主题2 第2章 第2节 函数的单调性与最值（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，按定义内涵、判断方法、应用场景的逻辑层次系统梳理知识，通过考点精讲、方法归纳、真题演练等教学环节，帮助学生突破概念理解与解题应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用定义法与导数法双轨判断策略，结合“同增异减”等口诀助记，设计思考辨析、分层练习等活动，如复合函数单调区间求法中强调定义域优先，培养学生数学思维与模型意识，可助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第2节　函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1．借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＜f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递增　. 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＞f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递减　. 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有　单调性　.此时，区间I为函数y＝f(x)的　单调区间　. 2．函数的最值 (1)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≤M　，且　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最大值． (2)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≥M　，且　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为　最值　. 1．单调性定义的推广 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．单调性的几个结论 (1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． (4)“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：BD　[函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x＋2在R上是增函数；函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝＝是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：C　[由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]．] 3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 解析：A　[由>0，知f(a)－f(b)与a－b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数．] 4．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0，可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 5．(BSD必修第一册P60例1改编)已知函数f(x)＝，x∈[0,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：因为函数f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝. 答案：2　 　　　　　函数单调性的判断或证明 ►[命题点1]　 求具体函数的单调区间　 1．函数y＝ (－x2＋4x＋12)单调递减区间是(　　) A．(－∞，2)　　　　　 B．(2，＋∞) C．(－2,2) D．(－2,6) 解析：C　[令y＝，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6. 因为函数y＝是关于u的递减函数，且x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝ (－x2＋4x＋12)为减函数， 所以函数y＝ (－x2＋4x＋12)的单调减区间是(－2,2)．] 2．由方程x|x|＋y|y|＝1确定函数y＝f(x)，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 解析：B　[当x≥0且y≥0时，x2＋y2＝1， 当x＞0且y＜0时，x2－y2＝1， 当x＜0且y＞0时，y2－x2＝1， 当x＜0且y＜0时，无意义， 如图： 结合图象可知，y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．] 判断函数单调性常用以下几种方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ►[命题点2]　确定含参函数的单调性　 [典例]　判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． [证明]　法一(定义法)：第一步，取值、作差、变形：设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝. 第二步，判号、定论：由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：第一步，求导、变形： f′(x)＝ ＝＝－. 第二步，判号、定论：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [互动探究] 若只将本例中函数解析式改为“f(x)＝(其中a＞0)”呢？ 证明：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝.∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数. 法二(导数法)：f′(x)＝ ＝. 又a＞0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 1．判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用增(减)函数的定义外，导数法也是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用． 2．可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数f(x)＝ax2＋的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟．已知函数f(x)＝ax2＋的图象经过点(2,8)，且f(－2)＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减． 解：(1)由题意可知解得a＝1，b＝8，故f(x)＝x2＋(x≠0)． (2)证明：∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x＋－＝x－x＋－＝(x1－x2)(x1＋x2)＋ ＝(x1－x2) ＝·[x1x2(x1＋x2)－8]． 由x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，得x1x2＞0，x1－x2＜0，x1＋x2＜0，所以＜0，x1x2(x1＋x2)－8＜0，所以·[x1x2(x1＋x2)－8]＞0， 则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故f(x)在(－∞，0)上单调递减． 　　　　确定函数的最值(值域) [典例]　(1)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为______． [解析]　x∈(－∞，1]时，f(x)＝ex－1单调递增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1； x∈(1，＋∞)时，f(x)＝－x＋1单调递减， f(x)＜－1＋1＝1. 所以f(x)的最大值为1. [答案]　1 (2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为________． [解析]　法一：基本不等式法：f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二：导数法：f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)． 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上单调递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. [答案]　8 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 函数值，若有界，上界下界值域外． 1．已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝　________　，f(x)的最小值是________． 解析：∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝0， 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号， 此时f(x)min＝2－3<0； 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0. ∴f(x)的最小值为2－3. 答案：0　2－3 2．在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数f(x)，即∃M＞0，∀x∈I，|f(x)|≤M.则下列函数中，所有符合上述条件的序号是________． ①f(x)＝；②f(x)＝；③f(x)＝；④f(x)＝. 解析：对于①，f(x)＝无界，不符合题意； 对于②，f(x)＝＝不单调，不符合题意； 对于③，f(x)＝＝＝＝1－单调递增，且f(x)∈(－1,1)，则|f(x)|＜1，符合题意； 对于④，f(x)＝单调递增，且f(x)∈(0,1)，则|f(x)|＜1，符合题意． 答案：③④ 　　　函数单调性的应用 ►[命题点1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　 1．设函数f(x)＝若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c)　 B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) 解析：D　[因为f(x)＝又y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)＝－2x＋2－x在(0，＋∞)上单调递减且g(0)＝－20＋20＝0，又h(x)＝－x3在(－∞，0)上单调递减且h(0)＝－03＝0，所以f(x)在R上单调递减，又因为30.2＞30＝1，即b＞1,0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，即0＜a＜1，log0.32＜log0.31＝0，即c＜0，所以b＞a＞c，所以f(b)＜f(a)＜f(c)．] ►[命题点2]　解函数不等式　 2．设函数f(x)＝则不等式f(1－|x|)＋f(2)＞0的解集为________． 解析：由函数解析式知f(x)在R上单调递增， 且－f(2)＝－2＝f(－2)， 则f(1－|x|)＋f(2)＞0⇒f(1－|x|)＞－f(2)＝f(－2)， 由单调性知1－|x|＞－2，即|x|＜3，解得－3＜x＜3，故不等式的解集为(－3,3)． 答案：(－3,3) ►[命题点3]　利用单调性求参数的取值范围或值　 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 解析：B　[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)＝－x2－2ax－a，则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即－a≥0⇒a≤0，排除C、D项；又因为当x＝0时，f(x)＝1，所以当x＝0时，h(x)≤1⇒－x2－2ax－a≤1，代入x＝0，得－a≤1⇒a≥－1，所以－1≤a≤0，故a的取值范围是[－1,0]．] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝f(1)，b＝，c＝，则(　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：B　[依题意，∀x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，＞0⇔＞0， 于是得函数在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)是R上的偶函数，即b＝＝， 显然有＜＜，因此得a＜b＜c， 所以a＜b＜c.] 2．已知f(x)＝则不等式f(3x－1)＜f(2x＋1)的解集为(　　) A．(0,2) B． C. D．(2，＋∞) 解析：C　[∵f(x)＝当0＜x≤1时，f(x)＝ln x≤0，且单调递增；当x＞1时，f(x)＝2x－1＞1，且单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(3x－1)＜f(2x＋1)等价于0＜3x－1＜2x＋1，解得＜x＜2.] 3．已知0＜a＜1且a≠，若函数f(x)＝2logax－log2ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A.　　　　　　 B． C.∪ D.∪ 解析：D　[依题意，f(x)＝－＝·ln x＝·ln x， 显然函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因此＜0，而0＜a＜2a＜4a， 则ln 4a＜0或解得0＜a＜或＜a＜1， 所以实数a的取值范围为∪.] 4．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________． 解析：因为对任意x1≠x2，都有>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $