第二章 第9节 函数模型及应用（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 培优拓展4 嵌套函数的零点 学生用书P42 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设 中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 2+2 名师点拨 [典例] 已知函数f(x)= ,x≤1， 2 则 (11og2(x-1)|,x>1, 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函 函数F(x)=f(f(x)-2f(x)- 多的零点个数是 数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函 数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于 ( ) 嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数 A.4 B.5 C.6 D.7 [解析]令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t) 拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性 -21一号，则画敛F()的零点问题可转化为方程 质求解 跟踪训练 f()-2- =0的根的问题。 2 +1(x<0) 令y=f0)-24-是=0，则f0)=2x+是 已知函数f(x) 则方程f(x) 分别作出y=f)和y=2十号的图象，如图①，由 2-1(x>0) f(x)一6=0的实根个数为 ( 图象可得有两个交点，横坐标设为t1,t2(不妨设 t1<t2),则t1=0,1<t2<2; A.3 B.4 C.5 D.6 y=2+ 解析：A[f(x)-f(x)-6=0,解得f(x)=-2 或f(x)=3.当x<0时，f(x)=-2,解得x=-1, y=f(t) y=f(x) fx)=3,解得x=3±5>0（会）：当x>0时， 2 02 f(x)=-2,解得x=-1十√2或x=-1-√2<0 图① 图② 作函数y=f(x),与y=t的图象如图②，结合图 (含)，f(x)=3,解得x=3+B或x=3-区<0 2 象，当f(x)=0时，有一解，即x=2; (舍).综上，方程f(x)一f(x)一6=0的实根为 当f(x)=t2时，结合图象，有3个解】 所以y=f》-2f)-2共有4个零点. x=一1或x=-1+反或x=3+压，即方程 2 [答案]A 一f(x)-6=0的实根个数为3个.] 第9节 函数模型及应用 ★[课程标准] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数 类型刻画现实问题的变化规律。 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解 “对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义， 复盘必备知识 学生用书P42 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 函数模型 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a>0且 函数解析式 指数函数型 a≠1，b≠0) 一次函数型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) f(x)=blogr+c(a,b,c为常数，a>0 对数函数型 且a≠1，b≠0) 二次函数型 f(x)=a.x2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 幂函数型 f(x)=a.x"十b(a,b为常数，a≠0) 66 主题二第二章函数 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与 解析：D[根据x=0.50,y=一0.99，代入计算，可以 性质 排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除 B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.] 函数 y=ar y=loger y=r" 性质 (a>1) (a>1) (n>0) 2.(2024·北京卷)生物丰高度指数4-品是河流 在(0，十o∞)上 水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中 单调递增 单调递增 单调递增 的增减性 的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类 数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2,生物 随x的增 随x的增 随n值变 丰富度指数由2.1提高到3.15，则 ( ) 大逐渐表 大逐渐表 图象的变化 A.3N2=2N B.2N2=3N 现为与y轴 化而各有 现为与x轴 不同 C.N2=N D.N=N? 平行 平行 2.1= S-1 存在一个xo,当x>x0时， 解析：D[由题意可得 In N 值的比较 有logar<x"<a S-1 3.15=mN2 …重要结论· 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 1对勾面数y=1十兰（u>0)在(-0，-瓜]和[6， 所以lnN1=lnN经1，即N1=N经5，故N好 =Ng.] +∞)上单调递增，在[-√a,0)和(0，Wa]上单调递 3.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量 减.当x>0,x=Va时取最小值2√a;当x<0时， 不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为 x=-√a时取最大值-2√a. 2%,现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 2.当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型， 3.当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长： 子，则使产品达到市场要求的过遂次数可以为（参 到很大时，选用对数函数模型. 考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477) A.6 B.9 C.8 D.7 4.幂函数模型y=x”(n>0)可以描述增长幅度不同 的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较 解析：BC[设经过n次过滤，产品达到市场要求， 大(n>1)时，增长较快， 则，品×（）八≤1中() 自主诊断查验 由e号≤-g20,即ng2-1g3≤-1+g2,得 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 最4 打“/”，错误的打“X” 4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为 (1)函数y=2的函数值在(0，+∞)上一定比y= y=alog(x十1)，设这种动物第2年有100只，到 x2的函数值大. 第8年它们发展到 只. (2)在(0，十o∞)上，随着x的增大，y=a(a>1)的 解析：由题意知100=alog3(2+1),.a=100, 增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的增长 .y=100log3(x+1),.当x=8时，y=1001og39 速度. ( =200. (3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b+c(a≠0， 答案：200 b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( 5.(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果 (4)幂函数增长比直线增长更快. ( 物体原来的温度是01℃，空气的温度是0，℃，那么t (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间 分钟后物体的温度0（单位：℃）满足等式0=0。十 内变化量较大的实际问题中. (01一0)e“,其中k为常数.现有62℃的物体放到 答案：(1)×(2)/(3)× (4)×(5) 22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃， ◆[小题查验] 再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却 1.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数 到 据，如下表： 解析：依题意42=2+(62-22)·。，。=， 0.50 0.99 2.01 3.98 故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 -0.99 -0.01 0.98 2.00 22+(42-22)·e4=22+20·(e2) 则对x,y最适合的拟合函数是 A.y=2x B.y=x2-1 =2+20×1=27℃. C.y=2x-2 D.y=logzx 答案：27℃ 67· 高考总复习数学(BS) 跃升>关键能力 学生用书P43 题型突破素养提升 用函数图象刻画实际问题 题型1 中两变量的变化过程 2.53 1.在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方 向沿周长为的图形运动一周，O、P两点连线的距 离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么 处理前 处理后 点P所走的图形是 ( ) 则下列可以实现该功能的一种函数图象是( 新灰度值 新灰度值 255 255----- 原灰度值 原灰度值 255 255 A 1新灰度值 +新灰度值 255 255 原灰度值 原灰度值 255 255 C 0 D 解析：A[根据图片处理过程中图象上每个像素 解析：D[对于A,点P在第一条边上时，y=x,但 的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值， ,点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小 处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象 (减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长 在y=x上方，结合选项只有A选项能够较好的达 度)，然后再增大，对比图象可知，A错误： 到目的.] 对于B,y与x的函数图形一定不是对称的，B 3.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实 错误； 现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方 对于C,一开始y与x的关系不是线性的，C错误； 案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金 对于D,因为函数图象对称，所以D选项应为正方 y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而 形，不妨设边长为a, 增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超 点P在第一条边上时（即O≤x≤a时），y=x, 过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求 点P在第二条边上运动时（即a≤x≤2a时）， 的是 y=√a+(x-a)了，依然单调递增， (参考数据：1.0151°≈4.432,1g11≈1.041) ,点P在第三条边上运动时（即2a≤x≤3a时）， A.y=0.04x B.y=1.015-1 y-√a2+(3a-x)7,单调递减， 点P在第四条边上运动时（即3a≤x≤4a时）， C.y=tan(货-l D.y=log11(3x-10) y=4a-x,单调递减， 解析：D[对于函数y=0.04.x,当x=100时，y=4 且已知y与x的图象关于x=2a=号（其中1=4a) >3,不符合题意； 对于函数y=1.015-1,当x=100时，y=3.432 对称，D正确.] >3,不符合题意； 2.在用计算机处理灰度图象（即俗称的黑白照片）时， 将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最 对于函数y= tan 货一不满足递增，不符合 亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变 题意； 程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图 对于函数y=1og11(3x-10),满足x∈(6,100]时是 象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较 增函数，且y=log11(3×100-10)=log11290< 黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图 象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级， og131=3,结合图象=号x与y=ogm(3x 压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 10)的图象如图所示，符合题意.] ·68. 主题二第二章函数 方法指导 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定 系数 (3)利用该模型求解实际问题. 易错警示 题后反思 解决实际问题时要注意自变量的取值范围， 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两 种方法 跟踪训练 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型 (多选)(2023·新课标I卷)噪声污染问题越来越 时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根 级L。=20×1g卫，其中常数力，(p,>0)是听觉下限 据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合 阈值，力是实际声压.下表为不同声源的声压级： 图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符 合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 题型2〔应用所给函数模型解决实际问题 燃油汽车 10 60-90 [典例]星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它 混合动力汽车 10 50-60 们之间可用公式M=m十5一5g6转换，其巾M 电动汽车 10 40 为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离（单 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为 处测得实际声压分别为p1,p2,p:,则 ( 0.77,绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03， A.p1≥p2 B.p2>10p 绝对星等为0.5.则距离地球更近的星球和它们到 C.p3=100po D.p1≤100p2 地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别 解析：ACD[:L1-L2=20×1gB-20X1g2 是（参考数据：10°.19≈1.549,10°.906≈8.054,10°，716 ≈5.199) =20Xg会≥0会≥1.…A≥片以A正减： A.牛郎星，约1.5 B.织女星，约1.5 C.牛郎星，约2.9 D.织女星，约2.9 -=20Xs会10，e会>号 卫3 [解析]设牛郎星到地球的距离为d1,织女星到 .2>10,所以B错误； 地球的距离为d2, Ps 所以2.19=0.77+5-51g3.26 d .L3=20×1g 2=40,.2=100,所以C正确： Po 0.5=0.03+5-51g3.26 L1-L2=20×1g ≤90-50=40,1g≤2， 即g328=0.716g2 z =0.906. :.≤100，所以D正确.] d 所以3.26 107m5.19:226=100≈8.054， 题型3 构造函数模型解决实际问题 [典例]甲、乙、丙三辆出租车2025年运营的相关数 所以d2>d1,所以距离地球更近的星球为牛郎星， 据如下表： 且 3.26 _10°.906 -10m=10019≈1.549.] 甲 丙 d 41 3.26 接单量t(单) 7831 8225 8338 [答案]A 油费s(元) 107150 110264 110376 ·69· 高考总复习数学(BS) 续表 (3)探究是否存在非零实数k,b,使得y=R(k.x十b) 甲 乙 丙 为偶函数？若存在，求k,b应满足的条件；若不存 在，请说明理由 平均每单 15 15 15 解：(1)依题意，x≠0， 里程（公里） 当x=1时，R(x)=0,则方程R(x)=x无解， 平均每公里 0.7 0.7 0.7 油费a(元) 当x为(0,1)内的无理数时，R(x)=0,则方程 R(x)=x无解， 出租车空驶率= 出租车没有载客行驶的里程；依据 出租车行驶的总里程 当x=卫(p,g∈N,卫为既约真分数)时，则R(x) 上述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型 u=f(s,t,k,a),并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 日9为大于1的正整数，则由方程R(x)=x,解 23.26%,21.68%,x%,则x= (精确到 得x=】,9为大于1的正整数， 0.01). g [解析]依题意，因为出租车行驶的总里程为 综上，方程R(x)=x(x≠0)的解集为{xx=】 出租车有载客时行驶的里程为tk, 9为大于1的正整数. s一tk (2)若x=0或x=1或x为(0,1)内无理数时， 所以出租车空驶率u= 1、ka R)=0,而片x+号>0，此时Rx)<号+日 5x十5 a 对于甲，1-7831X15X0.2≈0.2326 若x=卫(b,9∈N,卫为既约真分数)，则R(x) 107150 =23.26%,满足题意； 与9为大于1的三垫数，由R)>吉十吉，得号 9 对于乙，1-8225×15×0.7 110264 ≥甘×号+日解得十95，又因为=号g ≈0.2168=21.68%，满足题意； 所以上述模型满足要求， N号为既约真分数)，所以=是号棕上，不等 则丙的空驶率为x%=1-8338×15×0.7 110376 式R)>言+号的桑为{径·局动}】 ≈0.2068=20.68%，即x=20.68. [答案]20.68 (3)存在非索实数=1，b=,使得y=R(kx十b) 规律方法… 为偶画数，即y=R(x+)为偶画数，证明如下： 构建函数模型解决实际问题的步骤 当x=0或x=1时，有R(0)=R(1)=0成立，满足 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； R(x)=R(1-x), (2)推理、演算：对数学模型进行推理或数学运算； 当x为(0,1)内的无理数时，1-x也为(0,1)内的 (3)解模：求解数学模型，得出结论； 无理数，所以R(x)=R(1一x)=0,满足R(x)= (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 1跟踪训练 R1-0,当=号(p,g∈N号为既的真分数)， 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波 则1一=1一号=，为既约真分数，所以R() 9 恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应 用.黎曼函数定义在[0,1]上，R(x) =R1-x)=,满足R()=R(1-x). 行=号(，9N号为既约真分数)】 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)=R(1-x), (0,x=0或1或(0,1)内的无理数 所以R(x)关于x=专对桥，即R〔+号) (1)请用描述法写出满足方程R(x)=x(.x≠0)的解 R(侵-一小剧R+》为锅西效，所以，存在非容 集；（直接写出答案即可） (2)解不等式R(x)>1x 实数k=1b=子，使得y=R(x十)为偶函数。 ·70·