第2章 2.8 函数的图象（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.8 ★[考试要求] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列 数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题， 复盘必备知识 必备知识掌握 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 确定函数的定义域并化简函数的解析式 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性 对称性) 列 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊 表 点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最 (极)值点、对称点等 描 画出直角坐标系，准确描出表中所表示的 点 各个点 用光滑的曲线依次连接所描的各个点，得 线 图象 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 y=f(x)+k 上k(k>0) 移个单位长度 左移 右移 y=f(x+a) a(a>0) f a(a>0) y=f(x-a) 个单位长度下kk>O)个单位长度 移个单位长度 y=f(x)-k (2)伸缩变换 。>1,横坐标缩短为原来的。，纵坐标不变 ①y=fx) 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，纵坐标不变 y=f(ax). a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 ②y=f(.x) 0a1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 y=af(x). (3)对称变换 ①y=f(x)关于x轴对称 y=-f(x). ②y=f(x)关于y轴对称 y=f(-x). ③y=f(x)关于原点对称 y=-f(-x), ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y=loga( >0且a≠1) (4)翻折变换 保留x轴上方图象 ①y=f(x)将2轴下方图象翻折上去y=f)山， ②y=f(x) 保留y轴右边图象，并作其 关于y轴对称的图象 y=f(lx). 函数的图象 表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函 学生用书P38 打通教材逐点夯实 知识拓展用活 1.函数图象自身的轴对称 (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于y轴 对称。 (2)函数y=f(.x)的图象关于x=a对称台f(a十x) =f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a十x). (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x) =fb-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x 空对称 2.函数图象自身的中心对称 (1)f(-x)=-f(.x)台函数y=f(x)的图象关于原 点对称， (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称台f(a+x) =-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x) =-f(2a+x). (3)函数y=f(.x)的图象关于点(a,b)成中心对称台 f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b-f(2a-x). 3.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(a十x)与y=f(b一x)的图象关于直线 会对称（由a十=b一x得对称轴方程》。 (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a对称. (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点 (0,b)对称. (4)函数y=f(.x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 (a,b)对称. 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或 “X”) (1)函数y=|f(x)为偶函数. (X) (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=f(一x)的图象 向左平移1个单位长度得到. (×) (3)当x∈(0，十o∞)时，函数y=|f(x)|与y=f(x)的 图象相同. (X) (4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y =f(x)与y=f(一x)的图象关于y轴对称. (X) 50 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞 停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与 以上事件吻合得最好的图象是 ( 个距学校的距离 个距学校的距离 时同 时间 B 个距学校的距离 个距学校的距离 时间 0 时间 C 0 解析：C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先 是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不 变，后段加速，后段比前段下降的快，故应选C.门] 跃升>关键能力 题型1 作函数的图象 [例1]作出下列各函数的图象： 1)y=2x-1」 x1; (2)y=|x2-4x-5|; (3)y= )-1 (2 -1. [解](1)原函数解析式可化 y 3 为y=2十一，故函数图象可 由函数y= 1的图象向右平移 -10 123 -1 1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如 图所示 (2)y=|x2-4x-5|的图象可由 函数y=x2一4x一5的图象保留 x轴上方的部分不变，将x轴下 方的部分翻折到x轴上方得到， 如图所示 -102 (3)y= 一1，其图象可看作由函数y= ) 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度得到， ,x≥0 2,x<0, ·5 第二章函数 3.已知图甲中的图象对应的函数y=f(x),则图乙中 的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是 A.y=f(x) B.y=|f(.x) C.y=f(-x|) D.y=-f(|x) 解析：C[B项中y>0,D项中当x>0时，开口向下， BD排除，A项中，x<0时，开口向下，可排除A项.门 4.函数y=f(x)的图象与y=e的图象关于y轴对 称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后 得到函数y=g(x)的图象，则g(x)= 解析：f(x)=e,则g(x)=e(xD=ex+1」 答案：ex+l 生用书P39 核心考点分类突破 其图象可由y= 的图象保留 x≥0时的图象，然后将该部分关 于y轴对称得到， () 一1的图象如图所示. 规律方法 函数图象的画法 当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基 直接法◆ 本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的 关键点直接作出图象 转化法◆ 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转 化为分段函数来画图象 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 图象 翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注 变换法 ◆ 意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的 要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位 及解析式的影响 跟踪训练 分别作出下列函数的图象. (1)y=-2x+1+1: (2)y=|x-2|(x+1); (3)y=|1og2(x+1). 解：(1)设m(x)=y =-2x+1+x m(x) x,x<0, -x十2,0<x≤1，其图 0 x,x>1, 象如图. 高考总复习数学 (2)当x≥2，即x-2≥0时， y=(x-2)(.x+1)=x2-x -1 2,即x-2<0时，y=-(x 2 2)(.x+1)=-x2+x+2= -+ 。y 这是分段函数，每 ,9 Γ4≤2. 段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）. (3)设t(x)=y=log2(x十x=-1 1)川，则其图象可由y (x) =log2x的图象向左平移1 个单位，再保留x轴上方部 分不变，将x轴下方部分翻 折到x轴上方得到，如图. 题型2 函数图象的辨识 [例2](1)(2025·天津卷)已 知函数y=f(x)的图象如图，则 f(x)的解析式可能为() A.f(x)=1-x可 B.f(r)-z C.f(a)= ll 1-x2 D.f(a)=l x2-1 [解析]本题考查了函数的图象，考查函数的性 质，奇偶性，对称性，由图象可知，图象关于y轴对 称.A中f)=1-fa=一=-f(-x) (x≠士1)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 A:B中，f(-x)=-x=x=fx) (x≠士1)为奇函数，故排除B;C中，f(-x)= 1-()=f()为偶函数，当x=2时， -xx f2)=1-4 2 一兰<0，故排除C [答案]D (2)已知函数f(x)的部分图象 如图所示，则f(x)的解析式可 能为 A.f(x)=xcos[π(x+1)] B.f(x)=(x-1)cosπx C.f(x)=(x-1)sin xa D.f(x)=x3-2x2+x-1 [解析]对于A选项，f(0)=0,A选项错误；对于 C选项，f(0)=0,C选项错误；对于D选项， f'(x)=3.x2-4x十1，f(x)=0有两个不等的实 根，故f(x)有两个极值点，D选项错误；对于B选 项，f(x)=(x-1)cos元x,f(0)<0;当x∈ (-2,2)∈Z时，0s元x>0,x-1<0,此时 fx)<0,当x∈(lk∈Z时，cos<0,-l <0,此时f)>0,当x∈(1，)k∈7时，c0sx <0,x-1>0,此时f(x)<0,依次类推可知f(x) 函数值有正有负：显然f(x)不单调：因为当x=号 十k,k∈Z时f(x)=0,所以f(x)有多个零点；因为 f(2)=1,f(-2)=-3,所以f(2)≠f(-2),f(2) ≠一f(一2)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函 数，以上均符合，故B正确. [答案]B 规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决 问题. 跟踪训练 1.函数f(x)=血lx:os的图象大致为 ( 解析：A[由函数f(x)=lnx·cos工可得函数 的定义域为{xx≠0}， 由f(-x)=n-x·cos(-x)=-lnlx·cosz =一f(x)可知函数f(x)为奇函数， 其图象关于坐标原，点对称，故舍去B,D两项； 又由f2)=n2·cos2<0可得C项不合题意，故 2 A项正确.] 2.已知函数f(x)的部分图象如 图所示，则它的解析式可能是 6 ) 4 A.f(x)=-e" -5 sin x -2 B.f(x)=_e' cos x C.f(x)=e'cosx D.f(x)=e'sin x 解析：D[由图象可知，函数f(x)的定义域为R A项，f(x)=。,函数f(x)的定义战为{xx≠ sin x kπ，∈Z},所以A不符合题意； e B项，f(x)=cos画数f(x)的定义找为 {红≠登+x,k∈Z},所以B不符合题意： C项，当0<x<π时，f(x)=e·cosx,则f'(x) =e·cosx-er·sinx=e(cosx-sinx),当0< x<牙时，f(x)>0,当于<<x时，f()<0.所 4 以f)在(0上道增，在（任x)上造减.所以 f开)是画敏的极大值，站合图形，()不是极大 值，故C不符合题意； D项，当0<x<π时，f(x)=e·sinx,则f(x) =e·cosx十e·sinx=e(cosx+sinx),当0< r<3时f(x)>0,当37<x<x时了(x)<0,所 以f)在(0.)