第2章 热点强化课2 抽象函数性质的综合应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数性质综合应用，涵盖定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及图象对称性等高考核心考点，按“概念理解—性质探究—综合应用”逻辑层次组织知识，通过考点梳理、方法指导（如消元法、赋值法）、真题讲解（多选典例）等环节，帮助学生构建函数性质的内在联系，突破抽象函数问题的难点。 讲义以“特殊函数模型辅助抽象问题转化”为特色，通过典例中函数方程消元、对称性与周期性推导等活动，培养学生的抽象能力和推理意识。设置分层练习（如性质辨析、综合应用），配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统指导。

抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛．抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果． [典例]　[多选]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＋f(－x＋2)＝1，f(x)－g(x＋1)＝1，若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则以下说法正确的是(　　) A．g(x)为奇函数　　 B．g＝0 C．∀x∈R，f(x)＝f(x＋4) D．若f(x)的值域为[m，M]，则f(x)＋g(x)＝m＋M－1 [解析]　∵g(x)＋f(－x＋2)＝1，∴g(x＋1)＋f(1－x)＝1， ∵f(x)－g(x＋1)＝1，∴f(x)＋f(1－x)＝2， ∵f(x)关于x＝1对称，∴f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)＋f(1＋x)＝2，∴f(x＋1)＋f(2＋x)＝2，∴f(x)＝f(2＋x)， ∴T＝2，∴f(x)＝f(x＋4)，故C正确； ∵f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数， ∵g(x)＋f(－x＋2)＝1，∴g(x)＋f(x)＝1， ∴g(－x)＋f(－x)＝1，∴g(－x)＋f(x)＝1， ∴g(x)＝g(－x)，∴g(x)为偶函数，故A错误； ∵f(x)＋f(1－x)＝2，∴f(x)图象关于点中心对称， ∴存在一对最小值点与最大值点也关于对称，∴m＋M＝2 ∴g(x)＋f(x)＝1＝m＋M－1，故D正确； 由f(x)＋f(1－x)＝2得f＝1，又T＝2，所以f＝1， 由g(x)＋f(x)＝1得g＋f＝1，所以g＝0，故B正确． [答案]　BCD 对含有f(x)，g(x)混合关系的抽象函数，要探求f(x)，g(x)性质首先要消去一个函数只剩下另一个函数，消去其中一个函数的方法就是对x进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质．对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项： (1)赋值法使用，注意和题目条件作联系； (2)转化过程要以相关定义为目的，不断转变． [多选]已知函数f(x)＝lg(－x＋1)，g(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．g(x)的图象关于点(1,2)对称 C．若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[1－m,1＋m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M＋N＝4 D．令F(x)＝f(x)＋g(x)，若F(a)＋F(－2a＋1)＞4，则实数a的取值范围是(－1，＋∞) 解析：BCD　[由题意函数f(x)＝lg(－x＋1)＝lg(－(x－1))， 因为－(x－1)＞0恒成立， 即函数f(x)的定义域为R， 又因为f(0)＝lg(＋1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误； 将g(x)＝的图象向下平移两个单位得到y＝－2＝， 再向左平移一个单位得到h(x)＝＝， 此时h(－x)＝＝＝－h(x)， 所以h(x)图象关于点(0,0)对称， 所以g(x)的图象关于(1,2)对称，所以B正确； 将函数f(x)的图象向左平移一个单位得m(x)＝lg(－x)， 因为m(－x)＋m(x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg 1＝0， 即m(－x)＝－m(x)，所以函数m(x)为奇函数， 所以函数f(x)关于(1,0)点对称， 所以F(x)若在1＋a处取得最大值，则F(x)在1－a处取得最小值， 则F(1＋a)＋F(1－a)＝f(1＋a)＋f(1－a)＋g(1＋a)＋g(1－a)＝0＋4＝4，所以C正确； 由F(a)＋F(－2a＋1)＞4，可得f(a)＋f(1－2a)＋g(a)＋g(1－2a)＞4， 由f(x)＝lg(－(x－1))， 设m(x)＝lg(－x)，t＝－x， 可得t′＝－1＜0，所以t＝－x为减函数， 可得函数m(x)＝lg(－x)为减函数， 所以函数f(x)＝lg(－(x－1))为减函数， 又由g(x)＝＝1＋为减函数， 所以F(x)为减函数， 因为F(x)关于点(1,2)对称， 所以F(a)＋F(－2a＋1)＞4＝F(a)＋F(2－a)，即F(－2a＋1)＞F(2－a)， 即－2a＋1＜2－a，解得a＞－1，所以D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $