第一章 第2节 常用逻辑用语（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第2节常用逻辑用语 ★[课程标准] 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义： 2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定， 复盘>必备知识 学生用书P4 打通教材强基固本 必备知识掌握 白主诊断查验 1.命题的概念 ◆[思考辨析] 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 打“/”，错误的打“X”. p是q的充分条件，q是力的必 (1)命题力的否定的否定是. ( p→q 要条件 (2)若力是q成立的充分条件，则q是p成立的必 要条件 力是q的充分不必要条件 p→q且qPp (3)若p是g成立的充要条件，则可记为台4.( 力是q的必要不充分条件 pPq且q→p (4)“了x∈M,x具有p(x)”与“Vx∈M,p(x)” 的真假性相同. ( p是q的充要条件 pq (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量 p是9的既不充分也不必要条件 护q且qPp 词命题. ( 3.全称量词命题、存在量词命题 (6)“对顶角相等”是全称量词命题. ( (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质 答案：(1)/(2)/(3)/(4)×(5)/(6)/ 的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有” ◆[小题查验] “每一个”“任意”“一切”这样的词叫作全称量词， 1.(BSD必修第一册P1s练习T1改编)“xy>0”是 用符号“V”表示 “x<0,y<0”的 A.充分不必要条件 (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命 B.必要不充分条件 题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有 C.充要条件 一个”“存在一个”这样的词叫作存在量词，用符号 D.即不充分也不必要条件 “了”表示。 解析：B[因为xy>0不能推出x<0,y<0,但x<0, 4.全称量词命题、存在量词命题的否定 y<0能推出xy>0,所以“xy>0”是“x<0,y<0”的必 量词命题 量词命题的否定 结论 要不充分条件.] Vx∈M,x具 x∈M,x不全称量词命题的否 2.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D,则 有性质p(x) 具有性质(x)定是存在量词命题 “函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在xo ]x∈M,x具Hx∈M,x不存在量词命题的否 ∈D,使得|f(xo)|>M”的 ( 有性质p(x) 具有性质p(x)定是全称量词命题 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ·重要结论。 C.充分必要条件 1.在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推 D.既不充分也不必要条件 小，如x>2(小范围)→x>1(大范围)，x>1(大范 解析：A[若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈ 围)x>2(小范围). R,一定存在x1∈D,使得|f(x1)|=M十1， 2.充要关系与集合的子集之间的关系 取xo=x1,则|f(xo)川=|M十1>M,充分性成立； A=(xp(x)),B=(xlg(x)), 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1 (1)若A二B,则p是q的充分条件，9是p的必要条件. ∈D,使得f(x1)=M+1, (2)若A军B,则p是q的充分不必要条件，g是p的 取x。=x1,则|f(xo)|=|M十1>M,但此时函数 必要不充分条件. f(x)的值域为(0，十∞)，必要性不成立； (3)若A=B,则p是q的充要条件. 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论” 在x。∈D,使得|f(x。)|>M”的充分不必要条件.] 6 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x十1，x),b= 解析：x(x-1)=0→x=0或x=1,即x(x-1)=0 (x,2),则 不一定有x=1成立； A.x=一3是a⊥b的必要条件 但x=1能推出x(x-1)=0成立.故“x(x-1)= B.x=一3是a∥b的必要条件 0”是“x=1”的必要不充分条件. C.x=0是a⊥b的充分条件 答案：必要不充分 D.x=-1十V3是a∥b的充分条件 5.(忽视二次项系数的讨论)命题“Vx∈R,ax2-ax 解析：C[若a⊥b,则x(x+1)+2x=0, +1>0”为真命题，则实数a的取值范围是 即x2十3x=0,解得x=0或x=-3, ∴.A错，C对；若a∥b,则2(x+1)-x2=0,即x2 解析：①当a=0时，1>0恒成立，∴a=0满足条件， 2x-2=0,解得x=1土√3，故B、D错.] ②当a≠0时， a>0, 4.“x(x-1)=0”是“x=1”的 条件（选填“充 △=a2-4a<0, 解得0<a<4,综 分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也 上，0≤a<4. 不必要”). 答案：[0,4) 跃升>关键能力 学生用书P5 题型突破素养提升 题型1{ 充分、必要条件的判定 2.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2.x=0”的 ( ) 1.若xy≠0，则“x十y=0”是“义+工=一2”的( A.充分不必要条件 x y B.必要而不充分条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 考题解读]本题以两个等式为载体设置题目，考查 解析：A[由x=0→sin2.x=sin0=0,由sin2.x=0 逻辑推理，数学探索能力.