第2章 2.4 函数的周期性与对称性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.4函数的周期性与对称性 ★[考试要求] 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据 函数的性质进行简单的应用 复盘>必备知识 学生用书P25 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的周期性 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D,如 “X”) 果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都 (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N)也 有x十T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数 是函数f(x)的一个周期 (/) y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 (2)函数y=f(.x十1)是偶函数，则函数y=f(x)关于 函数的周期. 直线x=1对称， (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 (√) 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 (3)函数y=f(x一1)是奇函数，则函数y=f(x)关于 f(.x)的最小正周期. 点(1,0)对称。 (X) 2.奇函数、偶函数的对称性 (4)若函数f(x)满足f(x一1)十f(x十1)=0，则f(x) (1)若函数y-f(x)满足f(a一x)=f(a十x),则函数 关于y轴对称. (×) 的图象关于直线x-a对称； 2.函数y=f(x)与函数y=f(一x)的图象关于 (2)若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a十x),则函 对称 ( 数的图象关于点(a,0)对称. A.x轴 B.y轴 (3)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴 C.坐标原点 D.不能确定 为x=a;若f(x十a)是奇函数，则函数f(x)图象 解析：B[函数y=f(x)上的点(x,y)关于y轴对 的对称中心为(a,0). 称点为（一x,y), 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴 :点(-x,y)在函数y=f(-x)上，y=f(x)与 对称； y=f(一x)图象关于y轴对称.] (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于x轴 3.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2十x) 对称； =f(-x),且当x≥1时，f(x)=lnx,则( (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关于原点 A.f(-1)<f(0) B.f(-1)>f(0) 对称 C.f(0)=f(2) D.f(0)<f(2) 知识拓展用活 解析：BC[因为定义在R上的函数f(x)满足 1.函数的周期性 f(2十x)=f(-x), 对f(x)定义域内任一自变量x的值： 所以函数f(x)关于x=1对称， (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 所以f(0)=f(2)=ln2,故C正确，D错误； 2)若fx+a)=7a则T=2aa>0y. f(-1)=f(3)=1n3,所以f(-1)>f(0),故A错 误，B正确.] 1 (3)若fx+a)=f,则T=2a(a>0). 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x, 2.函数图象的对称关系 恒有f(x+4)=f(x).当x∈[0,2]时，f(x)=2x一 (1)若函数f(.x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则 x2,则f(2026)= fx)的图象关于直线x=“生对称： 解析：因为f(x十4)=f(x),所以函数f(x)的周期 (2)若函数f(x)满足关系f(a十x)=-f(b-x),则 T=4.又f(2)=0,所以f(2026)=f(2+4×506) =f(2)=0. fx)的图象关于点ob,0】 2,0对称 答案：0 ·31 高考总复习数学 跃升>关健能力 学生用书P26 核心考点分类突破 题型1 函数的周期性 跟踪训练 [例1] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十2)f(x)=1, f(x)一2，则下列是周期函数的是 ( 若f(1)∈(1,2)，则f(2027)的取值范围为( A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x A.