第2章 2.5 二次函数与幂函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.5二次函数与幂函数 ★[考试要求] 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 复盘，必备知识 学生用书P29 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.幂函数 1.巧识幂函数y=x的图象和性质 (1)幂函数的定义 在直线x=1右侧，幂函数 一般地，函数y=x。叫做幂函数，其中x是自变 的指数由下向上逐渐增大 量，a为常数. 当aα>0时，函数在第一象 限内单调递增 (2)常见的五种幂函数的图象 当a<0时，函数在第一象 31V=12 V=x 限内单调递减 图象恒过点(1,1) 2.一元二次不等式恒成立的条件 -2-1 (1)“a.x2十b.x十c>0(a≠0)恒成立”的充要条件 1012 是“a>0且△<0”. (2)“ax2十bx十c<0(a≠0)恒成立”的充要条件 是“a<0且△<0”. (3)幂函数的性质 自主诊断查验 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） 在(0，十∞)上单调递增； 1)晒数y=x是系两数 (X) ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在 (2)若幂函数y=x是偶函数，则a为偶数. (×) (0,十∞)上单调递减； (3)二次函数y=ax2十bx十c的图象恒在x轴下方， ④当a为奇数时，y=x为奇函数；当a为偶数时， 则a<0且△<0. (/) y=x为偶函数， (4)若二次函数y=ax2+b.x十c的两个零点确定，则 2.二次函数 二次函数的解析式确定， (×) (1)二次函数解析式的三种形式 2.已知幂函数f(x)=k·x的图象过点 12,则 般式：f(x)=a.x2+bx十c(a≠0). 2’2 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为 k十a等于 （m,n). B.1 D.2 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1,x2 A.2 C.2 为f(x)的零点， k=1, (2)二次函数的图象和性质 解析：C[由幂函数的定义，知 -() (2 函数 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c (a>0) (a<0) 所以k=1,a= 1,所以k十a= 图象 3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是( (抛物 线) 70 A.[0,1] 【台刂 定义域 R C.1,2] D【-g2] 值域 「4ac-b Aa ,+∞） Aa 解析：D 对称轴 x=-2a f0)=2--1-2(--0 因为-1≤x≤1，所以f(x)在[-1，]上单调递 顶点 b Aac-b2 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当≠0时是非奇非偶函数 减，在（保]上单调递增。 又f(1)=2-1-1=0,f(-1)=2+1-1=2, 在(-∞，-2a 上单调递诚； 在（∞，】 上单调递增 故f(x)=2x2-x-1在-1≤x≤1上的值域 单调性 在 上单调递增 在[一云+）上单避 为[-号2小门 ·38· 第二章函数 4.已知函数f(x)=x2十2ax十3，若y=f(x)在区间 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是 [一4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 x=一a,所以要使f(x)在[一4,6]上是单调函数， 应有-a≤-4或-a≥6，即a≤-6或a≥4. 答案：(-∞，-6]U[4,+∞) 跃升>关键能力 学生用书P30 核心考点分类突破 题型1 幂函数的图象与性质 规律方法 [例1](1)下列命题中正确的是 幂函数的性质与图象特征的关系 A.当m=0时，函数y=xm的图象是一条直线 (1)幂函数的形式是y=x(a∈R),其中只有一个 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. C,幂函数y=xm图象不可能在第四象限内 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越 D.若幂函数y=xm为奇函数，则y=xm是定义域 靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间(1，十©∞) 内的严格增函数 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. [解析]对A,当m=0时，函数y=x”的图象是 (3)当a>0时，暴函数y=x在(0，十o∞)上单调递 一条直线除去点(0,1)，所以A项不正确； 增，当a<0时，幂函数y=x”在(0，十o∞)上单 对B,幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0， 调递减. 0),所以B项不正确； 跟踪训练 对C,暴函数y=xm的图象不可能在第四象限内， 所以C项正确； 1.