充分必要条件是高考命制 →2x=kxx=经，k∈7不一定为x=0, 创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有 一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力. .'sin 2x=0=0, .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 解析：C[解法一：充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 3.(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题，其中真命 所以x=-y,所以乙+义=二义十义=一1一1= 题是 一y A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 一2，所以充分性成立； B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 必要性：因为xy≠0，且工十义=-2，所以x2十y C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a十5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 =-2xy,即x2十y2+2xy=0,即(x十y)2=0,所以 解析：CD[对于A,因为“a=b”时，ab=bc成立，ac= x十y=0.所以必要性成立. bc,c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc” 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“十义=一2”的充 的充分不必要条件，故A错误；对于B,a=一1，b= y 2,a>b时，a2<b；a=-2,b=1,a2>b2时，a<b,所以 要条件。 “a>b”是“a>b2”的既不充分也不必要条件，故B错 解法二：充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 误；对于C,因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a 所以之+义=2+y2=x+y+2xy-2 <5”是“a<3”的必要条件，C正确；对于D,“a十5是无 xy 理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.门 (x十y)2-2xy=一2xy=一2，所以充分性成立； 题后反思 xy xy 判断充分、必要条件的3种方法 必要性：因为xy≠0，且工十义=一2， (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断，适用于定 义、定理判断性问题. 所以之+y=2+y=+y+2xy-2x (2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包 y xy 含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范 (x+y2-2x型=(z+)-2=-2, 围的推断问题。 xy xy (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列 所以+》=0，所以(x十y)=0,所以x十y=0, 的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条 件是否成立为止· 所以必要性成立 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之间关系 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“之+义=一2”的充 的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与 y “A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解 要条件.] “饣的一个充分不必要条件是g”的含义： 高考总复习数学(BS)》 题型2利用充要条件求参数的取值（范围） 题型3〔 全称量词命题与存在量词命题 [典例]已知集合A={x|x2-8.x-20≤0}，非空集 [命题点1]全称量词命题与存在量词命题的真假 合B={x1-m≤x≤1十m}.若x∈A是x∈B的 判断 必要条件，求m的取值范围. 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,|x+1 [解]由x2-8.x-20≤0，得-2≤x≤10， >1;命题g:3x>0,x3=x,则 .A={x|-2≤x≤10}. A.p和q都是真命题 由x∈A是x∈B的必要条件，知B二A. B.一p和q都是真命题 ,1-m≤1+m, C.p和g都是真命题 则1-m≥-2，.0≤m≤3. D.7p和7g都是真命题 （1+n≤10， 解析：B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知 .当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所 q真，所以选B.] 求m的取值范围是[0,3]. 2.下列命题中，真命题是 O[互动探究] 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不 A月x∈p,5引sinr+cosr≥2 充分条件”，求m的取值范围. B.Vx∈(3，+oo),x2>2.x+1 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知B军A, C.3x∈R,x2+x=-1 1-m≤1+m, 1-m≤1+m, ∴.1-m≥-2，或1-m>-2, D.Ye(管小an>snt （1+n<10 (1+m≤10， 解得0≤m≤3或0≤m<3, 解析：B[对于选项A,sinx十cosx=2sin+) .0≤m≤3， ≤√2，所以此命题不成立；对于选项B,x2一2x一1= 故m的取值范围是[0,3]. (x-1)2-2,当x>3时，(x-1)2-2>0,所以此命 方法指导… 题成立；对于选项C,x十x十1= (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充 要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之 所以x十x=一1对任意实数x都不成立，所以此命题 间的关系列出关于参数的不等式求解. 