2.1 函数的概念及其表示-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 因为x-x+1=(-）广+>0， 则不等式等价于m≥开时一切[立号]四 成立， 1-x 1 得，中中 1-x 一x十1一x 1 1 1-x+-元12/1-x)·-x1 音且仅当1-=亡脚=0时等号成多. 所以()1 所以m≥1，即m的取值范围是[1，十∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x-x十1)m十x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)=(x2-x十1)m十x-3, 因为1=(-)广+是>0 所以函数h(m)=(x2-x十1)m十x-3在(0,2)上单调 递增， 则h(0)=x一3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，十∞). 跟踪训练 解：fx)=-3x+a=(-号)广a-号 则0=f(受）=a-是， f(x)>0在x∈R上恒成立， 即f(x)m=a 9 故实数a的取位范国是（号，十） 2rx）=x-3x+a-(e-）广+a-号， 3 f(x)在[-1,2]上的最大值为f(x)x=f(-1)= (1-)）广+a-9=4+a, 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4十a,故4十a≤0， 解得a≤一4. 故实数a的取值范围是（一∞，一4]. 第二章函数 §2.1函数的概念及其表示 复盘·必备知识必备知识掌握 1.实数集任意唯一确定2.(1)定义域对应关系 值域(2)定义域对应关系3.解析法列表法 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 3 2.D[由画教的性质得230>≥2，故画数定义 x-2≠0 【x≠2 城为[2,202，+o∞).] 3.B[由题知f(0)=f(2)=2-1=3.] 4.解析：令√十1=t,则x=(t-1)2,t≥1，于是有f(t)= (t-1)2-1=t-2t,t≥1，所以f(x)=x2-2x,x≥1. 答案：x2-2x,x≥1 ·3( 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对于A,由y=√x-I十√一x干2有 含可#，仁200片以162 又对于任意的x∈[1,2]，存在唯一的y与之对应，所以 A正确； 对于B,由函数的定义，在定义域内的每一个x,有且只 有一个y与之对应， 所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1 个，故B正确； 对于C,fx)=十4，x≤0 (x-4,x>0 故f(0)=4,f几f(0)]=f(4)=4-4=0,故C错误； 对于D,函数f(x)=x2-2x与g(t)=t-2t有相同的定义 域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确. [答案]ABD (2)[解析]因为f(x)的定义域为(1,3)， 所以f(x-1)满足1<x-1<3,即2<x<4, 又函数g(x)= x一1)有意义，所以x-3>0,即x>3 √x-3 所以函教g(x)=工D的定义城为(3,4. √/x-3 [答案](3,4) 跟踪训练 1.C[因为f(x)=+-,则≥0，解得≤1 x≠0 且x≠0， 所以函数f(x)的定义域是(-∞，0)U(0,1].] 2.AD[对于A,y=√，y=x的定义域为R,y=√T= 1x与y=x对应法则不相同， 故y=√x与y=x不是同一个函数，A正确； 对于B,y=√一x-2x十3，由-x2-2x十3≥0，可得 -3x1, 又-x2-2x十3=-(x十1)2十4，当x=-1时，-x2 2x十3取到最大值4， 故y=√一x2一2x十3的值域为[0,2]，故B错误： 对于C,函数y=x十√x-1的定义域为[1，十∞)，且单 调递增，此时√x一1≥0， 故函数y=x十√一I的值域为[1，十oo),C错误； 对于D,函数f(x十1)的定义域为[1,4]，即1≤x≤4，则 2x十15， 即函数f(x)的定义域为[2,5]，D正确.] 题型2 [例2][解](1)方法一（配凑法）： x-2元=(E-1)2-1, .fWG-1)=(WE-1)2-1,x≥0，√E-1≥-1 ∴.f(x)=x2-1(x≥-1). 方法二（换元法）：设u=√元-1，则√E=u十1(u≥-1)， .f(u)=(u+1)2-2(u十1)=t2-1(u≥-1)， 即f(x)=x2-1(x≥-1). (2)(待定系数法)设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)， 则f'(x)=2a.x十b=2x十2， ∴a=1,b=2,∴.f(x)=x2+2x十c. 又，方程f(x)=0有两个相等实根， ∴.△=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2十2x十1. 8 (3(构造法)已知2f)+f()=3x-1,① 以代替①中的z(x≠0， 得2(）十f)=2-1,@ ①×2-②，得3f(x)=6x-3-1, 故九)=2-}日0. 跟踪训练 1.BCD[对于A,设f(x)=kx十b, 则f(f(x)=k(kx十b)十b=kx十kb+b, 因为f()=4红+3，所以二4： 1b+b=3, 解件公五合 故函数f(x)的解析式为f(x)=2x十1或f(x)=-2x 3,A错误；对于B,令t=3,则x=logt(t>0),则f(t) (ogt)十4logt,t>0,故函数的定义域为(0，十o∞)，B正确； 对于c(-）- （-)(e+1+)-(-)[(-)+3] 且x一的取值范围是R 所以f(x)=x(x2十3)=x3十3x,C正确；对于D,由f(x) +2f(日）3，得f(）+2rx)=是 联立解号)=兰-D正璃】 2.解析：（待定系数法）设f(x)=ax十b(a≠0)，则f(f(x) =f(a.x十b)=a(a.x+b)+b=a2x+ab+b,又f(f(x)= 4红十8，所以az十ab十6=4红+8，即0二4。解得 1ab+b=8, /a2, .或{88：所以f()=2x十号成f(x) 6=3,{6=-8, =-2x-8. 答案：2x+号或-2x-8 3.解析：（解方程组法）在)=2f(）·丘-1中，将x换 成，则士换成得f()=2f)√F-1 [x)=2f(）丘-1， 由 -1, ()=2f√ 解得f(x)= 号+ 答案：号反+ 题型3 [例3](1)[解析]由题意知函数f(x)的定义域为 （-∞，2)，故A错误； 当x≤-1时，f(x)的取值范围是(-o∞，1]，当一1<x<2 时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此∫(x)的值域为 (一∞，4)，故B正确； 当x=1时，f(1)=1=1,故C错误； 当x≤-1时，f(x)=x十2=1→x=-1,当-1<x<2 时，f(x)=x2=1→x=1,故D正确. [答案]BD ·36 参考答案 (2)[解析]对于A,根据狄利克雷函数定义可知 D(D(2)=D(1)=1,D(D(√2)=D(0)=1,即A正确； 对于B.易知函数f(x)=十工的定义城为（一0,0）U 2x (0,∞)， 当x∈(-60,0)时，f(x)=+工=0：当x∈(0，十o) 2x 时，fx)=+2=1: 2.x 即函数f(x)三2的值域为0,1，所以B正确； 对于C,若x∈Q,则-x∈Q,则D(x)=D(-x)=1, 若x∈RQ,则-x∈CRQ,则D(x)=D(-x)=0,综上 可得：D(x)=D(一x),故C错误： 对于D,当x∈Q时，x十1∈Q, 此时D(x十1)=D(x)=1; 当x任Q时，x十1任Q,此时D(x十1)=D(x)=0,所以 D正确. [答案]ABD 跟踪训练 1.C[当m≥0时，f(m)=2m=4,解得m=2; 当1<0时，f(m)=m2-m-2=4,解得m=3(舍) 或m=-2, 所以m=2或-2.] 2.A[当x≤3时，设t=√3-x,t≥0，则x=3-t, f(x)=g(t)=2(3-2)十4t=-2(t-1)2+8, 因t≥0，则f(x)=g(t)≤8； 当x>3时，设u=√x-3,u>0,则x=2十3， f(x)=h(u)=-2(2+3)十4u+12=-2(u-1)2+8 因u>0,则f(x)=h(u)8. 综上，函数f(x)的值域为(-∞，8].] §2.2函数的单调性与最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)单调递增 单调递减2.f(x)Mf(x。)=Mf(x)≥M f()=M 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.BCD[函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0，十o∞)，且西≠ ,都有）-f西>0，则有画数)在0，十∞)止单 X1一x2 调递增， 函数f(x)=一3x十1在(0，十o∞)上单调递减，A不是； 函数f(x)=-2在(0，十oo)上单调递增，B是； 函数f(x)=x十4x十3在(0，十∞)上单调递增，C是； 函数人x)=一士在(0，十0)止单拥递增，D是.] 3.B[要使y=(2m-1)x十b在R上是减函数， 则2m-1<0,即m<] 4,解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x=2时，函数取 得最大值，最大值为2. 答案：2 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]因为f(x)在[a,b们上单调递增，对于 任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(1)- f(x,)的符号相同，故A,B,D都正确，而C中应为若 x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b). [答案]ABD第二章 函数 §2.1函数的概念及其表示 D ★[考试要求] 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰 当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 复盘必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的概念 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 一般地，设A,B是非空的 ,如果对 或“×”) 于集合A中的 一个数x,按照某种 (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两 确定的对应关系f,在集合B中都有 个函数是同一个函数： () 的数y和它对应，那么就称f:A→B (2)函数y=f(x)的图象可以是一条封闭 为从集合A到集合B的一个函数，记作y= 曲线 () f(x),x∈A. (3)y=x°与y=1是同一个函数 ( ) 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： (4)函数f)=-1,x≥0， 的定义域为R. (2)如果两个函数的 相同，并且 x2,x<0 完全一致，则这两个函数为同一 () 个函数 3.函数的表示法 2.函数fx)=2x3+2的定义域为 表示函数的常用方法有 、图象法和 A(号202.+) 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关 B(-o,号U2+) 系不同而分别用几个不同的式子来表示，这 种函数称为分段函数 C 知识拓展用活 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1 D.2U(2, 个交点. 3.已知函数f(x)= f(x+2),x<1.则 2.在函数的定义中，非空数集A,B,A即为函 x2-1,x≥1. 数的定义域，值域为B的子集. f(0)= 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 A.0 B.3 一个函数.分段函数的定义域等于各段函数 C.8 D.15 的定义域的并集，值域等于各段函数的值域 4.若f(x+1)=x一1，则f(x)= 的并集. ·17· 高考总复习数学 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 函数的概念 2.[多选]下列命题正确的是 () 例1] (1)[多选]下列说法正确的有( A.y=√x与y=x不是同一个函数 A.式子y=√Jx-1十√一x+2可表示y关于x B.y=√-x2-2x+3的值域为(-o∞，2] 的函数 C.函数y=x十√x一1的值域为[0，+o∞) B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点 D.若函数f(x+1)的定义域为[1,4]，则函 最多有1个 数f(x)的定义域为[2,5] 1x2+4,x≤ C.函数f(x)= ,则f儿f(0)] 题型2 函数的解析式 -4,x>0 例2]已知f(x)满足下列条件，分别求f(x) =4 的解析式， D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同 (1)f(√x-1)=x-2√x; 函数 (2)f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个 (2)已知函数f(x)的定义域为(1,3)，则函 相等实根，且f'(x)=2x十2； 数g(x)= f(x一1)的定义域为 √x-3 (3)f(x)满足2f(x) 3.x-1 规律方法 [尝试解答] 函数的含义及判断两个函数相同的方法 (1)函数的含义 ①A,B是非空的实数集， ②函数只要求第一个集合A中的每个 元素在第二个集合B中有且只有一个 元素与之对应；至于B中的元素在集合 A中有无元素与之对应，有几个元素与 之对应却无所谓. ③只有深刻理解函数的概念才能在解决 此类问题时游刃有余. (2)判断两个函数相同的方法 ①构成函数的三要素中，定义域和对应 关系相同，则值域一定相同， ②两个函数当且仅当定义域和对应关系 相同时，才是相同函数 跟踪训练 1.函数f(x)=1+-x的定义域是( A.x<1且x≠0 B.x≤1且x≠0 C.(-∞，0)U(0,1] D.(-∞，0)U(0,1) ·18 第二章函数 规律方法 A.f(x)的定义域为R 函数解析式的求法 B.f(x)的值域为（一∞，4） (1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定 C.f(1)=3 系数法」 D.若f(x)=1,则x的值为士1 (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析 (2)[多选]函数D(x)= 式，可用换元法，此时要注意新元的取值 1,z∈Q称为狄利 0,x在0， 范围. 克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正 (③)消去法：已知关于f(x)与f)(或 确的是 f(一x)的关系式，可根据已知条件再 A.D(D(2)=D(D(√2)) 构造出另外一个等式，两等式组成方程 B.D(x)的值域与函数f(x)=十工的值 组，通过解方程组求出f(x), 域相同 (4)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x), C.D(x)≠D(一x) 可将F(x)改写成关于g(x)的解析式， D.对任意实数x,都有D(x+1)=D(x) 然后以x替代g(x),便得f(x)的解 规律方法 析式. 分段函数求值问题的解题思路 日跟踪训练 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应 1.[多选]下列命题中正确的有 从内到外依次求值， A.若一次函数f(x)满足f(f(x)=4x十 (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段 3,则函数f(x)的解析式为f(x)=2x十1 函数定义区间的各段上，然后求出相应 B.若f(3)=x+4x,则函数f(x)的定义 自变量的值，切记要代入检验 域为(0，十∞) :跟踪训练 C若f-)-x-是则函数f(x)的解 2x,x≥0 1.已知分段函数f(x) 析式为f(x)=x3+3. x2-x-2,x<0 f(m)=4,则实数m= () D.若函数f(x)满足关系式f(x)十2f A.2 3,则f(x)-=名- B.-2或3 C.-2或2 2.已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x) D.-2或2或3 4x+8,则f(x)= 3.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且 12x+4√3-x,x≤3 2.函数f(x)= 的 -2x+4√x-3+12,x>3 f(.x)=2 √一1，则f(x)= 值域为 () A.(-∞，8] 题型3〔 分段函数 B.(-∞，6] 工例3] [多选]已知函数f(x) C.[2,+∞) x+2,x≤-1 D.[4,+∞) x2,-1<x<2 则关于函数f(x)的结论正 C温馨提污 确的是 学习至此，请完成配套训练 课时冲关6 ·19