第2章 2.2 函数的单调性与最值（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.2函数的单调性与最值 ★[考试要求] 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用 复盘>必备知识 学生用书P20 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 4.复合函数的单调性：函数y=f(u),u=(x)在函数y= 1.函数的单调性 f(p(x)的定义域上，如果y=f(u)与u=p(x)的单调 性相同，那么y=f(p(.x)单调递增；如果y=f(u)与 (1)单调函数的定义 u=p(x)的单调性相反，那么y=f(o(x)单调递减。 增函数 减函数 自主诊断查验 一般地，设函数f(.x)的定义域为I,区间D 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） 三I,如果Hx1,x2∈D (1)若f(x)的定义域为R,且f(-3)<f(2),则f(x) 定 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 为R上的增函数. (×) 义 (2)函数f(x)在（一2,3）上单调递增，则函数的单调 f(x)<f(x2),那么 f(x1)>f(x2),那么就 递增区间为（一2,3） (×) 就称函数f(x)在区 称函数f(x)在区间D (3)因为y=x与y=e都是增函数，所以y=xe在 间D上单调递增 上单调递减 定义域内为增函数 (×) 身 y=f(x) y=f(x) f八x2) （)函数)y厂的单调递减区间是(-c0,0U0,十0》， f(x2) 象 (×) 0为x O2 2.[多选]下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0，十∞)，且 述 自左向右看图象是上 自左向右看图象是 升的 下降的 ≠，都有)fx>0的是 x1-x2 (2)单调区间的定义 A.f(x)=-3.x+1 B.f(x)=-2 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递 减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格 C.f(x)=x2+4.x+3 D.f(x)=x-1 的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 解析：BCD[函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0， 2.函数的最值 十)，且1≠，都有）二f0”,则有画 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 x1一x2 数f(x)在(0，十∞)上单调递增， 数M满足 函数f(x)=-3.x十1在(0，十∞)上单调递减，A不是； (1)Vx∈I,都有 (1)Hx∈I,都有 函数f(x)=一2在(0，十0)上单调递增，B是； f(x)≤M; f(x)≥M; x 条件 (2)3x∈I,使得 (2)3xo∈I,使得 函数f(x)=x2十4x十3在(0，十∞)上单调递增，C是； f(xo)=M f(xo)=M 函数f(x)=x-1在(0，十o∞)上单调递增，D是.] 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数y=(2m一1)x+b在R上是减函数，则( 知识拓展用活 Am>号 &m<号 1.Vx1,∈D且x,≠g,有f)-f0(<0) C.m>-2 1 x1-2 或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)台f(x)在区 解析：B[要使y=(2m一1)x十b在R上是减函 间D上单调递增（减）， 数，则2m-1<0,即m<分] 2.在公共定义域内，增函数十+增函数=增函数，减函 数十减函数=减函数 4函数)y=名在[2,3]上的最大值是 3.函数y=f(.x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义 解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x=2时，函 域内与y=-xy=的单调性相反， 数取得最大值，最大值为2. 答案：2 ·25· 高考总复习数学 跃升>关键能力 学生用书P21 核心考点分类突破 题型1 确定函数的单调性 C.函数f(x)=2++3的单调递增区间为[1，十o∞) p[角度1] 函数的单调性的理解 D.y=2x+2cosx在R上是增函数 [例1一1][多选]如果函数f(x)在[a,b]上单调递 解析：ABD[对于A,若对任意x1,x2∈I, 增，那么对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列 f(x)-fx2》>0,显然x1≠x2: 结论中正确的是 x1一x2 A.f)-f>0 当x1<x2时，则有f(x1)<f(x2)；当x1>x2时， 则有f(x1)>f(x2)； t1一x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上是单调 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) 递增，故A正确. 对于B,作出函数y=2|x十1| x2一x1 D.f)-fx)>0 的图象，如图所示， y=2lx+10 [解析]因为f(.x)在[a,b们上单调递增，对于任意 由图象可知：函数y=2|x+1 的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1) 的递减区间是（一0，一1]， 0 f(x2)的符号相同，故A,B,D都正确，而C中应为 故B正确； 若x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b), 对于C,由判断复合函数的单调性的方法“同增异 [答案]ABD 减”可得单调递增区间为（一∞，1]，故C错误； ●[角度2]判断或证明函数的单调性 对于D,y=2-2sinx≥0，所以y=2.x十2cosx是 R上的增函数，故D正确.