的零点个数是 已知函数f(x)= 2(x≤0)， 则下列关 (In x(x>0), A.4 B.5 于函数y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点 C.6 D.7 个数的判断正确的是 () 名师点拨 A.当>0时，有3个零点；当k<0时，有4 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判 个零点 B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3 断函数零点的个数或范围，常考查三次函数 个零点 与复合函数相关零点，与函数的性质和相关 C.无论k为何值，均有3个零点 问题交汇 D.无论k为何值，均有4个零点 ·44·其图象关于坐标原点对称，故舍去B,D两项； 又由f(2)=血2·，0s2<0可得C项不合题意，故A项 2 正确. 2.D[由图象可知，函数f(x)的定义域为RA项，f(x) s而工画数f()的定义城为{zx≠kx,k∈Z,所以A 不符合题意； c05工，函数f八x)的定义城为 B项，f(x)=e {女≠受十k∈所以B不符合题意， C项，当0<x<π时，f(x)=e·cosx,则f(x) =e·cosx-e·sinx=e(cosx-sinx), 当0<x<于时，f(x)>0,当开<x<开时，f(x)<0. 所以fx)在(0，)上递增，在（于）上递减， 所以（受）是画教的板大值，站合图形， f(牙)不是极大值，故C不符合题意： D项，当0<x<π时，f(x)=e·sinx 则f'(x)=e·cosx十e·sinx=e(cosx十sinx), 当0<x<3严时f(x)>0,当驱<<元时，f(x)<0, 所以x)在（买）上递增，在(x)上递减，站合图 形，D符合题意.] 题型3 [例3一1][解析]由已知 条件得f(x十2)=f(x),则y =f(x)是以2为周期的周期 -10 函数，A正确；当一1≤x≤0 时，0≤-x≤1，f(x)=f(-x)= () ,画出函数 y=f(x)的部分图象如图所示，由图知B正确，C不正 确；当3<x<4时，-4<-x<-3,0<4-x<1,f(x)= x-4)=4-)=(2)】 ,因此D正确。 [答案]ABD [例3一2][解析]f(x)为奇函数， fx)-f-2<0台f2<0台 xf(x)<0,由题意可知f(x)的大 致图象如图所示，所以所求不等式 的解集为（一1,0）U(0,1). [答案]D 延伸探究 [解析] 作函数f(x)的图象如图所示： y -10/1 [答案](-o∞，-1)U(0,1) [例3-3][解析]作出函 数f(x)的图象如图所示，直 线y=kx一2恒过点(0，一 3 2),当y=kx一2过点(2， 1D时，解得=合此时直线 3-2-1,02作 y=kx一2与f(x)有两个交 点，故关于x的方程∫(x)= kx一2有两个互不相等的实 ·31 参考答案 根；将y=kx-2代入y=-x2十8x-15得x2+(k-8)x 十13=0，当x≥2时，直线与抛物线只有一个交点，则△ =(k-8)2-52=0,解得k=8-2√/13或k=8十2√13. 当k=8十2√13时，解得x=一√13，不满足x≥2，应舍 去，即k=8一2√3.所以实数k的取值范围 是（合-2+8） [答案]B 跟踪训练 1.ABD[根据函数fx)=2-x 与g(x)=x,画出函数F(x) =min{f(x),g(x)}的图象，如 图.由图象可知，函数F(x)= min{f(x),g(x)》关于y轴对称， -2 所以A项正确；函，数F(x)的图 象与x轴有三个交，点，所以方 程F(x)=0有三个解，所以B 项正确；函数F(x)在(-∞，一1]上单调递增，在[一1,0] 上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，十∞)上单调递 减，所以C项错误，D项正确.门 2.C[1≤x≤2，.x2-x∈[0,2]，∴.y= ↑y x十(x-x)t,0≤t≤1可看作关于t的一 次函数，则y关于t单调递增或y是关 于t的常数函数. 又y=tx2十(1-t)x,1x2,,函 2 数y=tz2+(1一t)x图象的对称轴为 11 直线x=22:≤0y关于x的函数012元 在[1,2]上单调递增，又t,x均为非负数. ∴.当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两点间 的距离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4) 间的距离最大，得d=√10. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去 小正方形及两个梯形的面积，可得S1.] §2.9函数的零点与方程的解 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)=0(2)零点x轴(3)f(a)·f(b)<0 (a,b)f(c)=02.f(a)·f(b)<0一分为二零点 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[根据零，点存在性定理可知，函数f(x)的图象是一段连 续不断的曲线，若在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)<0,则函 数f(x)在区间(a,b)上存在零，点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满 足f(a)·f(b)0, 所以C选项不能用二分法求图中函数零点，门 3.C[y=f)=lnx-三的定义裁为(0，十o∞)，因为y=lhx 与y=-2在(0，十0)上单调递增，所以f(x)=1nx 2在(0，+o∞)上单调递增，又f(1)=ln1-2=-2<0 f2)=n2-1<0f(e)=ne-2=1-名>0，所以 e f(2)·f(e)<0,所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零，点.] 4.解析：要求函数y=f(x)一1的零点，则令y=f(x)-1 =0,即f(x)=1,①当x≤0时，f(x)=e,由e=1,解 得x=0;②当x>0时，f(x)=x2-1,由x2-1=1,解得 x=√2（负值舍去）.综上可知，函数y=f(x)一1的零，点 是0和√2. 答案：0和√2 9 高考总复习数学 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]本题考查了函数的零，点存在定理， f(x)=0.3-√(x>0)在(0，十o∞)上单调递减. f(0.3)=0.3.3-√0.3=0.33-0.35>0. f(0.5)=0.3.5-√/0.5=0.30.5-0.50.5<0， .f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上. [答案]B (2)汇解析]函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数， 最多有两个零点，由于abc,则a一b0,a一c<0, b-c0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c) (b-a)<0,f(c)=(c-a)·(c-b)>0.所以f(a)fb)<0, f(b)f(c)0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有 一个零点 [答案]A 跟踪训练 1.B[由题意可知f(x)单调递增且f(3)=√5十log24一4 <0,f(4)=2十l0g25-4>0,则xo∈(3,4)，所以x。-1 >0,x-2>0,x0-3>0,x6-4<0,所以(x0-1) (x0-2)(x0-3)(x0-4)<0.] 2.解析：因为函数y=3不为R上的减函数，故函数f(x)= 20×3-x为R上的减函数，又f(2)=20×32-2= 号-2=台>0，K3)=20×3-3器-3=-}<0， 故f(x)=20X3x一x在(2,3)上有唯一零，点，结合题意 可知k=2. 答案：2 题型2 [例2】（D[解析]画数f(x)=sim受-logx的零点 个数， 即函教g(x)=sin受与h(x)=logx的交点个数， 在坐标平面中画出两个函数的图象，如图所示： h(x)=logx K-7 012345 g(x)=sin 则两个图象交点的个数为2 [答案]B (2)[解析]当x≤0时，由 f(x)=2+1-3=0,得x=log23 4 y=Inx -4,当x>0时，由f(x)=2x -7x十4-lnx=0,得2x2-7z 0 十4=lnx,则x>0时，函数f 117 17 y=2x2-7x+4 (x)=2x2-7x十4-lnx零点 8 的个数，即为函数y=2x2一7x 十4，y=lnx图象交点的个数， 如图，作出函，数y=2x一7x十4，y=1nx的图象，由图可 知，两函数的图象有2个交，点，即当x>0时，函数f(x) =2x-7x十4-lnx有2个零，点，综上所述，函数f(x) 有3个零点. 「答案]3 跟踪训练 1.B[由2logo.5x-1= 0得lex=(合)广， 作出y=log.5x和y= (合)的图泉，如图所 0 示，则两个函数图象有2 个交点，故函数f(x)=2log5x-1有2个零点.] ·38 2.C[f)=e十x-3在(0，+o)上为增函数，f(合)】 =6-号<0，f1)=e-2>0df)在0，+∞)上只 有一个零点，由奇函数性质得f(x)在（一∞，0）上也有一 个零点，又f(0)=0,所以f(x)有三个零点.] 题型3 [例3-1]D[f(x)=g(x)→a=1+cos严，注意右边是 1十x 偶函数，所以若只有一个交点就只能是在x=0处相切， 于是直接代x=0得a=2.] [例3-2][解析]由f代x)=3-1+a工=0， 可得a=-士令g)=3-士共中x(-0,-D 由于存在x∈（-o∞，一1)，使得f(x0)=0,则实数a的 取值范围即为函数g(x)在（一∞，一1）上的值域.由于函 教y=3=一子在区间（一0，一1上均单润递培，所以 函数g(x)在(-∞，一1)上单调递增.当x∈（一o∞，-1）时， x)=3-<3+1=号又gx)=3-士>0，所 以画数g()在(-0，一1D上的值城为(0，专）因光实 数a的取值范是(0，专） [答案]B 跟踪训练 L.A[依题意，函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点， 即f(x)=b有四个解，转化为函数y=f(x)与y=b的图 象有四个交点，由函数y=f(x)可知，当x∈（一o∞，一1] 时，函数单调递减，y∈[0，十o∞)：当x∈(-1,0]时，函数单调 递增，y∈(0,1]；当x∈(0,1)时，函数单调递减，y∈(0，十∞)： 当x∈[1，十∞)时，函数单调递增，y∈[0，十∞).结合图象可 知，实数b的取值范围为(0,1].] y=f(x) y=b -3-2-10 1 234 2.BD[函数f(x)= ∫x2+2x-3,x≤0 {-2十ln正，x心>0，结合二次函数和 对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示， 21 -3-2-10123-4-567891011元 -2 -3 由图象可知，函数f(x)的增区间为（一1,0]和(0，十∞）， A选项错误； h(x)的零点是函数y=f(x)和y=k图象交点的横 坐标， 由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈（一4，一3]，B选项 正确： 解方程可知，当k=一2时，h(x)有两个零，点，一1一√2和1， 所有零点之和为一√2，C选项错误； 当k∈(-o∞，一4)时，函数y=f(x)和y=k的图象有1 个交，点，即h(x)有1个零点，D选项正确.] 