第2章 2.3 函数的奇偶性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.3 函数的奇偶性 ★[考试要求] 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用. 复盘>必备知识 学生用书P23 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 函数的奇偶性 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. (×) 奇偶性 定义 图象特点 (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. (×) 般地，设函数f(x)的定义域 (3)对于函数y=-f(x),若f(-2)=一f(2),则函数 为I,如果Vx∈I,都有-x∈ 关于y轴 y=f(x)是奇函数， (×) 偶函数 I,且f(-x)=f(x),那么函数 对称 (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是 f(x)就叫做偶函数 奇函数. (/) 2.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞)上单调递减 般地，设函数f(x)的定义域 的是 ( 为I,如果Vx∈I,都有-x∈ 关于原点 奇函数 A.y=-x I,且f(-x)=-f(x),那么函 B.y- 对称 数f(x)就叫做奇函数 C.y=la D.y= 知识拓展用活 解析：D =-y=率是寺西数，排您A,B 函数奇偶性的重要结论 y=x,y=二都是偶函数，y=x在(0，十∞)上 (1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，即f(0) 有意义，那么一定有f(0)=0. 单调递增，y=在(0，十∞)上单调递减] (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x). 3.已知f(x)=ax2十b.x是定义在[a-1,2a]上的偶 (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x) 函数，那么a十b的值是 ( =0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空 数集 c D.一2 (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调 解析：B[显然b=0,a-1十2a=0,.a= 性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 3a 调性. +=] (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x) 大（小）值，取最值时的自变量的值互为相反 =2x+b,则f(-1)= 数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互 解析：f(x)是奇函数，则f(0)=b=0,即x≥0时， 为相反数，取最值时的自变量的值也互为相 f(x)=2x,所以f1)=2,从而f(-1)=-f1)=-2. 反数. 答案：一2 跃升>关键能力 学生用书P23 核心考点分类突破 题型1 函数奇偶性的判断 C.f(x)=In(x-1)-In(x+1) [角度1]判断函数的奇偶性 D.f(x)=e'te 2 [例1一1]下列函数为奇函数的是 A.f(x）=x3+x2 [解析]A.因为f(-x)=-x3十x2≠-f(x),所 B.f(x)=1+2-1 2 以该函数不是奇函数； ·28 第二章函数 成周为)+-)=1+22十1十2号 令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以 f(-1)=0; 2+ 2+2·2=-2·2+2-2+2·2=0,所 2-11-2 令y=-1得f(-x)=-f(.x)十xf(-1)= 1-2 一f(x),所以f(x)是奇函数，故D正确. 以该函数是奇函数； C.由/-1>0 [答案]AD →x>1,该函数的定义域不关于原 x+1>0 规律方法 点对称，所以该函数不是奇函数； 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 D,.因为f(一x)=。十e=f),所以该函教是偶 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. 2 (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关系，在 函数，不符合题意 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶 [答案]B 性的等价等量关系式(f(x)十f(一x)=0(奇 ◆[角度2]抽象函数奇偶性的判断 函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否 [例1一2][多选]已知f(x)是定义在R上的函数， 成立 下列结论正确的有 ( A.若满足f(x2)=一f(-x2),则f(x)是奇函数 跟踪训练 B.满足2f(x十y)f(.x-y)=f(x)+f(y),且f(0) 1.设函数fx)十则下列函数中为奇函数的是 ≠0，则y=f(x)为奇函数 ( C.若恒有f(x)十f(y)=f(x十y),则f(x)为偶 函数 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 D.若恒有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 函数 解析：B[解法一：因为fx)=卡-1十 [解析]对于A,若Ht∈R,当t>0时，令t=x2, 2 因为f(x2)=-f(-x2), 十，其图象关于点(-1，一1)中心对称，将其图象 所以f(t)=-f(-t),即f(-t)=-f(t): 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 当t=0时，令t=x2=0,因为f(x2)=-f(-x2), 后关于原点(0,0)中心对称，所以f(x一1)十1为奇 所以f(0)=-f(-0),即f(0)=0; 函数， 当t<0时，令t=-x2,因为f(.x2)=-f(-x2), 所以f(-t)=-f(t), 解法二：因为f()=话所以f(x-1) 综上，Ht∈R,f(-t)=-f(t),所以f(x)是奇函 年-+1-B-+ 1+(x-1) 数，所以A正确； 对于B,在2f(x+y)f(x-y)=f(x)十f(y)中，令 