门 [例1-2] 试讨论函数x)=气a≠0在(-1,1) 2.函数f(x)=log4(2x2-3.x-2)的单调递增区间为 上的单调性， [解]设-1<x1<x2<1, 解析：令t=2.x2-3.x-2>0, f)=a1=a1+) x-1 解得x>2或x<- 2 则f(x1)-f(.x2)= 则f(x)的定义为-o∞，- +）+) a(x2-x1) 由f(t)=log4t在(0，十o∞)上单调递减， 由于-1<x1<x2<1, 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t=2x2 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 3.x一2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区 即f(x1)>f(x2), 间为 函数f(x)在（一1,1）上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 答案： 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. -0,一2 规律方法 题型2 函数单调性的应用 确定函数的单调区间的方法 ●[角度1]比较函数值的大小 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求. [例2一1]已知函数f(x)的图象向左平移1个单位 (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 后关于y轴对称，当x2>>1时，[f(x2) f(x)的图象易作出，可由图象的升、降写出它的 单调区间 f门-)<0恒城立，设a=f()6 (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调 f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 () 区间. A.c>a>b B.c>b>a !跟踪训练 C.a-c>b D.b>a>c [解析]由题意知y=f(x)的图象关于直线x=1 1.[多选]下列说法中，正确的是 ( 对称，且当x>1时，y=f(x)单调递减，，a= A.若对任意1,1，)f>0,则y=fx) x1一x2 ()(》2)>f()>f3,即 在I上单调递增 b>azc. B.函数y=2|.x十1|的递减区间是(-o∞，-1] [答案]D ·26· 第二章函数 [角度2]求函数的最值 规律方法 [例2-2】函数)y=气1+x(x≥3》的最小值为 函数单调性应用要点 (1)比较大小：可将n个自变量值化到同一单调区 间上. [解析]设t=x-1,t≥2， (2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转 1-1+x=+} 化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域 (3)利用单调性求参数： 又画数y=+在[1，十∞)上单调递增， ①确定函数的单调区间，与已知区间比较； ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的，则该 所以当t=2,即x=3时， 函数在此区间的任意子集上也是单调的； 函教y=什有最小值2+号= ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外， 221 还要注意衔接点的取值， [答案] 跟踪训练 ●[角度3幻解不等式 1.已知函数f(x)= d-2ax+3≤1则a<4是f (a-4)x+1,x>1, [例2-3]已知函数f(x)=e-e,则使f(|x|) (.x)在R上单调递减”的 <f(一3x2+4)成立的实数x的取值范围是 A.充分不必要条件 ( B.必要不充分条件 A.(-1,0) B.(-1,+o∞) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.(-1,1) D.(1,+∞) [解析]函数y=e为增函数，函数y=eT为减 解析：B[若f(x) 12 2ax十3，u≤在R上单 (a-4)x+1,x>1 函数， 调递减， 所以函数f(x)=e一er为增函数， a≥1， 所以f(|x)<f(-3x2+4)台|x|<-3.x2+4, 则{a-4<0, 得1长a≤号， 1-2a+3≥a-4+1, 即3|x2+|x|-4<0, 所以“a<4”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分 (x-1)(3x|+4)<0, 条件.] 得0≤x<1, 2.[多选]函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2 解得-1<x<1, (x1≠x2),满足x1f(x1)十x2f(x2)>x1f(x2)十 x2f(x1),下列结论正确的是 () 所以实数x的取值范围为（一1,1）. A.函数f(x)在R上是单调递减函数 [答案]C B.f(-5)<f(0)<f(1) ●[角度4]求参数的取值范围 C.f(0)=0 [例2-4](2025·上海卷)设a>0,s∈R,下列各项 Df2x-1D<3-)的解为<号 中，能推出a>a的一项是 解析：BD[由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)十 A.a>1,且s>0 x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, B.a>1,且s<0 因此f(x)在R上单调递增，A错误； C.0<a<1,且s>0 由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1),B正确； D.0<a1,且s0 不一定有f(0)=0,如f(x)=2在R上为增函数， f(0)=1,C错误； [解析]由题意知，当a>1时，若a>a,则>1， 由f(2.x-1)<f(3-x),得2.x-1<3-x, 当0<a<1时，若a>a,则s<1,D正确. [答案]D 解得<号D正确.] ·27·