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32)，若f(a+1) 对D,当m=一1时，幂函数y=xm为奇函数，但在 十f(-1)>0,则a的取值范围为 定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； A.(2,十∞) B.(1,+o∞) [答案]C C.(0,+∞) D.(-1,+o∞) (2)若四个幂函数y=x,y 解析：C[设幂函数y=f(x)=x,其图象过，点(2， x,y=x,y=x4,在同一平面直 32),所以2=32，解得a=5,所以f(x)=x5. 角坐标系中的图象如图所示，则 因为f(-x）=(-x)5=-f(x),所以f(x)=x a,b,c,d的大小关系是()0 为奇函数，且在R上单调递增， A.d>c>b>a B.a>b>c>d 所以f(a+1)+f(-1)>0可化为f(a十1)> C.d>c>a>b D.a>b>d>c -f(-1)=f1), [解析]由幂函数的图象可知在区间(0,1)上幂函数 可得a十1>1，解得a>0,所以a的取值范围 的指数越大，函数图象越接近x轴，在区间(1，十∞)上 为(0，+∞).] 幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴，由题图 2.[多选]已知f(x)=x(a∈R),则下列说法正确 知a>b>c>d. 的是 [答案]B A.当a=-1时，f(x)的值域为R (3)已知幂函数f(x)=x满足2f(2)=f(16), B.当a=3时，f(π)>f(3) 若a=f(1og12),b=f(ln2),c=f(5),则a,b,c 1 的大小关系是 ( C.当a=2时，f(x)是偶函数 A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a D.当a=时，广产()是奇函数 [解析]幂函数f(x)=x中，2f(2)=f(16), 所以2X2=16,即2+1=21a,所以a十1=4a,解得 解析：BC[当a=-1时，fx)=是，此时f(x)的 a=子，所以f(x)=,所以f(x)是定义城为R的 值域为{yy≠0}，故A错误， 当a=3时，f(x)=x3在R上单调递增，所以f(π) 单调增函数，又a=flog2),b=f(ln2), >f(3),B正确， c=f6).且1og,2=3ln2>h6=5 当a=号时，Vx∈R,f(x)=f(-x)=f(x). 店<号，所以51og42<1n2,即f(5专)3 所以f(x2)是偶函数，C正确， f(log,2)<f(ln2),所以b>a>c. 当&=2时f)=x,(x≥0)，则f(x)=x,(x≥0)， [答案]C 定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误.] ·39· 高考总复习数学 题型2 二次函数的解析式 跟踪训练 [例2]已知二次函数f(.x)满足f(2)=-1,f(-1) 1.幂函数y=xm一"(m∈Z)的图象 =一1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的 如图所示，则m的值为( 解析式. A.0 B.1 [解析] 法一：（利用一般式） C.2 D.3 设f(x)=a.x2+b.x+c(a≠0). 解析：C[:y=x”-m(m∈Z)的图象与坐标轴没 〔4a+2b+c=-1, a=-4, 有交点， 由题意得 a-b+c=-1, 解得{b=4, .m2-4m<0,即0<m<4, Aac-b2 =8, c=7. 又m∈Z,.m=1或2或3. Aa 又，函数的图象关于y轴对称， 所以所求二次函数的解析式为 .m2-4m为偶数，.m=2.] f(.x)=-4x2+4x+7. 2.写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的 法二：（利用顶点式） 二次函数：f(x)= 设f(x)=a(x-m)2十n(a≠0). ①f(x)的最小值为一1；②f(x)的一次项系数为 因为f(2)=f(-1), -4;③f(0)=3;④f(x)=f(-x+2). 所以抛勒线的对称轴为2士D=号 解析：第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由 2 ②③可设f(.x)=ax2-4x十3(a≠0)，则根据①可 所以m=之 ,又根据题意函数有最大值8， 得.12a16=一1，解得a=1,所以fx)=x2-十3. Aa 所以n=8, 第二种情况：f(x)具有①②④三个性质，由①④可 所以f)=a-)+8 设f(x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据②可得： -2a=-4,解得a=2,所以f(x)=2(x-1)2-1 因为f2)=-1,所以a(2-)+8=-1， =2x2-4x+1. 第三种情况：f(x)具有①③④三个性质，由①④可 解得a=一4， 设f(.x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据③可得： 所以f(x)=- f(0)=a-1=3,解得：a=4,所以f(x)=4(x-1)2 法三：（利用零，点式） -1=4x2-8x+3. 由已知f(x)十1=0的两根为x1=2,x2=-1, 第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可 设f(x)=a.x2-4.x十3(a≠0)，则根据④可得 故可设f(x)十1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=a.x2-ax-2a-1. 1=1,解得a=2,所以f(x)=2x2-4x+3. 2a 又函数有最大值8，即4a(-2a-1)-Q=8. 答案：x2-4x+3或2.x2-4x十1或4x2-8.x+3或 Aa 2x2-4x十3.（不唯一） 解得a=-4或a=0(舍去)， 题型3〔 二次函数的图象与性质 所以所求函数的解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 规律方法 ●[角度1门二次函数的图象 [例3-1][多选]函数f(x)=a.x2-2.x十1与g(x) 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键 =x“在同一直角坐标系中的图象不可能为( 是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式， 一般选择规律如下： 三点坐标 宜选用一般式 顶点坐标 已 知 对称轴 宜选用顶点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标→宜选用零点式 0 ·40· 第二章函数 [解析]因为f(x)=ax2-2x十1，g(x)=x, 规律方法 对于A,当a=-1时，f(x)=-x2-2x十1，其图 求解二次函数的单调性及最值的策略 象开口向下，对称轴为x=一1， (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对 g()=x1=】,其图象关于原点对称，且在(0，十0) 称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确 定，则需要分类讨论求解。 上单调递减，故A满足要求； (2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点一轴”数 对于B,当f(x)=a.x2一2.x+1开口向上时，a>0, 形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一 此时g(x)=x在(0，十∞)上单调递增，故B不满 轴”指的是对称轴，可用下面的思维流程图 足要求； 表示： 对于C,当a=号时f(x)=2x2-2x+1,其图象 看已知 图象开口方向，区间，对称轴 开口向上，对称轴为x=2, 定类型） 轴定区间定 轴动区间定 g(x)=x,其图象在[0，十o∞)上单调递增，且越来 越缓，故C满足要求； 抓关键 画草图，确定对称轴与区间的关系 对于D,当f(x)=ax2-2x十1开口向上时，a>0, 解答 利用分类讨论思想求解 此时其对称轴为【=一2-工>0，故D不满足要求 2a a (跟踪训练 [答案]BD 1.已知函数f(x)=a.x2十(a-3)x+1在区间 ◆[角度2]二次函数的单调性与最值 [-1,十o∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 [例3-2](1)设二次函数f(.x)=ax2-2a.x十c在 区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0),求实数m A.[-3,0) B.(-o∞，-3] 的取值范围； C.[-2,0] D.[-3,0] (2)已知函数f(x)=x2+2a.x+1,求f(x)在区间 解析：D[当a-0时，f(x)=-3x十1，满足题意； [-1,2]上的最大值. 当a>0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满 [解](1)依题意a≠0，二次函数f(x)=a.x2 足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为 2a.x十c=a(x-1)2-a十c,其图象的对称轴是直线 x=-0君，：高数fx)在区间[-1，十0)上单 x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a >0,即函数图象的开口向上，所以f(0)=f(2),则当 调道减.-a23<-1,得-3≤4<0.综上可知， 2a f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 实数a的取值范围是[-3,0].] .实数m的取值范围为[0,2]. 2.函数f(x)=x2-4x十2在区间[a,b]上的值域为 (2)f(x)=(x十a)2+1-a2,所以f(x)的图象是开 [-2,2],则b-a的取值范围是 口向上的抛物线，对称轴为x=一a. 解析：解方程f(x)=x一4x十2=2，得x=0或x=4, ①当-a<分即a>-号时 解方程f(x)=x2-4.x十2=-2，得x=2, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2]. f(x)mx=f(2)=4a+5; 若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则[a,b]=[0,2] 当-≥中a≤-时. 或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调， f(x)mx=f(-1)=2-2a 且当b-a取最大值时，[a,b]=[0,4], 4a+5,a>-1 所以b-a的最大值为4， 综上，f(x)mx 所以b-a的取值范围是[2,4]. 2-2a,a≤-7 答案：[2,4] ·41·