第三章 第2节 利用导数研究函数的单调性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第2节 利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1.了解函数的单调性与导数的关系， 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 3.能利用导数解决有关不等式、参数等问题. 复盘必备知识 学生用书P49 打通教材强基固本 必备知识掌握 解析：A[当x∈（一3,0）时，f'(x)<0,则f(x)在 1.函数的单调性与导数的关系 (一3,0)上是减函数，其他判断均不正确.门 函数y=f(x)在某个区间内可导： 2.已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)>0, 一点P(xo,y)处的切线方程为y=(x十+x。一2)x 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； +(y。一x8-x+2.xo),那么函数f(.x)的单调递减 (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)<0, 区间为 则在这个区间内，函数y=f(.x)单调递减； A.(-2,1) B.(-1,2) (3)若在某个区间内，f(x)≥0且只在有限个点为0， C.(-∞，-2) D.(1,+∞) 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； 解析：A[由图象上任意一点P(x,yo)处的切线 (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点为0， 方程为y=(x十xo-2)x十(yo-x8-x十2xo), 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 知f(x)的导数为f'(x)=x2十x-2, 2.求函数单调区间的步骤 令f'(x)<0,解得-2<x<1.] (1)求定义域 3.(BSD选择性必修第二册P练习T,改编)已知定 (2)求导. 义在区间（一r,π）上的函数f(.x)=asin x十cosx, (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求 则函数f(x)的单调递增区间是 单调递减区间 解析：f'(x)-sinx十xcos x-sinx=xcos x, …重要结论· 令f'(x)=xcos x>0,则其在区间（一π，π）上的解 1.f(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递 增（或递减）的充分不必要条件； 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(x)≥0 增区同为（一，一）和(：受》 (或f(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增（或递 减)的充要条件. 自主诊断查验 4.f'(x)是f(x)在区间[a,b]的导函数，则“在区间 (a,b)内f(x)>0”是“f(x)在该区间内单调递增” ◆[思考辨析] 的 条件. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 解析：一般地，由f'(x)>0能推出f(x)为增函数， 打“√”，错误的打“X”. 反之，则不一定.如函数f(x)=x3在区间（一∞， (1)f(.x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( 十∞)上单调递增，但是(x)≥0，因此f'(.x)>0 (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象 是函数f(x)为增函数的充分不必要条件. 就越“平缓”. ( 答案：充分不必要 (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则 f(x)在此区间内为常数函数. 5.(忽视端点取等号致误)若y=x十4(a>0)在 (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的单 [2,十o∞)上单调递增，则a的取值范围是 调递增区间意义不一样. ( ) [答案](1)×(2)× (3)/(4)/ 解析：法-：由-1≥0，得<-。或x≥ ◆[小题查验] 1.如图所示是函数f(x)的导函 y=x+2的单调递增区同为（一，-a].[a,+o), 数(x)的图象，则下列判断 函数在[2，十∞)上单调递增， 中正确的是 () ∴.[2，十o∞)[a,十∞)，∴a≤2.又a>0,∴.0<a≤2. A.函数f(x)在区间(-3,0) 上是减函数 1号，像超求1一0 B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 在x∈[2，十∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立， C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 x∈[2，十o∞)，.x2≥4，a2≤4，又a>0, D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 .0<a≤2. 答案：(0,2] ·76· 主题二第三章导数及其应用 跃升>关键能力 学生用书P50 题型突破素养提升 题型1 利用导数求函数的单调区间 (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 [典例] (1)已知f(x)=3x2+6x-6e+5,则函数 f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的 f(.x)的单调减区间为 符号，从而确定单调区间 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区 A.(1,+∞) B.(ln3,+o∞) C.(-o∞，ln3) D.(-∞，十∞) 间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用“，” [解析]由题可知，f(x)=3x2十6x-6e+5, “和”字隔开： 且f(x)的定义域为R, 日跟踪训练 则f'(x)=6.x+6-6e=6(x+1-e), 1.函数f(x)=x·e'一e+1的递增区间是 ( 令g(x)=x+1-e,则g(x)=1-e,x∈R, A.(-oo,e) B.(1,e) 当x∈(-∞，0)时，g'(x)>0,当x∈(0，十∞)时， C.(e,+∞) D.(e-1,+o∞) g'(x)<0, 解析：D[由f(x)=x·e-e+1,得f(x)=(x 所以g(x)在（一o∞，0）上单调递增，g(x)在(0，十∞)上 十1-e)·e,令f(x)>0,解得x>e-1,所以函 单调递减， 数f(x)的递增区间是(e-1,十o∞).] 则g(x)的最大值为g(0)=0, 2.已知函数f(x)=x2-(1nx)2.讨论函数f(x)的单 故g(x)≤0恒成立，故f(x)≤0在R上恒成立， 调性. 所以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的单调减 解：因为f(x)=x2-(1nx)2,其中x∈(0，十o∞)， 区间为（一∞，十∞）. 则f(x)=2x-2lnx. [答案]D (2)已知函数f(x)=(x-2e2)lnx-x-2e2.讨论 设g(x)=2x- r)-2(2'+In-1 x x f(x)的单调性， [解]函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 令6x)=+n-1,可得N()=2x+>0恒 f(x)=(x-2e2)In x-x-2e2, 成立， 所以f(x)=_2c+1n, 所以h(x)为(0，十o∞)上的增函数，且h(1)=0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 设gx)=fr)=-20+1n,周为y=-2g 递增，所以g(x)mn=g(1)=2, y=lnx都在(0，十∞)上单调递增， 所以f(x)mm=2>0,所以f(x)>0,所以f(.x)在 所以g(.x)在(0，十∞)上单调递增，且g(e2)=0, (0,十∞)上单调递增. 所以x∈(0，e2)时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调 题型2（利用导数判断或证明函数的单调性 递减； x∈(e2,+oo)时，g(x)>0,f(x)>0,f(x)单调 [典例们 已知f(x)=a(x-ln)+2x1,a∈R.讨 递增 论f(x)的单调性 所以f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e,十∞)上单 [解]f(x)的定义域为(0，十∞)， 调递增 f(x)=a-g-名+2=am2-2)(x-D 方法指导 x x 当a≤0时，x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调 利用导数求函数单调区间的方法 递增， (1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0或 x∈(1，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减. f(x)<0求出单调区间. (2)当方程f'(x)=0可解时，解出方程的实根，依 照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定 各区间'(x)的符号，从而确定单调区间. 77 高考总复习数学(BS)》 当x∈(0,1)或x∈ 时，f(x)>0,f(x) ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0成立当且仅当 x=0,f(x)在(-1，十o∞)上是增函数. 单调递增， ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则f(x)>0,f(.x)在 (-1,0)上是增函数； 若x∈(0，a-2a),则f(.x)<0,f(x)在(0，a-2a) ②当a=2时 2 =1,在x∈(0，十∞)内，f(x)≥0， 上是减函数； 若x∈(a2-2a,+o∞)，则f'(x)>0,f(x)在 f(x)单调递增 (a2-2a,十∞)上是增函数. 四>2时，0<层<1，当repV月 或x∈ 题型3〔 函数单调性的简单应用 (1,十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增 [命题点1]比较大小或解不等式 当e(/g1)时f<f调成 1.(多选)已知定义在(0，)上的函数fx,f)是 综上所述，当a≤0时，f(.x)在(0，l)上单调递增，在 f(x)的导函数，且恒有cos xf'(x)十sin af(x)<0 (1,十∞)上单调递减； 成立，则 当0<a<2时，f(x)在(0,1)上单调递增，在 A()E(》 B()Pf() er>() DErP5( 当a=2时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； 解析：CD 当a>2时，f(x）在 上单调递增，在 [设g(x)=fx) cos 贰侣]小上*调道减在+)上辛弱毛特 则g(x)= f(x)·cosx+f(x)·sinx cos a 方法指导 因为x∈(0，）时，osf)+snxf)<0, 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f'(x): 所以c(6时 (2)确认f(x)在(a,b)的符号； f(x)·cosx+fx)·sin<0. (3)下结论：f'(x)>0时为增函数；f(x)<0时为 减函数 因此g()在(0，受)上单调递减， 易错警示 所以s()()(》() 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值 对不等式解集的影响进行分类讨论 跟踪训练 c 3 讨论函数)=lh(x+1)-4千。a>1)的单 调性。 恩昼} 解：f(x)的定义域为(-1，十o), f'(x)=x-(a2-2a)] 2.已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为子(x), (x+1)(x十a)2 当x>0时，若xf(x)-2f(x)>0,f(-3)=1,则 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a2-2a),则f(x)>0, f(.x)在(-1，a2-2a)上是增函数； 不等式②<行x的解集是 若x∈(a2-2a,0),则f(x)<0,f(x)在(a2-2a,0) A.(-o∞，-3)U(0,3) 上是减函数 B.(-3,3) 若x∈(0，十o∞)，则f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上是增 C.(-3,0)U(0,3) 函数. D.(-∞，-3)U(3,十∞) ·78. 主题二第三章导数及其应用 解析：A[的造高数x)=,g()=· (8)对于xf(x)-nf(.x)>0(x≠0)型，构造F(x) f,则F(x)=f()-nf(注意对 if'()-2f(z)_f()-2f(z) x" x+1 x x+1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时， 当x>0时，xf'(x)-2f(x)>0,故g'(x)>0, xf(x)-f(x)>0,构造F(x)=f),则 g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又f(x)为偶函教，y=马为偶函数， F'(x)=f'(x)-fx2>o. x (9)对于不等式f'(x)十f(x)>0(或<0)，构造函 所以gx)=巴为锅函数，在（一，0》单调递成。 数F(x)=ef(x). (10)对于不等式f(x)-f(x)>0(或<0)，构造函 f(-3)=1,则f(3)=1,g(-3)=g(3)=f3) 32 数F(x)=f) e 1.f(x)1 9 9x, [命题点2]已知函数的单调性求参数的取值 范围 当x>0时，即f<1 日g(x)<号-=g(3),所以 [母题]已知函数f(x)=x3-ax-1. x∈(0,3)； (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 当x<0时，即f(x1 范围. x∈(-∞，-3). 破题关键点](1)讨论f(x)的符号是正的还 是负的； 综上所述，x∈(-©∞，-3)U(0,3) (2)转化为f(x)≥0在(-o∞，十∞)上恒成立： 解题技法 [解](1)f'(.x)=3.x2-a. 构造法解f(x)与f'(.x)共存问题 ①当a≤0时，f'(x)≥0， (1)对于不等式f'(x)十g'(x)>0(或<0)，构造函 所以f(x)在（一∞，十∞）上为增函数 数F(x)=f(x)十g(x). @当a>0时，令3x2-a=0,得x=士 3 (2)对于不等式f(x)-g'(x)>0(或<0)，构造函 数F(x)=f(x)-g(x)； 当>受成<时f)>0: 特别地，对于不等式f(x)>k(或<k)(k≠0)， 当 构造函数F(x)=f(x)一k.x. <<时f)0, (3)对于不等式f'(x)g(x)十f(x)g'(x)>0(或< 因此f)在(，园〔+小上为8 0),构造函数F(x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或< 函数，在一 0,构流质数FC-g)≠0 综上可知，当a≤0时，f(x)在(-∞，十o∞)上为增 函数； (5)对于不等式xf(x)十f(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=xf(x). 当a0时，〔，会停 (6)对于不等式xf'(x)-f(x)>0(或<0)，构造 函数F()=f)(x≠0). 为增函，在〔-受上为高数。 (2)因为f(x)在(-∞，十∞)上是增函数， (7)对于xf(x)十nf(x)>0型，构造F(x) 所以f'(x)=3x2-a≥0在(-o∞，十o∞)上恒成立， x"f(x),则F'(x)=x-[xf(x)+nf(.x)](注 即a≤3.x2对x∈(-o∞，十o∞)恒成立. 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 意对x”1的符号进行讨论)，特别地，当n=1 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在 时，xf'(x)十f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则 (-o∞，十o∞)上是增函数，所以a≤0，即a的取值 F'(x)=xf'(x)十f(x)之0： 范围为(-∞，0]. ·79· 高考总复习数学(BS) [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，十∞) 上为增函数，求a的取值范围. 解折：C[f-二f)2, 解：因为f(x)=3.x3-a,且f(x)在区间(1，+o∞) 令f'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e, 上为增函数，所以f(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调 即3x2-a≥0在(1，十∞)上恒成立， 所以a≤3x2在(1，十o∞)上恒成立，所以a≤3， 递减，因为c=2h2lh心n2_h 即a的取值范围为(-∞，3]. e e e [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1)上 =f)且a==f2).=。=fe 为减函数，试求a的取值范围. 解：由f(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得 则fe>f()>f2,即a<c<6.] a≥3x2在(-1,1)上恒成立. 2.已知f(x)的定义域是(0，十o∞)，f'(x)为f(x)的 因为-1<x<1,所以3.x2<3,所以a≥3. 导函数，且满足f(x)<f(x),则不等式ef(x2+ 即当a的取值范围为[3，十o∞)时，f(x)在(-1,1) 上为减函数 x)>e-2f(2)的解集是 ( [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 A.(-2,1) B.(-∞，-2)U(1,+∞) (-1,1),求a的值 C.(-1,2) D.(-o∞，-1)U(2,+o∞) 解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 解析：B [令A()=t2,则k(x) -1即a=3 3,3 [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1)上 (x)一f)>0,所以函数h(x)在区间(0，+o∞） 不单调，求a的取值范围. 上单调递增，所以ef(.x2+x)>e-2f(2)台 解：，f(x)=x3-ax-1,.f(x)=3x2-a fx2+x2>f22=h(.x2+x)>h(2)9x2+x>2, 由f(x)=0,得x=土30(a≥0). e2 3 解之得x<一2或x>1,即原不等式的解集为 :f(x)在区间(-1,1)上不单调， (-∞，-2)U(1,+∞).] 0<8@<1,得0<a<3, 3 3.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)=a+ 即a的取值范围为(0,3). (1十a)在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 规律总结 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 解析：由函数的解析式可得f(x)=a'lna十（1十 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b) a)1n(1十a)≥0在区间(0，十o∞)上恒成立， 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递 则a+ain+-a≥-aa,即f19）≥ 增，则f(x)≥0；若函数单调递减，则f(x)≤0” Ina 、在区间(0，十∞)上恒成立， 来求解。 In(1+a) 易错警示 f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都 故ln(1+a)>0, 有f'(.x)≥0且在（a,b)内的任一非空子区间上 ln(a+1)≥-lna, f(x)不恒为0，应注意此时式子中的等号不能省 故 即/a(a+1)≥1， 10<a<1, {0<a<1, 略，否则漏解。 跟踪训练 故5,1≤a<1, 2 1,已知a= ,6=云=22，则这三个数的大 e 特合港高可臀实款云的取值枪网光[二， 小关系为 ( ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b ·80