上递地，在（得让道成，站合 图形，D符合题意.] 第二章函数 题型3 函数图象的应用 [角度1]研究函数的性质 [例3一1][多选]设函数f(x)是定义在R上的偶 函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1), 已知当x∈[0,1]时，f(x) ,则下列结论 正确的是 A.2是函数f(x)的周期 B.函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调 递增 C.函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D.当x∈(3,4)时，f(x) () [解析]由已知条件得 f(x十2)=f(x),则y =f(x)是以2为周期的周 期函数，A正确；当一1≤x≤0时，0≤一x≤1，f(x) ,画出函数y=f(x)的部分图 象如图所示.由图知B正确，C不正确；当3<x<4 时，-4<-x<-3,0<4-x<1,f(x)=f(x-4) =f(4-x)= ,因此D正确」 [答案]ABD [角度2]图象在不等式中的应用 [例3一2]设奇函数f(x)在(0，十∞)上为增函数， 且f(1)=0,则不等式fx)-f-)<0的解集为 A.(-1,0)U(1,+∞) B.(-o∞，-1)U(0,1) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-1,0)U(0,1) [解析]f(x)为奇函数， y f)-f-)<0台f)<0台 -1071 xf(x)<0,由题意可知f(x)的 大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为 (-1,0)U(0,1). [答案]D [延伸探究]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数 f(x)”,不等式f)+f-<0的解集为 高考总复习数学 [解析] 作函数f(x)的图象如图所示： 2 [答案](-∞，-1)U(0,1) [角度3]求参数的取值范围 [例3一3]已知函数f(x)= (logx(0<x<2), 若关于x的方程f(x)=kx -x2+8x-15(x≥2)， 一2有三个互不相等的实根，则实数k的取值范 围是 ) A,》 (合-2+8 C.(-213+8,1)》 n(2 [解析]作出函数f(x)的图象如图所示， -3-2-1,0i2 -31 直线y=kx一2恒过点(0，一2)，当y=kx-2过点 （②。-1》时，解得=子此时直线y=红一2与 f(x)有两个交点，故关于x的方程f(x)=k,x一2 有两个互不相等的实根；将y=k.x一2代入y=一x2十 8x-15得x2十(k一8)x十13=0，当x≥2时，直线与抛 物线只有一个交点，则△=(k一8)2-52=0，解得k=8 -2√13或k=8+2√13.当k=8十2√13时，解得x =一√13，不满足x≥2，应舍去，即k=8-2√13.所以 实数k的取值范围是 ,-2+8. 1 [答案]B 规律方法 利用函数图象所解题型 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函 数，其性质[单调性、奇偶性、周期性、最值（值 域)、零点]常借助于图象研究，但一定要注意性 质与图象特征的对应关系. (2)利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来 研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x) 图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的 根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标， 5 (3)利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有 关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、 下关系问题，从而利用数形结合求解， 跟踪训练 1.[多选]对任意两个实数a,b,定义min{a,b》 =a≤：若fr)=2-,g(x)=,下列关于 b,a>b, 函数F(x)=min{f(.x),g(.x)}的说法正确的是() A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个解 C.函数F(x)在区间[-1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 解析：ABD[根据函数 f(x)=2-x2与g(x) =x2,画出函数F(x)= min{f(x),g(x)}的图象，如 -27-10 图.由图象可知，函数F(x)= min{f(x),g(x)}关于y轴对 称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交 点，所以方程F(x)=0有三个解，所以B项正确； 函数F(x)在(-∞，-1]上单调递增，在[-1,0]上 单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，十∞)上单调 递减，所以C项错误，D项正确.] 2.(2024·北京卷)已知M={(x,y)|y=x十t(.x2 x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点 集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表 示的图形的面积，则 ( A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=√/10，S<1 D.d=√10，S>1 解析：C.1≤x≤2，.x2-x∈[0， 2],∴y=x十(x2-x)t,0≤t≤1可看 作关于t的一次函数，则y关于t单 调递增或y是关于t的常数函数. 又y=tx2+(1-t)x,1≤x≤2，. 函数y=tx2+(1一t)x图象的对称 0 12 轴为直线x=合一壹0y关于x的函就在[1,2] 上单调递增，又t,x均为非负数. .当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两 点间的距离为最大值即d取最大值，即M中，点(1， 1)和(2,4)间的距离最大，得d=√10. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积 减去小正方形及两个梯形的面积，可得S<1.门