第2章 2.6 指数与指数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.6指数与指数函数 ★[考试要求] 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实 际意义，会画指数函数的图象.3理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用 复盘>必备知识 学生用书P32 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.根式 (1)如果x”=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1, 1.指数函数的图象恒过点(0,1,1a),(-1·日 且n∈N*. 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开 2.函数y=a与y (a>0,且a≠1)的图象关 a 方数 于y轴对称. (3)(a)”=a. 3.底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升 当n为奇数时，a=a; 降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”； 当0<a<1时，指数函数的图象“下降”. 当n为偶数时，a=|a 1a,a≥0， -a,a<0. 自主诊断查验 2.分数指数幂 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或 正数的正分数指数幂，a”=Wam(a>0,m,n∈ “X”) N,n>1). (1)函数y=一a是指数函数 (×) 正数的负分数指数幂，a号=1 1 (2)指数函数y=a与y=a(a>0,且a≠1)的图象 aa (a>0,m, 关于y轴对称. (W) n∈N*,n>1). (3)若am<a"(a>0,且a≠1)，则m<n. (×) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有 (4)函数y=a+2(a>0,且a≠1)过定点(0,2).(×) 意义 2.化简[(-2)门-（-1)°的结果为 ( 3.指数幂的运算性质 A.-9 B.7 C.-10 D.9 a'a'=a+;(a)'=a;(ab)'=ab'(a>0,b>0,r,s 解析：B[(-2)]-(-1)°=(2)-1=7.] ∈R). 3.设函数f(x)=alx(a>0,且a≠1)，f(2)=4,则 4.指数函数及其性质 () (1)概念：函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数， A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) 其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是 C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2) 底数 (2)指数函数的图象与性质 解析：A[由a=4a>0,得a=之 a>1 0<a<1 f)=() =2. =㎡ Y=a"\ y 又|-2>|-1川，2-2>2-1， 图象 (0,1) --y=1 0.2y=1 即f(-2)>f(-1).] o1 x o i 4.若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象经过点 定义域 P(2,)则f-1) 值域 (0,十∞) 过定点(0,1)，即x=0时y=1 解析：由题意知-,所以a- 2 当x>0时，y>1: 当x<0时，y>1； 性质 当x<0时，0≤y≤1 当x>0时，0<y≤1 所以f)-（所以-1D-（=E 在（一∞，十∞）上是增函数在（一∞，十∞）上是减函数 答案：w√2 ·42· 第二章函数 跃升>关健能力 学生用书P33 核心考点分类突破 题型1 指数幂的运算 跟踪训练 [例1] [多选]下列运算正确的是 [多选]下列计算正确的是 A.(0.25)2+(π)°-21=0 A.-3)=-3 +(0.08)×六+(g-1D &(a)(-a)(3a8）=-9aa>0.6>0 C.√5=5 9 D.已知x2+x2=2,则x十x1=2 C.(2a.万)(-6a.b)÷(-3a.万)=1 解析：BC[对于A,1(-3)=3=3立=3=3 业若+：=6则g ≠一3，所以A错误； [解析]对于A,(0.25)十（厥）°-21=0.5+1 对于B.(a)(-3a)÷(合a) 2=1,A错误 =-9a+吉·b+片音=-9a(a>0,b>0),所以 对于（图）-（得）“+@o0)×若+ B正确； 对于C√丽=√9时=9=3时=，所以C正确； 对于D,因为(x十x1)2=x2+2+x2=4, 25×+1=号 所以x十x1=土2，D错误.门 题型2 指数函数的图象及应用 对于C,原式=(2a音b)(-6ab宁)÷(-3a6) [2X(-6)÷(-3)]a+÷.b+片号=4ab=4a,C [例2](1)[多选]下列选项正确的是 错误； A.函数f(x)=(2a2-3a十2)·a是指数函数，则 对于D,当x立十x安=√6时，(x立十x)2=x十2 a= 十x1=6,得x十x1=4, B.函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)的值域为R 由(x十x1)2=x2+2+x2=16,得x2+x2=14, C.函数f(x)=a+1的图象可以由f(x)=a”向右 所以法品2远城 平移一个单位得到 [答案]BD D.函数y=a2+-1恒过定点(-20】 规律方法 [解析]对于A,2a2-3a+2=1且a>0,a≠1， 指数幂运算的一般原则 Q=日A正确： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 运算. 对于B,不论0<a<1,还是a>1,值域都为(0，+∞)， (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. B错误； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成 对于C,f(x)=a向左平移一个单位得到f(x) 分数，底数是带分数，先化成假分数， a+1,C错误； (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 对于D,令2x十3=0，则x=一 ,y=0,所以函数 3 式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不 y=a23-1恒过定点（-0小故D正确。 能既有分母又含有负指数，形式力求统二： [答案]AD ·43· 高考总复习数学 (2)若直线y=2a与函数y=|a-1(a>0且a≠1) 解析：A[由y=9”=32,根据平移法则即可 的图象有两个公共点，则a的取值范围是 解出 [解析]①当0<a<1时，y=|a-1的图象如图 因为y=9=32,所以将函数y=3”的图象上所有 1.因为y=2a与y=|a-1|的图象有两个交点， 所以0<2a<1,所以0<a<之 1 点的横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变，即可得 到函数y=9”的图象，故选：A.] ②当a>1时，y=|a-1|的图象如图2，而此时直 线y=2a不可能与y=|a-1|的图象有两个交 题型3〔 指数函数的性质及应用 点，综上a的取值范国是0<a<号 [角度1]比较指数式的大小 [例3一1]下列大小关系不正确的是 A.(-2.5)>(-2.5) B() <(0.4) 图1 图2 c()<() D.2.51.6>202 答案] 〔o,2) [解析]A选项，(-2.5)=(2.5)，(-2.5)音 规律方法 (2.5).周为2.5>1，号>号，又周为指数通数y= 与指数函数有关的图象问题的求解方法 2.5在R上单调递增，所以(2.5)>(2.5)，即 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点， (-2.5)>(-2.5)音，故A正确；B选项，(0.4) 判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则 排除。 -()，周为0<号<1，->-：又周为指 (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最 数函数y=()在取上单道减，所以（号》 基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、 对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小 (0.4),故B正确：C选项，因为 关系不确定时应注意分类讨论， 跟踪训练 ()<1,所以（）>()，c错送：D 选项，因为2.51.6>1,20.2<1，所以2.56>2.2 1.[多选]已知实数a,b满足等式2026=2027，则 下列关系式成立的是 故D正确. A.0<b<a B.a<<0 [答案]C C.0<a<b D.a=b ●[角度2]解简单的指数方程或不等式 解析：ABD[如图，观察易知 236 [例3-2](1)若x满足不等式2+1≤ ,则 a,b的关系为a<b<0或0<b b <a或a=b=0.] 函数y=2的值域是 2.(2025·北京卷)为得到函数 A[哈习 B哈2] y=9的图象，只需把函数y=3的图象上的所 D.[2,+o∞) 有点 c( A.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 [解析] 将2+≤(》 化为x2+1≤-2(x B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 2),即x2十2x-3≤0，解得x∈[-3,1]，所以23≤ C.纵坐标变成原来的号倍，横坐标不变 2≤2，所以画数y=2的值找是[g,2] D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 [答案]B ·44· 第二章函数 4,x≥0， 跟踪训练 (2)已知实数a≠1，函数f(.x)= 若 2a,x<0, 1.设函数f(x)=2x在区间(0,1)上单调递减，则 f(1-a)=f(a-1),则a的值为 a的取值范围是 [解析]①当a<1时，由f(1-a)=f(a-1)得 A.(-∞，-2] B.[-2,0) 41-a=2-a-1》,即22a=2,所以2-2a=1,解得 C.(0,2] D.[2,+o∞) a=:@当a>1时，由f0-a)=fa-1)得4 解析：D[由题意易得，号≥1，所以a的取值范围是 =24-1-a),即22a2=22a-1,所以2a-2=2a-1,无 [2,+o∞).] 解.综上可知，a=2 2.[多选]已知函数f(x)=2-1 2 十a(a∈R),则 [答案】号 [角度3]指数函数性质的综合应用 A.f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞) [例3一3]已知函数f(x)、奇函数g(x)和偶函数 B.f(x)的值域为R h(x)的定义域均为R,且满足f(x)=g(x)一h(x),若 C.当a=1时，f(x)为奇函数 函数f(x)=a(a>0,且a≠1). D.当a-2时，f(-x)+f(x)-2 (1)求g(x)的解析式； 解标：ACD[对于西量r)=2名aaER, (2)求h(x)在R上的最大值. 令2-1≠0，解得x≠0， [解](1)由f(x)=g(x)-h(x)可知f(-x) =g(-x)一h(一x),由g(x)为奇函数，h(x)为偶 所以f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，故A 函数，可知g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x), 正确； 则f(-x)=-g(x)-h(x), 国为2>0，当2-1>0时22>0，所以22 则g(x)=f)-f(-x_a-ar 2 2 +a>a, (2)由(1)得hx)=-f)+f-x-a+a 2 2 当-1<2-1<0时名-2，所以g2十a 当4>0，且4≠1时，a>0,则a十4=4十1≥ <-2+a, 综上可得f(.x)的值域为(-o∞，一2十a)U(a,+o∞)， la'.I 2,当且仅当a=1,即x=0时取等号， 故B错误； 故A(=一。士a二在R上的最大值为-1 当a1时，2名1-岩湖水-= 2 规律方法 2+1=-2+1-f(x, 2x-12-1 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等 所以1=2名十1为寺函数，故C正确： 式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借 助中间量. 当a=时a)产t1 -2-1 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复 合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题 则f-x)十f)=名+1+1+++1=2，故 2x-1 2x-1 时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断， D正确.] ·45·