第1章 1.2 常用逻辑用语（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §1.2 常 ★[考试要求] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判 要条件的关系，2.理解全称量词和存在量词的意义，能 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p→q,则p是g的充分条件，g是力的必要条件 力是9的充分不必要条件 p→q且q护p p是q的必要不充分条件 pPq且q→p p是q的充要条件 台g p是q的既不充分也不必要条件 pPq且qPp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通 常叫做全称量词，并用符号“Y”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词，并用符号“了”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 对M中任意一个x, 存在M中的元素 结构 p(x)成立 x,使p(x)成立 简记 Hx∈M,p(x) ]x∈M,p(.x) 否定 ]x∈M,(.x) Hx∈M,p(x) 知识拓展用活 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 A=(x p(x)),B=(xlq(x)). ①若p是q的充分条件，则A二B: ②若p是q的充分不必要条件，则A手B; ③若p是q的必要不充分条件，则B军A; ④若p是q的充要条件，则A=B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定 结论” 3.命题p与力的否定的真假性相反. 跃升>关键能力 题型1 充分、必要条件的判定 [例1](1)“a3<b3”是“2026<2026<1”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 用逻辑用语 定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充 正确对两种命题进行否定. 学生用书P4 打通教材逐点夯实 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“、√”或“×”） (1)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词. () (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (/) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题.(×) (4)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（√/） 2.[多选]下列命题中，是全称量词命题且是真命题 的是 ( A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.实数都可以写成小数形式 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析：AC[A选项中，“任何”是全称量词，它是 全称量词命题，且为真命题；B选项中，“都”是全 称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数， 不是正整数，故该命题是假命题；C选项中， “都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命 题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量 词命题.] 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x十1，x),b=(x,2),则 A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1十√3是a∥b的充分条件 解析：C[若a⊥b,则x(x+1)十2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=-3, .A错，C对；若a∥b,则2(x+1)-x2=0,即x2 2x-2=0,解得x=1土√3，故B、D错.] 4.“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范 围为 A.(3,+∞) B.(-∞，2) C.(-∞，2] D.[0,十∞) 解析：B[由题意得，{xx≥2}是{xx≥a}的真子 集，故a<2.] 学生用书P5 核心考点分类突破 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]因为y=x3在定义域R上单调递增，由 a3<b3可得a<b, 因为y=2026”在定义域R上单调递增，由2026< 2026<1可得a<b<0, 6 所以由a3<b3推不出2026<2026<1，即充分性 不成立； 由2026<2026<1推出a3<b3,即必要性成立； 所以“a3<b3”是“2026<2026<1”成立的必要不 充分条件. [答案]B (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内 容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积， “势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如 在等高处的截面积相等，则体积相等.设A,B为两 个等高的几何体，p:A、B的体积相等，9：A、B在同 一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的 () A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 [解析]已知A,B为两个等高的几何体，由祖暅 原理知q→p,而力不能推出q,可举反例，两个相同 的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高 且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则 是q的必要不充分条件. [答案]C 规律方法 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据→q,q→p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p,9成立对应的集合之间的包含 关系进行判断 (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列 的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条 件是否成立为止， 跟踪训练 1.不等式2x2-5.x一3<0成立的一个必要不充分条 件是 () A.-3Kx<号 B-<K3 C.-1<x3 解析：C[2x2-5x-3<0,-号<x<3, 观察回个选项可知(-名3)是（一1,3）的真子桑， 故“-1<x<3”是“不等式2x2-5x-3<0”成立的 一个必要不充分条件.] 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 2.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2.x=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A[由x=0→sin2.x=sin0=0,由sin2x =0→2x=kx,x经，k∈Z不一定为x=0 ∴.sin2.x=0px=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 题型2{ 充分、必要条件的应用 [例2](1)命题“Hx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命题 的一个充分不必要条件是 A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 [解析]命题“Hx∈[1,2]，x-a≤0”为真命题，可 化为“Vx∈[1,2]，a≥x2”恒成立，即只需a≥(x2)mx 4,即“Vx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命题的充要条件为 a≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即为集合 {aa≥4}的真子集，由选项可知C符合题意. [答案]C (2)已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S {x1-m≤x≤1十m}.若x∈P是x∈S的必要条 件，则m的取值范围为 [解析]由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10， 故P={x|一2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S二P. f1-m1+m, 则{1-m≥-2，.0≤m≤3. 1+m≤10， .当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所 求m的取值范围是[0,3]. [答案][0,3] 规律方法 根据充要条件求解参数范围应注意的2点 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解. (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点 值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求 解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号 决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或 增解的现象。 高考总复习数学 跟踪训练 1.已知p:x≥a,q:x十2a<3,且p是q的必要不充 分条件，则实数a的取值范围是 A.(-o∞，-1] B.(-∞，-1) C.[1,+o∞) D.(1,+o∞) 解析：A[因为q:x+2a<3, 所以q:-2a-3<x<-2a十3， 记A={x|-2a-3<x<-2a+3}, p:x≥a,记为B={xx≥a}. 因为卫是q的必要不充分条件，所以A二B, 所以a≤-2a-3,解得a≤-1.] 2.若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件是 1<x<2,则实数a的取值范围是 解析：由(x-a)2<1得a-1<x<a十1. 因为1<x<2是不等式(x一a)2<1成立的充分不 必要条件， 1a-1≤1， 所以满足 且等号不能同时取得， 0a+1≥2 即/as2. 解得1≤a≤2. (a≥1， 答案：[1,2] 题型3 全称量词与存在量词 ◆[角度1]含量词的命题的否定 [例3-1](1)命题“3x≥0，e-1≥x”的否定是 ( A.3x<0,e-1<x B.3x≥0，e-1<x C.Yr<0,e-1<x D.Hx≥0，e-1<x [解析]命题“了x≥0，e一1≥x”的否定是“Vx≥ 0,e-1<x”. [答案]D (2)命题“Hx∈[0，十o∞)，x3十x≥0”的否定是 ( A.Hx∈(-o∞，0)，x3十x<0 B.Hx∈(-o∞，0)，x3+x≥0 C.3x∈[0，十o∞)，x3+x<0 D.3x∈[0，+o∞)，x3十x≥0 [解析]全称量词命题的否定是存在量词命题，所 以，命题“Hx∈[0，十∞)，x3十x≥0”的否定是了x ∈[0，+∞)，x3+x<0. [答案]C [角度2]含量词的命题的真假判断 [例3一2][多选]下列命题中，为真命题的是() A.Vx∈R,2-1>0 B.x∈R,x2+12x C.Hxy>0,x+y≥2xy D.3,yER,sin(x+y)=sin x+sin y [解析]对于A项，Vx∈R,2-1>0,A项正确； 对于B项，x2十1-2x=(x-1)2≥0， .x2十1≥2x,B项错误；对于C项，当x<0,y<0 时，x十y<0<2√xy,C项错误；对于D项，取x= y=0时，则sin(x十y)=sin(0+0)=sin0十sin0 =sinx十siny,D项正确. [答案]AD [角度3]含量词的命题的应用 [例3-3](1)若命题“了x∈R,x2-2x十m<0”为 真命题，则实数m的取值范围为 [解析]由题意可知，不等式x2-2x十m<0有 解，.△=4一4m>0,m<1,∴.实数m的取值范围 为(-∞，1). [答案](-∞，1) (2)已知命题“Hx∈R,ax2-a.x+1>0”为真命题， 则实数a的取值范围是 [解析]由题意得不等式a.x2-ax十1>0对x∈R恒 成立.①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符 合题意. ②当a≠0时，若不等式a.x2-ax十1>0对x∈R 恒成立，则/>0， 解得0<a<4. △=a2-4a<0, 综上，实数a的取值范围是[0,4). [答案][0,4) 规律方法 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要 判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成 立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先 判断其否定的真假， (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的 真假求参数的范围；二是可利用等价命题. 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 !跟踪训练 C.若命题“3x∈R,x2+(a-1)x十1<0”的否定是 1.已知命题p:Hx∈R,e+er≥2，命题q:3x∈ 假命题，则实数a的取值范围是（一1,3） (0,10)Wx(10-x)>5,则 D.yx∈R.2a+ar-<0”是真命愿，则-3≤ A.命题p与g均为真命题 a≤0 B.命题p与q均为真命题 解析：AD[对于A,“Hx∈R,3x2-2≥0”的否定 C.命题力与q均为真命题 是“3x∈R,3.x2-2<0”,故A正确； D.命题p与g均为真命题 对于B,log3(2x+1)>2,即1og3(2x+1)>log9, 解得x>4, 解析：B[Vx∈R,e>0,er>0,则e+er≥ 因为x>4→x>3所以“x>3”是“10g3(2x+1)>2” 2/e·e=2,当且仅当x=0时取等号，故力为真 的必要不充分条件，故B错误； 命题； 对于C,命题的否定是假命题，则命题“]x∈R,x 当x∈(0,10)时wx10-≤+10-工=5，当且 十(a-1)x+1<0”是真命题，即△=(a-1)2-4>0, 2 解得a>3或a<-1,故C错误； 仅当x=5时取等号，故g为假命题，q为真命 题，所以命题力与一g均为真命题，B正确.] 对于D,因为yx∈k,2ar十ax-号≤0”是真命 2.[多选]以下说法正确的是 题，即2ar2+a-<0,对Yx∈R位成主，当a=0 A.“Vx∈R,3.x2-2≥0”的否定是“了x∈R,3x2 2<0” 时，命题成立；当a≠0时，<0 ,解得一3 A=a2+3a≤ B.“x>3”是“1og3(2x十1)>2”的充分不必要条件 ≤a<0,综上可得，一3≤a≤0，故D正确.] §1.3等式性质与不等式性质 ★[考试要求] 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 复盘>必备知识 学生用书P7 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 性质4可乘性：a>b,c>0→ac>bc, a>b,c<0→ac<bc; 1.两个实数比较大小的方法 性质5同向可加性：a>b,c>d→a十c>b十d: a-b>0台a≥b, 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ 作差法{a-b=0台a=b,(a,b∈R) ac=bd>0; a-b<0台a<b. 性质7 同正可乘方性：a>b>0→a”>b"(n∈N, 2.等式的性质 n≥2). 性质1对称性：如果a=b,那么b=a; 知识拓展用活 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c; 1.倒数性质 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a土c=b士c； 若ab>0,则a>b→1<1 ab i 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么a=b 若a0,则a>6>行 2.分数性质 3.不等式的性质 若a>b>0,m>0,则 性质1对称性：a>b台b≤a; (1)真分数性质：<士m,>-m(6-m>0): aa十m'aa-m 性质2传递性：a>b,b>c→a>c; 性质3可加性：a>b台a十c>b+c; (2)假分数性质：号>8：号<号识（6-m>0. 9