第1章 1.4 基本不等式（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4基本不等式 ★[考试要求] 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 复盘，必备知识 学生用书P9 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (3)“x>0且y>0”是“工+义≥2”的充要条件.(X) 1.茜本不等式：v<士 （④若a>0.则a计的级小值是2a (×) (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. 2已知>1，则x+马的最小值为 (3)其中4十也叫做正数a,b的算术平均数，√ab叫做 A.2 B.3 C.4 D.5 2 解析：B[因为x>1,所以x-1>0, 正数a,b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 所以，x十 1 x-1 =(x-1）+ 1+12 x-1 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P,那么 2√-10马+1=8，当且仅当-1 1 当x=y时，和x十y有最小值2P x-1 (2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那 时等号成立，即x=2时等号成立， 么当x=y时，积x心有最大值子S 所以十马的爱小值为3.] 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二 3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 定、三相等”. 知识拓展用活 解析：xy=1,x2+2y≥2Wx2·2y=2√2· 几个重要的不等式 √(xy)=2√2，当且仅当x2=2y2,xy=1时，等号 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). 成立 (2)b+ a 8≥2a,6同号). 答案：2√2 ). 4.(2025·上海卷)设a,b>0,a+方=1，则6十号的 最小值为一· (4b≥(a+b) 2 (2(a,b∈R). 解析：a>0,6>0a十六=1,0<a<1,6>1 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 自主诊断查验 a=1-名>0… 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） (1)函数y=x十1的最小值是2. (×) +2=4. a+b (2)ab 成立的条件是ab>0. (×) 当且仅当，己1=6-1，即)=2a= 时，等号成立 2 答案：4 跃升>关键能力 学生用书P10 核心考点分类突破 题型1 利用基本不等式求最值 2-1·4=4,当且仅当√-= ●[角度1]配凑法 √x-1 Vr-1 [例1-1] 1)函数f(x)=+3的最小值为 即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值， V-1 且最小值为4. [答案]4 [解析]函数f(=+3的定义战为Q,十0)， x-1 (2已知0<<号则x厂2的最大值为 f=-1)+4-可+4≥ x-1 √x-I ·13· 高考总复习数学 [解析] 因为0<1，所以1-2x2>0,x1-27 (2)设正实数xy,之满足x2-3xy十4y2-之=0，则当 2 少取得最大值时，2+凸 2x+1-2x=2 y 2的最大值为（ 当且 2 ·2x-2r≤2. 2 A.9 B.1 c D.3 仅当2x2=1-2x2,即x= 时等号成立. 2 [解析]x2-3.xy十4y2-x=0, [答案] ② 之=x2-3xy十4y2,又x,y,之均为正实数， y xy 1 ●[角度2]常数代换法 x2-3.xy+4y2 +4y-3 [例1-2][多选]已知a,b为正实数，且a>1,b> y 1,(a-1)(b-1)=1,则 1 -=1 A.ab的最大值为4 2层×g B.2a十b的最小值为3+2√2 (当且仅当x=2y时取“=”)， C.a十b的最小值为3-2√2 D十的最小值为2 ) =1,此时x=2y. .x=x2-3xy十4y2=(2y)2-3X2y×y+4y2=2y2, [解析]对于A,(a-1)(b-1)=1,∴.ab=a十b, 因为ab=a十b≥2√ab,√ab≥2，ab≥4（当且仅当 a=b=2时取“=”)， 当且仅当y=1时取得“=”，满足题意. 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B.由ab=a+6,得日+分-1,2a+6=（2a十 小号+片兰的凝大位为1 [答案]B (日+8》3++2>8+2当且收当a 规律方法 基本不等式求最值的常用方法 1+② ，b=1十√2时取“=”)，B正确： (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. 对于C,a+6=a+6)(日+6)=2+名+号≥4 (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常 数的形式，然后再利用基本不等式： (当且仅当a=b=2时，取“=”)，C错误； (3)条件最值的求解通常有三种方法：一配凑法；二 对子D.:a-100-1)=1.∴a十≥ 将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三 消元法 1 2√a-1D(6-D=2(当且仅当a=b=2时，取 跟踪训练 “=”),D正确。 1.[多选]设正实数a,b满足a十b=1,则 [答案]BD ●[角度3]消元法 A是十公有最小值4以，5有最小值号 [例1-3]1)已知x>2,则+的最小值为( C.