对于A,F(x)=f(x-1)-1=2二-1=2-2，定 x=y=0,得2f(0)=2f(0),因为f(0)≠0，所以 义域关于原点对称，但不满足F(x)=一F(一x),故 f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),故B错误； F(x)不是奇函数；对于B,G(x)=f(x一1)十1 对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0), .f(0)=0, 2一十1=2，定义域关于原点对称，且满足G(x) x 令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0, =-G(-x),故G(x)为奇函数；对于C,f(x十1) .f(-x)=f(x), -1=平一1=-号定又城不关于愿成对 即f(x)为奇函数，C错误； 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)十 称，不是奇画数：对于Df+1)+1=十1 xf(y),令x=y=0得f(0)=0;令x=y=1得 2，定义战不关于原点对称，不是奇函数.] 2 f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0: ·29· 高考总复习数学 2.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x十y)一[f(x) 规律方法 +f(y)门=2024，则下列说法正确的是 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 A.f(x)是偶函数 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区 B.f(x)是奇函数 间上的函数值求解. C.f(.x)十2024是奇函数 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知 D.f(.x)+2024是偶函数 区间上，再利用奇偶性求出解析式 解析：C[因为f(x+y)-[f(.x)+f(y)]=2024, (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 所以令x=y=0,可得f(0)=-2024, f(x)土f(一x)=0得到关于参数的恒等式，由 令y=-x,则f(0)-f(x)-f(-x)=2024, 系数的对等性得出参数的方程或方程（组），进 所以f(-x)=-f(x)-4048, 而得出参数的值. 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 跟踪训练 且f(-x)+2024=-[f(x)+2024], 1.(2025·全国二卷)己知f(x)是定义在R上的奇函 所以f(x)+2024是奇函数.] 数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)e+2,则() 题型2( 函数奇偶性的应用 A.f(0)=0 [角度1]利用函数的奇偶性求值 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-2 [例2-1] (2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5 D.x=-1是f(x)的极大值点 解析：ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的 定义域为R,f(0)=0,所以A正确； A.-2 B.- c.4 D. 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)e+2,又 因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(.x2-3)e [解析] ()f()+)-5-2 一2，所以B正确； 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e,所以f(x)在 (2+)=-号故选A (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 [答案]A x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,fW3) [角度2]利用函数的奇偶性求解析式 2>0,所以f(x)的图象大致为 [例2-2]已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x3+2.x十1，则x<0时，f(.x)的解析式为 2e-2 y=√3 ( ) A.f(.x)=-x3-2.x-1(x<0) B.f(x)=-x3-2.x+1(.x<0) C.f(x)=x3+2x-1(x<0) -2e+2 D.f(x)=-x3+2x+1(x<0) 因为2e一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原 [解析]因为f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f 点对称可知D正确.] (x)=x3+2.x+1, 2.已知函数f(x)=ax3十bx十1，若f(2)=4,则 设x<0,则-x>0,所以f(一x)=(-x)3十2(-x) f(-2)= ( +1=-f(x)→f(x)=x3+2x-1(x<0). A.-4 B.-2 C.0 D.2 [答案]C 解析：B[令g(x)=ax3+bx,则f(x)=g(x)+1. [角度3]利用函数的奇偶性求参数 由g(x)定义域关于原点对称，且g(一x)=一g(x) [例2一3]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 得g(x)为奇函数， x≤0时，f(x)=2x2-3x十m,则f(1)= :f(2)=g(2)+1=4,∴g(2)=3, [解析]由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得 .f(-2)=g(-2)+1=-3+1=-2.] f(0)=0, 3.设a∈R,函数y=f(.x)是奇函数.若f(1)=e-3, 而当x≤0时，f(x)=2.x2-3.x十m,则m=f(0)=0,所 f(-1)=1,则a= 以当x≤0时，f(x)=2x2-3.x, 解析：因为函数y=f(x)是奇函数， 所以f1)=-f(-1)=-[2(-1)2-3(-1)]=-5. 所以f(-1)=-f1)=-(e-3)=1,解得：a=ln2. [答案]-5 答案：ln2 ·30·