(-2,-1) B.C1,4] C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x c台 () [解析]依题意，定义在R上的函数f(x)满足 解析：C[f(x十2)f(.x)=1, f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1) f(x)十2x,所以y=-f(x)十2x是周期为1的周期 .f(x+2)= f(x)' 函数 即f(x+4)= 1 .1 [答案]D f(x+2)= 1 =f(x), (2)已知f(x)是定义域为（一∞，十∞）的奇函数， f(x) 满足f(.x)=f(2-x),若f(1)=1,则f(1)+f(2) 即f(x+4)=f(x), +f(3)+f(4)+…+f(2026)= ( 所以4是函数f(.x)的一个周期， A.1 B.0 f(1)∈(1,2)， C.1013 D.2026 .f(2027)=f(3)= (合)门 [解析]由已知f(x)=f(2-x),且f(x)是定义 域为（一∞，十∞）的奇函数， 题型2〔 函数的对称性 可得f(x)=f(2-x)=-f(x-2), 》[角度1]轴对称 即f(x+2)=-f(x), [例2-1](1)下列函数与y=e的图象关于直线 所以f(.x+2)=f(x-2), x=1对称的是 即函数的最小正周期为4，即f(4k十x)=f(x),k∈Z, A.y=e-I B.y=el 又f(1)=1,f(0)=0, C.y=e2 D.y=In x 所以f(2)=f(2-2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0, [解析]f(x)=e关于x=1对称的是f(2-x) f(3)=f(2-(-1)=f(-1)=-f(1)=-1, =e2,即y=e2 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, [答案]C 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2026) (2)已知定义在R上的函数f(x),对Vx∈R,都有 =506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)+ f(x+2)=一f(x)+2,若函数f(x-1)的图象关 f(2026)=f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2) 于直线x=1对称，则f(2027)= =1. A.-2 B.-1 C.2 D.1 [答案]A [解析]由函数f(x一1)的图象关于直线x=1对 规律方法 称，可得f(x-1十1)=f(1-x-1), 函数周期性的判定与应用 即f(x)=f(-x),f(x)为偶函数， (1)判断函数的周期性只需证明f(x十T)=f(x)(T 由f(x+2)=-f(x)+2得f(x+2十2)=-f(x+2) ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T,函 十2=f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数， 数的周期性常与函数的其他性质综合命题. 所以f(2027)=f(3+4×506)=f(3)=f(-1)=f(1), (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得 由f(.x+2)=-f(.x)+2,令x=-1可得f(1) 到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意 -f(-1)+2→f(1)=1, 结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也 所以f(2027)=1. 是函数的周期， [答案]D ·32 第二章函数 [角度2]中心对称 对于C,设f(x)=x3-2x2的对称中心为(a,b), [例2-2](1)已知函数f(x)的定义域为R,且 设g(x)=f(x十a)-b,则g(x)=-g(-x), f(2x+1)为奇函数，f(2x+4)=f(2.x),则一定正 即f(x十a)-b=-f(-x十a)+b, 确的是 ) 即(.x+a)3-2(x十a)2-b=-(-x十a)3+2(-x A.f(.x)的周期为2 +a)2+b, B.f(x)图象关于直线x=1对称 所以(3a-2)x2十a3-2a2-b=0恒成立，即3a-2 C.f(x十1)为偶函数 =0, D.f(x十3)为奇函数 [解析]f(2x+1)为奇函数，得f(2x+1)+ 所以u,故函数f(x)=x一2元2的对称中心的 f(-2x+1)=0, 即f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x+1)为奇函 横生标为号故C错误： 数，故C错误； 对于D,因为定义在[一3,3]上的函数f(x)的图象 且f(x)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误； 关于点(0，一1)成中心对称. f(2x十4)=f(2x)可知，函数f(x)周期为4，故A错误； 所以可得y=f(x)十1为奇函数， f(x)=f(x十4)，又f(x)图象关于点(1,0)中心对 设g(.x)=f(x)+1,即g(x)是奇函数， 称，知f(x)=一f(2一x), 当0≤x≤3时，f(.x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, 所以f(x十4)=-f(2-x),得f(x)关于点(3,0)对称， 所以f(x)∈[-4,0]，g(x)=f(x)+1∈[-3,1] 则f(x十3)关于点(0,0)对称，所以f(x十3)为奇 x∈[-3,0]时，g(x)∈[-1,3]，所以f(x)=g(x) 函数，故D正确. -1∈[-2,2]， [答案]D 所以x∈[-3,3]时，f(x)∈[-4,2]，故D正确. (2)[多选]函数y-f(x)的图象关于点P(a,b)成 [答案]BD 中心对称图形的充要条件是y=f(x十a)一b为奇 规律方法 函数，下列结论正确的 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称台 A.