0 热点强化课3嵌套函数的零点 [典例][解析]令f(x)=t,则函数F(x)可化为 3 y=f()-21-号，则函数F(x)的零点问题可转化为方 程)-21一号-0的旅的问题。 令y=0-2含-0，则0)=2+号 分别作出y=)和y=2+受的图象，加圈①，由图泉 可得有两个交点，横坐标设为t,(不妨设<t2),则 t1=0,1<t2<2; 2+号 y 2 y=f(t) y=f(x) t /0 122 图① 图② 作函数y=f(x),与y=t的图象如图②，结合图象， 当f(x)=0时，有一解，即x=2; 当f(x)=t2时，结合图象，有3个解. 所以y=)-2f)-是共有4个零点. [答案]A 跟踪训练 C[令f(x)=-1,得x=0或x=。,则有fkx)=-1 或f)=-1. 当k>0时，①若x≤0，则kx≤0，er-2=一1或er-2 =是-1.所以k红=0或k红=l(1+日）解得x=0或x e n1十e(含)：②若x>0,则kx>0,ln(kx)=-1 kx)=是-1，解得红=。或虹=e(仔-)，则x=后 或）均满足. k 所以当>0时，零点有3个；同理当k<0时，零点有 3个. 所以无论为何值，均有3个零点.门 §2.10函数模型的应用 复盘·必备知识必备知识掌握 2.增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴 x轴 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D[依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质 可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的 1 增长，y=1000e增长速度最快.] 3.C[根据表中数据，作出散点图如下， yA 0 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近， 可选择y=a十logx反映x,y函数关系，] ·3 参考答案 4.解析：利润L(x)=20x一C(x)=- 2(x-18)+142, 当x=18时，L(x)有最大值 答案：18 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]从图象中可以看出，首次服用该药物 1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图 象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度 达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时 时，一定会产生药物中毒，B正确：服药5.5小时时，血药 浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可 使药物持续发挥治疗作用，C正确：第一次服用该药物1 单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血 药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中 毒，D错误 [答案]ABC (2)[解析]由散点图的走势，知模型①不合适 曲线过点(4，子）则后三个镀型的解析式分别为@y +1og4:®y=+子，0y=6+子，当1=1时， 1 1 4 代入国中，得y=3,与图不符，易知拟合最好的是②. 将1=8代入②式，得y=号+10g8=号（米）. [答案]®号 跟踪训练 AD[由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升， 故在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增 加，故A正确：在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8km 到2.4km之间，但直道加减速也有路程，故最长的直线 路程有可能超过0.6km,故B不正确；最长直线路程应 在1.4km到1.8km之间开始，故C不正确；由图1可 知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确.] 题型2 [例2](1)[解析]设甲同学的声强为I1,乙同学的声强 为12，则140=101g。平，120=101g10,所以，白 10,1=1,从而号=10.所以n的值约为10， [答案]B (2)[解析]由题意可知10%=ma“ (20%=ma10, 所以a”=2即a=20,m=20由题意可知当tK10时， 失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则 有哥。≤15%甲语（ey≤15%所以(2y≤号拒。 所以高≤6g:是+10g拒，解得1≤28. [答案]ABC 跟踪训练 107 C[依题意，当1=101W/m时，L,=10lg10 10lg10=50:当1=2×10w/m2时，L,=10lg2X10” 10-12 10lg(2×103)=10(g2+3)=30十10g230+10lg10=40: 当15X10Wm时山，=10g0”-10k5x10) =10(g5十2)=20+10lg5<20+10lg10=30:当I=