不成立；对于选项D,当x∈ (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若一力是 (时，mx<0,sinx 一g的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则力是 >0,命题显然不成立，] 9的必要不充分（充分不必要、充要）条件. 题后反思 1跟踪训练 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 1.若“|x十1|=2”是“1og2x十2=a”的必要不充分条 命题名称真假 判断方法一 判断方法二 件，则实数a= ) 全称量词 真 所有对象使命题真 否定为假 A.3 B.2 C.1 D.0 命题 假 。存在一个对象使命题假 否定为真 解析：B[解|x十1=2得x=1或-3，设集合A ={1,一3}，方程1og2x十2=a的解集为集合B,则 存在量词 真 存在一个对象使命题真否定为假 B军A且B≠☑，所以B={1}或B={-3}.当B= 命题 假 所有对象使合题假 否定为真 (1}时，log21+21=a,所以a=2;当B={-3}时， 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题， 不成立.] 若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的 2.若(x一a)2<4成立的一个充分不必要条件是1十 真假. 。1≤0，则实数a的取值范围为 2-x [命题点2]含有一个量词的命题的否定 A.(-o∞，4] B.[1,4] 1.已知命题p:Hx≥0，e≥1或sinx<1,则p为 C.(1,4) D.(1,4] ( 解析：D[由(x-a)2<4,可得a-2<x<a+2; A.]x<0,e<1且sinx≥1 由1+2<0，则90：》0. B.门.x≥0，e'<1且sinx≥1 {2-x≠0， C.]x≥0，e<1或sinx≥1 可得2<x≤3； D.3x<0,e≥1或sinx≤1 ,(x一a)2<4成立的一个充分不必要条件是1十 解析：B[命题是全称命题，因为命题p:Hx≥0， 08:可径1<≤4. e≥1或sinx<1,所以p:3x≥0，e<1且sinx {a+2>3, ≥1.] ·8· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 2.已知命题：“存在x∈[1，+∞)，使得(log23)> [解析]当x∈[0,3]时，f(x)m=f(0)=0,当x 1”,则下列说法正确的是 A.7:“任意x∈[1，十o∞)，使得(10g23)<1” ∈[1.2]时，g)m=g(2)=-m,由f(x)m≥ B.:“不存在x∈[1，十o∞)，使得(log23)<1” g(x)n,得0≥-m,所以m≥，即实数m的取 C.:“任意x∈[1，+∞)，使得(1og23)≤1” D.:“任意x∈(-o∞，1)，使得(10g23)≤1” 值范国为片十∞】 解析：C[因为存在量词命题的否定是全称量词命 [答案] + 题，所以p:“任意x∈[1，十o∞)，使得(1og3)≤1”.] 。[互动探究] 题后反思 若将本例(2)中“3x2∈[1,2]”改为“Vx2∈[1,2]”， 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 其他条件不变，则实数的取值范围是 定的区别 解析：当x∈[1,2]时，g(x)=g1)=是-m, 1 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定 有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题 由f(x)n≥g(x)mx,得0≥号 时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在 -mm≥即实 量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题 数m的取值范国为[2，十∞ 的否定只需直接否定结论即可. 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的 答案：[2，+∞) 量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定. 方法指导 ◆[命题点3]参数的取值范围问题 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可 根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决， [典例] 1(多远岩1x∈[22小使得2x-+ 日跟踪训练 1<0成立是假命题，则实数入可能取值是( 1.已知命题“Vx∈[1,4]，c-2 一m≥0”为真命题 A.2 B.2√2 C.3 n.号 则实数m的取值范围为 [解标]：若“3x∈[合2]，使得2x2-x+1<0 A.(-∞，e-2] B-∞，e'- 成立”是假命题， C.[e-2,+o∞) D.[e' 即“3x[22]使得心2z+成立”是假命题， 解析：A[因为命题“Vx∈[1,4]，e-2 -m≥0” 即等价于“Hx合2使得≤2x+是成主”是 为真命题，所以x∈[1,4]，m≤e-2 真命题」 令f(x)=e-2x∈[1,4]y=c与y=-2在 令fx)=2x+x[22] [1,4]上均为增函数，故f(x)为增函数，当x=1 由对函数可知，当x∈[2]时，f()在 时，f(x)有最小值e-2,即m≤e-2.] 2.若“Vx∈【一行，]tanx≥m”是真命题，则实数 m的最大值为 :当x=时，函数f(x)取最小值， 2 解析：若yx∈[一专·]tam≥m是臭命题， =2√2， 则实数m小于等于函数y=tanx 在【-，]的 最小值， …入≤f(x)nm=2V2, 因为函数y=tanx 故实数入的取值范围为（一∞，2√2]. 在[-，]上为增画数， [答案]AB 所以函数y=tanx 在【-]上的最小 (2泥知f)=ln(x+1D,gx)=(合)-m,若 值为一√5， 对Vx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥ 所以m≤-√3，即实数m的最大值为一√3. g(x2),则实数m的取值范围是 答案：一√3 ·9·