√a十√b有最大值7 x-2 D.a+有最小值号 A.6 B.10 C.12 D.14 解析：AD[对于A,正实数a,b满足a十b=1, [解析]因为x>2,令t=x-2(t>0),则x=t十2， 所以士-+2)2+5_+4+1+5=1+ 所以+-a+(日+）2++号≥2+ a x-2 t t t b.4=4 4≥29+4=10， 2a'b 当且仅当a=b=号时取等号，A正确： 当且仅当1=号，即1=3时，等号成立， 所以当x=1十2=5时，士5≥10，故十5的最小 对于B,周为≤士少-=方当且仅当a=6=吉 x-21 x-2 时取等号， 值为10. [答案]B 此时Va取得最大值分，B错误： ·14· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 对于C后+6≤2X乎=区，当且仅当a= 则x+￥侣+)儿+) 名时取等号，C错送： =+华+〔+2g安) 对于D,a2+b2≥2》 2 ,当且仅当a=b 2 当且仅当红=之，即y=4x=4时取等号， y 4x 时取等号，D正确门 = 由不等式x十子<m2一m有解，得2一m>2,解得 2e复a>0,则法 的最小值为 m<-1或m>2, 所以实数m的取值范围是（一∞，一1）U(2,十∞). A.2 B.1+2√2 [答案]D C.4 D.2+2√2 规律方法 解析：D[由a>6>0,得分>1，令分=>1， 利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 则+-告1-)1+2=41+ (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值 2 ab-b2 t-1 t-1 或取值范围. (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解， +2≥2-0高+2=2+2E, 跟踪训练 当且仅当1一1=名即4=1十E时取等号， 已知正数xy满足(x-1)(y-2)=2,不等式3.x+ 2y>m恒成立.则实数m的取值范围是() 所以十0的最小值为2十2反.] ab-b2 A.(-o∞，4+6√2) B.(6+4√2，+o∞) 题型2利用基本不等式求参数的值或取值范围 C.(-∞，7+4√3) D.(8+4√3，+∞) 解析：C[因为(x-1)(y-2)=2,x>0y>0, [例2] (1)若正实数.x,y满足x十y=3,且不等式 x 所以=2x+,即宁子=1 +8>m2一2m十3恒成立，则实数m的取值范 所以由基本不等式可得3x+2y=(3.x十2y) 围是 A.{m-3<m<1} B.{mm<-3,或m>1} (2+号)++号≥1+2受-1+4. x y C.{m|-1<n<3} D.{mm<-1,或m>3} 等号成立当且仅当 2y_6x ,即 x1+2 3 =(0++）〔o+ x>0,y>0 =6,当 (x-1)(y-2)=2 y=2+√3 且仅当义=8时取等号， 综上所述，3x十2y的最小值为7十4√3， y 因为不等式3.x十2y>m恒成立， 即当x=1,y=2时，2+8取得最小值6 所以实数m的取值范围是(-∞，7十4√3).] 因不等式2+8>m2-2m十3恒成立，故m2-2m 题型3〔基本不等式的实际应用 y +3<6, [例3]数字经济是以数据资源为关键要素，以现代 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应 [答案]C 用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层 (2)若两个正实数x,y满足4x十y=2xy,且不等式x 面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智 能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零 十丫<m一m有解，则实数m的取值范围是( 售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等. A.(-1,2) B.(-∞，-2)U(1,+∞) 现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的 C.(-2,1) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本 [解析]由两个正实数x,y满足4x十y=2xy,得 士+2 100万元：@材料成本(10x十司)万元x为每月 生产人形机器人的个数 ·15 高考总复习数学 (1)该企业每月的产量为多少个时，平均每个人形 跟踪训练 机器人的成本最低，最低为多少万元？ 经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗 (2)若每个人形机器人的售价为23+号)万元，假 油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系 设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企 可近似表示为 业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低 于400万元？附：利润=售价×销量一成本. [月（x2-130.x+4900),x∈[50,80)， 75 [解](1)设平均每个人形机器人的成本为y万 12-0xe[80120]. 000+10z+501000 (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗 元，根据题意有y= 油量最低？ +10≥2 000.云+10=30， (2)已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车 10 匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗 当且仪当10-高即=10时取学号。 油量最少？ 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形 解：1)当x∈[50,80)时，y=启(-130x十 机器人的成本最低，最低为30万元. (2)授月利酒为w万元，则有w=:(23+吉) 4900)=房(x-65)产+675]，当x=65时，y有最 100-10x-i0-0+13x-1000, 小位，为方×675=9：当x∈[80,120]时，画量y 由题知 0+13x-1000≥400，整理得x2+130x 12-60 单调递减，故当x=120时，y有最小值，为 14000≥0，解得x≥70. 10.因为9<10，所以该型号汽车的速度为65km/h 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才 时，每小时耗油量最低。 能确保每月的利润不低于400万元： 规律方法 (2)设总耗油量为1，由题意可知1=y·120 当x∈ 有关函数最值的实际问题的解题技巧 [50,80)时，l=y· 120 = 8 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本 不等式求得函数的最值. 4900,即 (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定 2,×40-130=16,当且仅当x 义为函数. x=70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80， (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其 120]时，1=y·120=1440 一2为减函数，故当x= 取值范围. (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不 120时，l取得最小值，最小值为10.因为10<16， 到，可利用函数的单调性求解： 所以当速度为120km/h时，总耗油量最少. [热点强化课1] 基本不等式的拓展 学生用书P13 1.三个正数的算术一几何平均不等式 [典例][多选]三元均值不等式：“当a,b,c均为正实数 如果a,b,c∈(0，十o),那么a++≥ahc,当且 时，a++一a,即三个正数的算术平均数不小于 3 3 仅当a=b=c时，等号成立 它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时，等号成立.” 利用上面结论，判断下列不等式成立的是 2.n个正数a1,a2,…,an的算术一几何平均不等式 A.若x>0,则x2+2≥3 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于 B若0<x<1,则21-x)≤日 它们的几何平均数，即4十a十…十+a≥a42 C若>0.则2x+>3 当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立. D.若0<<1，则x1-)≤日 ·16 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [解析]对于A,x>0,x2+2=x2十1+1≥ (2)应用算术几何平均不等式定理，要注意三个 条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方 3··=3,故A正确对于B0<1, 可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式 1-x>0.x(1-)=3x·x·(2-2x)≤ 应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等， =易故B错误：对于Cx>0,2x (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函 3 数的最值可考虑利用函数的单调性. =3,故C正确；对于 跟踪训练 D,0<x<1,.1-x>0,x(1-x)2= 1 X2x(1-x) 若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy十x2的最 小值是 /2x+1-x+1-x 3 27,故D错误 A.1 B.2 C.3 D.4 [答案]AC 解析：C 名师点拨 (1)利用三个正数的算术一几何平均不等式定理求 最值，可简记为“积定和最小，和定积最大” 3√2y·zxy2=3 3(xy)=3 =3. 培优拓展2 柯西不等式 学生用书P13 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当且 当且仅当x·是=@y·二 仅当ad=bc时，等号成立). 4√11 2.二维形式的柯西不等式的变式 x=4 x=- 11 11 即 或 时等号成立， (1)Wa+b·√c2+d≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad=bc时，等号成立). b-3 11 y=3 11 (2)Wa2+b·√c2+d≥|acl+lbd|(a,b,c,d∈R,当 于是2x+y的最大值为1，最小值为一√1. 且仅当ad=bc时，等号成立). 名师点拨 (3)(a+b)(c+d)≥（√ac+√bd)2(a,b,c,d≥0，当且 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、 仅当ad=bc时，等号成立). 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法。 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 跟踪训练 |a·≤a|B(当且仅当B是零向量，或存在实 设a=(1,-2),b=(x,y),若x2+y2=16,则a·b 数k,使a=邱时，等号成立) 的最大值为 [典例]已知xy∈R,3x2+2y2≤6，求2x十y的最值. 解析：a=(1,-2),b=(x,y), [解]方法一由柯西不等式得 ∴.a·b=x-2y. e+≤[[+] 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, =(x+2(+号1 即5×16≥(x-2y)2, .-4√5≤x-2y≤4V5,(*) 当且仅当x·二 当且仅当b=ka, =4 4√1 x=4⑤ 51 11 11 即 时，(*)式中右边等号成立， 即 或 时等号成立， 3W1 3√11 y8 11 11 x=- 45 于是2x十y的最大值为W√11，最小值为一√11. 方法二 由柯西不等式得|2x十y≤ 时，()式中左边等号成立， (3x)2+(W2y)2 +周 =8时ab的张大位为45 当x=45 5 /3.x2+2y2) ≤1II, 答案：4√⑤ ·17·