第2章 2.7 对数与对数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.7对数与对数函数 ★[考试要求] 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数 函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=α”与对数函数y= logx(a>0,且a≠1)互为反函数. 复盘>必备知识 学生用书P35 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 3.反函数 1.对数 指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数 y=loga(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象 如果a=N(a>0,且a≠1)，那么x叫做 关于直线y=x对称， 以a为底数N的对数，记作x=logN,其 概念 知识拓展用活 中a叫做对数的底数，N叫做真数，log.V 叫做对数式 1.log tog -1,log 对数式与指数式的互化：a=N台x=log.N 2.如图给出4个对数函数的图象 性质 (a>0,且a≠1) y=log x y 一y=log 1og1=0,loga=1,ag,N=N(a>0,且a≠1) -y=1 y=logx log,(MN)=log M+l0g N y=logax 运算 M a>0,且a≠1， 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限，不同的对数 法则 loga N =log.M-log,N M>0,N>0 函数图象从左到右底数逐渐增大。 logM"=nlog M(n∈R) 3.对数函数y=log.x(a>0且a≠1)的图象恒过点 换底 logb (1,0),(a,1) log,b= (a>0,且a≠1，c>0,且c≠1，b>0) 日- 公式 loga 自主诊断查验 [注意] 在运算性质logM=nlog M中，要特别注 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 意条件，在无M>0的条件下应为logM"=nloge|M “X”) (n∈N*,且n为偶数). (1)若MN>0,则1og.(MN)=logM+1ogN. (×) 2.对数函数的图象与性质 (2)对数函数y=logx(a>0,且a≠1)在(0，十o∞)上 a>1 0<a<1 是增函数 (×) y↑x=1 r=l y=logx (3)函数y=1g吉与函数y=1og.1+） 图 (1,0) 1og.(1-x)是同一个函数， (×) 象 y=log x 4)函数y=1ogx与y=1og4的图象重合. (√) 定义域：(0，十∞) 2.已知a>0,a≠1，函数y=a与y=log.（-x)的图 象可能是 值域：R 性 过定点(1,0) 质 当x>1时，y>0; 当x>1时，y<0; 部 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 解析：B[若a>l,则y=a是增函数，y=logm(一x) 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 是减函数；若0<a<1,则y=a是减函数，y [注意]y=log.x(a>0且a≠1)的图象只在第一、 =log。(-x)是增函数，排除A,C,D.由于y=log。 四象限.在直线x=0的右侧. (一x)只能在y轴左侧，B正确.] ·46· 第二章函数 3.计算：(1og29)·(1og34)= 4.若对数函数f(x)的图象经过点(4,2)，则它的反函 解折：9)·0)=员程×资号-资2× 数g(x)的解析式为 解析：设f(x)=1ogx,函数过(4,2)，即f(4)= 2g2=4. log。4=2,即a=2,f(x)=-log2x, 1g 3 它的反函数g(x)的解析式为g(x)-2. 答案：4 答案：g(x)=2 跃升>关键能力 学生用书P36 核心考点分类突破 题型1〔 对数式的运算 跟踪训练 [例1] (1)[多选]下列等式成立的是 1.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描 A.1g2+g5=lg8-1 1g50-lg40 述，网顺挂的兰等与充度满足%一州一受后英中 B.g4+1g5--=2 星等为ms的星的亮度为E(k=1,2).已知太阳的 21g0.5+lg8 星等是一26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与 C.k 1-glg 7-lg 18-0 天狼星的亮度的比值为 ( D.(1g2)2+1g2·lg5+lg5=2 A.101o.1 B.10.1 10 [解析] 1g 2+1g 5-1g 8 1g 50-1g 40 1g8-=1,A成立9 C.lg10.1 D.10-1o.1 50 1g 40 解析：A[由题意知，m1=一26.7，m2=-1.45,代 1g4+lg5-1 1g20-1 21g0.5+lg8- 1g0.25+1g8 1+1g2-1=1,B E 入所给公式得-1.45-（一26.7）=受1g会所以 1g2 不成立； =10.1,所以5=101. lg E2 g14-21g7+ig7-g18=g7+1g2)-(2g7 2.[多选]已知a,b均为正实数，若1og.b十loga=2: -21g3)+lg7-(21g3+lg2)=0,C成立： (1g2)2+lg2·1g5+1g5=1g2(1g2+1g5)+1g5 a=,则分 =lg2+1g5=1,D不成立. [答案]AC A号 号 (2)已知1.8=3，y=1og23,则1-1 x y C.√2 D.2 [解析]由题意：x=log3, 1 x-10g1.83 =log1.8, 解析：AD[令t=logb,则1+上=5 y t2' =1og,0.2∴-↓=log1.8-log0.2=log0.2 ,1.8 .2t2-5t+2=0, xy 即(2t-1)(t-2)=0, =log9=2. [答案]2 1=号或=2. 规律方法 logb=号或1ogb=2, 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， .a=b2或a2=b, 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 又ab=b, 利用对数运算性质化简合并. .2b=b2=a或a2=2a=b, (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 .b=2,a=4或a=2,b=4. 算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数 真数的积、商、幂的运算. ·47· 高考总复习数学 题型2 对数函数的图象及应用 解析：D[因为0<a<1,函数g(x)=log。(x|-1) [例2](1)儿多选]已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx, 满足x-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x) 若f(m)=g(n),则下列结论可能成立的为( =log。(|x|-1)的定义域为(-∞，-1)U A.m=n B.n<m<1 (1,十∞)，排除A,B,又由g(-x)=l1og(-x-1) C.m<1<n D.1<m<n =log。（|x-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数，所 [解析]根据题意在同一 y个 以函数g(x)的图象关于y轴对称的偶函数，当x>1 y=f(x) 直角坐标系中画出f(x) y=g(x) 时，函数g(x)=l1og(x一1)单调递减，排除C.] lnx与g(x)=lgx的图 2.设x1,x2,.x3均为实数，且e=lnx1,e=ln(x2 象，如图所示， 当x=1时，此时f(x)= +1),e=lgx3,则 ( g(x),即f(m)-g(n),故m=n=1,故A正确； A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 当0<x<1时，此时f(x)=g(x),即f(m)= C.I<3< D.x2<x1<x3 g(n),故n<m<1,故B正确； 当x>1时，此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故 解析：D[画出函数y ,y=In z, 1<m<n,故D正确. y=ln(x+1),y=lgx的图象，如图所示. [答案]ABD (2)若方程华=ogx在〔0，]上有解，则实数a y=In(x+1) y=Inx 的取值范围为 y=lg x [解析] 若方程4=1og。x在 =4 (0,]上有解，则函数y=布函 数形结合，知x2<x1<x3·] 数y=o在(0，号]上有交点， 题型3 对数函数的性质及应用 0<a<1, 由图象知 部得Ca号 [角度1]比较大小 [例3-1]设a=log20.7,b-log0.6,c=log0.30.2, [答案] 则 ( A.a<b<c B.b<a<c 规律方法 C.c<a<b 对数函数图象的识别及应用方法 D.c<b<a (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性 [解析]a=log0.7<0,b=log0.6<0,c=loga30.2 质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最 高点、最低点等)排除不符合要求的选项 5∠1og0.6, (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 所以a<b,则a<b<c. 函数图象问题，利用数形结合法求解， [答案]A !跟踪训练 [角度2]解对数方程、不等式 1.若0<a<1,则函数y=log。(|x|一1)的图象可能 [例3-2]已知对数函数y=logx(a>0,a≠1)，且 是 ) og()1g.()则关于x的不等式1og,(2x 3)>0的解集为 [解析][因为log。 <log。 3 ,当0<a<1时， a 有>，无解：当>1时，则有<，解得： a a a>l,所以a>1,则对数函数y=logx(a>0,a≠1) 在(0，十∞)上单调递增，又关于x的不等式 ·48· 第二章函数 log(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得：x>2,所以关 规律方法 于x的不等式10g(2x-3)>0的解集为(2，十∞).] (1)比较对数值的大小的方法 答案(2，十∞) ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调 [角度3]对数函数性质的综合应用 性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底 (logzx,x>0, 数进行分类讨论； [例3-3]设函数f(x)= 若 (log5(-x),x<0. ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式 f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ( 化为同底后，再进行比较； A.(-1,0)U(0,1) ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间 B.(-∞，-1)U(1,+∞) 量进行比较. C.(-1,0)U(1,+∞) (2)解对数不等式的类型及方法 D.(-o∞，-1)U(0,1) ①形如log。x>logb的不等式，借助y=logx的 单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 [解析] 由题意得>0， logza>-log2a <a<1两种情况讨论； 或/0， ②形如log。x>b的不等式，需先将b化为以a \-log2(-a)>log2(-a), 为底的对数式的形式再进行求解. 解得a>1或-1<a<0. (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的 [答案]C 步骤 [角度4]利用对数函数单调性求参数的取值 一求 求出函数的定义域 范围 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1 两种情况 [例3-4]已知函数f(x)=log(x2-ax-a)对任 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函 意两个不相等的实数x,∈ -,-)都满足不 数“同增异减”的原则判断函数的单调性 等式f】二>0，则实数4的取值范围为 跟踪训练 x2一x1 1.(2025·全国一卷)己知2+log2x=3十log3y=5十 1og之，则x,y,之的大小关系不可能是 ( [解析] 由于f(x)满足：对任意两个不相等的实 A.I>yx B.>>y 数xz∈(-0，)部满足不等式 C.y>a>z D.y>> 解析：B[设2十1og2x=3十log3y=5十log5之=t, ua>0,所以fc在区同(-，) 则x=22,y=33,之=55，取t=0,易知x>y> x2一x1 之，排除A;取t=5,易知y>x>之，排除C;取t=8, 单调递增. 易知y>z>x,排除D;故选B.门 y=log号x在(0，十∞)上单调递减； 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x十a)ln(x十 g(x)=x2-ax-a的开口向上，对称轴为x=g b).若f(x)≥0.则a2+b2的最小值为 ( 1 2 A日 c D.1 所以 解析：C[当x<-a时x十a<0,当x>一a时x +a>0,当x<1-b时ln(x+b)<0, 解得-l<a<号， 当x>1-b时ln(x十b)>0,所以要f(x)恒非负， 必须-a=1-b,即b-a=1, 所以a的取位范图是【一1，] 所以e+6-a=a》≥名 2 [答案] 【-1别 当且仅当a=一2：6=号时取等号.] ·49·