函数f(x)=a.x十b没有对称中心 f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a十x); 且两数)=计的对称中心为一-1,2》 若函数y=f(.x)满足f(a十x)=f(b-x), C.函数(x)=x-2x的对称中心的横坐标为号 则？)的图象关于黄线-士宁对我 D.定义在[-3,3]的函数f(x)的图象关于点(0，-1) (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称台f(a 成中心对称.当0≤x≤3时，f(x)=x2-2.x一3， +x)+f(a-x)=2b台2b-f(x)=f(2a-x); 则f(x)的值域为[-4,2] 若函数y=f(x)满足f(a十x)+f(b-x)=c, [解析]由于y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心 则y=f(x)的图象关于点 ，）)中心 对称图形的充要条件是y=f(x十a)一b为奇函数， 对称 对于A.周为f(+)=a(+2）十2 跟踪训练 ax, 1.[多选]定义在R上的函数f(x)满足f(0)=f(x) 所以g()=fx+6 -2b,满足g(一x)=-g(x), 十f(-x),f(x十2)=-f(x),且f(x)在[-1,0] 是奇函数， 上是增函数，则下列结论正确的是 故f(x)关于，点么，2b对称，故A错误； A.f(2)=f(0) a B.f(x)在[1,2]上单调递减 对于B,因为g()=f(x-1)-2=2x-1)+1-2 C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 x-1+1 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 =2红，1-2=-子，定义线为{xx≠0，满足 解析：ABC[对于A,由f(0)=f(0)十f(0),得 f(0)=0, 8一)==一8，是寺函数， 又f(x+2)=-f(x),则f(2)=-f(0)=f(0),A 所以，点（一1,2）为f(x)的对称中心，故B正确； 正确， ·33· 高考总复习数学 对于B,由于f(0)=f(x)十f(-x)=0,故f(x)是 题型3〔 两个函数图象对称 奇函数， 由f(x)在[-1,0]上单调递增可得f(x)在[0,1] [例3]设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y= f(x-3)与函数y=f(1-x)的图象关于 ( 上也单调递增 A.直线x=一1对称 B.直线x=一2对称 由f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)关于 C.直线x=2对称 D.直线x=1对称 x=1对称， 故f(x)在[1,2]上单调递减，B正确， [解析]y=f(1一x)是函数f(-x)的图象向右平 对于C,由f(x十2)=-f(x), 移1个单位，由于y=f(一x)与y=f(x)的图象关 则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)=-f(-x)→f(x 于y轴对称，所以y=f(1一x)与y=f(x一1)的图象 +4)+f(-x)=0, 关于x=1对称，y=f(x-3)是函数y=f(x一1)向 右平移2个单位，所以函数y=f(x一3)与函数y= 故f(x)关于(2,0)对称， f(1一x)的图象关于直线x=2对称. 结合f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于（一2,0） [答案]C 对称，故C正确， 对于D,因为f(x十2)=一f(x), 规律方法 所以f(3)=-f(1), 函数y=f(a十x)与函数y=f(b一x)图象关于直 又f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(1)>f(2)=0, 线x=b。“对称」 2 故f(3)=-f(1)<f(1),即f(3)≠f(1),则x=2 不是f(x)的对称轴，故D错误.] 跟踪训练 2.已知函数y-f(x十1)与y=g(x)的定义域均为 已知y=f(x十4)是定义域为R的奇函数，y=g(x一2) R,且它们的图象关于x=1对称，若奇函数g(x)满 是定义域为R的偶函数，且y=f(x)与y=g(x)的 足g(x)=g(2-x),下列关于函数f(x)的性质说 图象关于y轴对称，则 ( 法不正确的有 A.y=f(x)是奇函数 A.f(x)关于x=2对称 B.y=g(x)是偶函数 B.f(x)关于点(4,0)对称 C.y=f(x)关于点(2,0)对称 C.f(x)的周期T=4 D.y=g(x)关于直线x=4对称 D.f(2027)=0 解析：A[由于y=f(x十4)是定义域为R的奇函 解析：B[对于A,令(x,y)是函数y=g(x)的图 数，则y=f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， 象上任意一点，则(2一x,y)在y=f(x十1)的图 y=g(x-2)是定义域为R的偶函数，则y=g(x) 象上， 的图象关于x=一2对称， 即∫y=g(x) 因为y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称，则 y=f(3-x) ,则g(x)=f(3-x),由g(x)为奇 y=f(x)的图象关于x=2对称， 函数，得g(-x)十g(x)=0, 又y=f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， 则有f(3-x)十f(3+x)=0,函数f(x)的图象关 所以y=f(x)的图象关于(0,0)成中心对称， 于点(3,0)对称， 故y=f(x)为奇函数，A正确； 又g(x)=g(2-x),则f(3-x)=f(1+x),函数 因为y=f(x)为奇函数，故f(一x)=一f(.x), f(x)的图象关于x=2对称，A正确； 由y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称，可得 对于C,f(3十x)=-f(1十x),即f(x十2)=-f(x), f(x)=g(-x),g(x)=f(-x), 则f(x十4)=-f(x十2)=f(x),f(x)的周期T= 故g(-x)=f(.x)=-f(-x)=-g(.x), 4,C正确； 故y=g(x)为奇函数，B错误； 对于D,f(3)=0,则f(2027)=f(506×4十3)=0， 由A的分析可知y=f(x)的图象关于x=2对称， D正确； 故C错误； 对于B,由f(4-x)=f(x),得f(8-x)=f(.x),函 由A的分析可知y=f(x)的图象关于(4,0)成中心 数f(x)的图象关于x=4对称， 对称，y=f(x)为奇函数， 若f(x)图象关于点(4,0)对称，则f(8-x)十f(x) 则y=f(x)的图象也关于（一4,0）成中心对称， =0,即f(x)=0, 而y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称， 而没有条件确保f(x)=0恒成立，B错误.] 则y=(x)的图象关于(4,0)成中心对称，故D错误.] ·34 第二章函数 [热点强化课2]捕象函数性质的综合应用 学生用书P27 抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛.抽象函数问题可以全面 考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载 体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果， [典例][多选]已知函数f(x),g(x)的定义域均为 名师点拨 R,且g(x)+f(-x+2)=1,f(x)-g(x+1)=1, 对含有f(x),g(x)混合关系的抽象函数，要 若y=f(.x)的图象关于直线x=1对称，则以下说 探求f(x),g(x)性质首先要消去一个函数只剩下 法正确的是 另一个函数，消去其中一个函数的方法就是对x A.g(x)为奇函数 进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考 B()=0 查剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、 C.Hx∈R,f(x)=f(x+4) 单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题 D.若f(x)的值域为[m,M],则f(x)+g(x)=m+ 应该注意的事项： M-1 (1)赋值法使用，注意和题目条件作联系； [解析]，g(x)+f(-x十2)=1，.g(x+1)+ (2)转化过程要以相关定义为目的，不断转变， f(1-x)=1, ,f(x)-g(.x+1)=1,.f(x)+f(1-x)=2, 跟踪训练 ,f(x)关于x=1对称，.f(1-x)=f(1+x), [多选]已知函数f(.x)=1g(Wx2-2.x十2-x十1)， .f(x)+f(1+x)=2,f(x+1)+f(2+x)=2, .f(x)=f(2+x), g)-多牛》则下列说法正确的是 .T=2,f(x)=f(x十4)，故C正确； A.f(x)是奇函数 f(x)关于x=1对称，.f(x)=f(2-x), B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 .f(x)=f(-x),.f(x)为偶函数， C.若函数F(x)=f(x)十g（x)在x∈[1-m,1十 g(x)+f(-x十2)=1，.g(x)+f(x)=1, m]上的最大值、最小值分别为M、N,则M+N g(-x)+f(-x)=1,∴.g(-x)+f(x)=1, =4 g(x)=g(-x),g(x)为偶函数，故A错误； D.令F(x)=f(x)十g(x),若F(a)+F(-2a+1) f(x)+f(1-x)=2,∴.f（x)图象关于点 >4,则实数a的取值范围是（一1，+o∞） (合中心对经， 解析：BCD[由题意函数f(x)=lg(Wx-2.x十2 存在一对最小值点与最大值点也关于 2)对 -x+1)=lg(W(x-1)2+1-(x-1)), 称，.m十M=2 因为√(x-1)2十1-(.x-1)>0恒成立， .g(x)十f(x)=1=m十M-1,故D正确； 即函数f(x)的定义域为R, 由fx)+f0-x)=2得f2)1,又T=2,所 又因为f(0)=1g(W2+1)≠0，所以f(x)不是奇函 数，所以A错误； 以(》=1， 将g()=?十的图象向下平移两个单位得到y 由g)+f)=1得g()+()=1,所 2+2 +6-2=22 以g（昌)=0，故B正确。 2+2 2+2, [答案]BCD 再向左平移一个单位得到h()=22=1一2 2+2市1+2 ·35· 高考总复习数学 此时(-)引名-多一A. 1+2-2+1 由f(x)=lg(W(x-1)2+1-(x-1)), 所以h(x)图象关于点(0,0)对称， 设m(x)=lg(wx+1-x),t=√x+1-x, 所以g(x)的图象关于(1,2)对称，所以B正确； 可得t= x -1<0,所以t=√2+1-x为减 2+1 将函数f(x)的图象向左平移一个单位得m(.x) 函数， 1gWx2+1-x), 可得函数m(x)=lg(Wx2十1一x)为减函数， 因为m(-x)+m(x)=lg(√x十1十x)+lg (/x2+1-x)=lg1=0, 所以函数f(x)=lg(√(x-1)2十1-(x-1))为减 函数， 即m(-x)=一m(x),所以函数n(x)为奇函数， 所以函数f(x)关于(1,0)点对称， 又由g)=士6=1十 2+2 2为成画级， 所以F(x)若在1十a处取得最大值，则F(x)在1一a 所以F(x)为减函数， 处取得最小值， 因为F(x)关于点(1,2)对称， 则F(1+a)+F(1-a)=f(1+a)+f(1-a)+g(1 所以F(a)十F(-2a十1)>4=F(a)+F(2-a),即 十a)十g(1-a)=0十4=4，所以C正确； F(-2a+1)>F(2-a), 由F(a)+F(-2a+1)>4,可得f(a)+f(1-2a) +g(a)+g(1-2a)>4, 即-2a十1<2-a,解得a>-1,所以D正确.] 培优拓展3 新定义中的特殊函数 学生用书P28 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题， 有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查 的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝、 [典例们[多选]高斯是德国著名的数学家，近代数学 g=[f]-千。]=0， 奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命 名的“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x g-D=[f(-1]=+号]=-1， 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5] .g(1)≠g(-1),g(1)≠-g(-1), =-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,e .函数y=g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关 于直线x=0对称，A错误； 数g(x)=[f(x)门，则下列命题中为真命题的是 y=f(x)的定义域为R, ( “f(-x)= e 11-=-f(x), A.g(x)图象关于x=0对称 1+ex21+e-21 .f(x)是奇函数，B正确； B.f(x)是奇函数 任取x1>x2, C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{-1,0,1}》 fu)-,=位1）（位-e) 1 [解析]根据题意，知f(x)=1十。 e 1+e'g1+e 1+e-1111 e"-e" 1+e221+er (1+e)(1+e)1 ·36 第二章函数 .'x1>x2,则e>e,即e-e>0, 3.最值函数的概念 fa)>f,f)=合e金R上是路 a,a≤b, a,a≥b, 设min{a,b} max(a,b)= b,a≥b, b,a<b 函数，C正确； 直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小 e>0,.1+e>1, 值，我们将其称为最小值函数，同样的， 11 max{a,b}用来表示a,b的最大值，称作最大值 1+e 函数 2 跟踪训练 .g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0}，D错误. [多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著， [答案]BC 1,x∈Q, 以其名字命名的函数f(x) 称为狄 名师点拨 o,x∈CRQ, 利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是 1.高斯函数y=[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整 A.函数y=f(x)的图象是两条直线 数部分，记作[x],例如，[3.4]=3，[-2.1] B.f(f(x))=1 =一3，这一规定最早为数学家高斯所使用， C.f(W5)>f(1) 故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整 D.Hx∈R,都有f(1-x)=f(2+x) 函数. 解析：BD[对于A,函数y=f(x)的图象是断续 (2)性质 的点集，不是两条直线，A错误； ①定义域：R;值域：Z. 对于B,当x为有理数时，f(x)=1, ②不具有单调性、奇偶性、周期性. 所以f(f(.x)=f(1)=1, (3)图象 当x为无理数时，f(x)=0,f(f(x)=f(0)=1, 3 B正确； 2 对于C,f(3)=0,f(1)=1, -2-10 234元 所以f(1)>f(W3),C错误； -2 对于D,由题意，函数定义域为R, 且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数， 1,x∈Q 2.狄利克雷函数D(.x) 的性质 若x是有理数，则x十T也是有理数； (0,x旺Q 若x是无理数，则x十T也是无理数； (1)定义域R;值域{0,1. 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理 (2)奇偶性：偶函数. 数T, (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正 f(x十T)=f(x)对Hx∈R恒成立， 周期。 故f(x十2)=f(x)=f(-x)=f(1-x), (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 所以Vx∈R,都有f(1-x)=f(2十x),D正确.] ·37·