第二章 热点强化课1 函数性质的综合应用（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题二第二章函 数 设m(x)=lg(W/x+1-x),t=√x2+1-x, 又由g(x)= 81十2为成面数， 2+2 可得1+ -1<0,所以t=√x十1-x为减 所以F(x)为减函数， 因为F(x)关于点(1,2)对称， 函数，可得函数m(x)=lg(Wx+1-x)为减函数， 所以F(a)+F(-2a+1)>4=F(a)十F(2-a),即 所以函数f(x)=1g(W/(x-1)2十1-(x-1))为减 F(-2a+1)>F(2-a), 函数， 即-2a十1<2-a,解得a>-1,所以D正确.] [热点提化课1]函数性质的综合应用 学用书P26 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习 过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. 题型1〔 函数的单调性与奇偶性 即g(m)+g(m-2)>0,得g(m)>g(2-m), [例1]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区 由g(x)=1-x=（e十1)十2 e+1 -x=-1十 间[0，十∞)上单调递增，则 ( 2 2 A.fg>fg）f2y 十1x,周为y=。十1y=一x-1均为R上的 减函数，所以g(x)在R上单调递减，所以m2<2 B.f(og:)>f(2-)>F(log.x) m,即m2+m-2<0, c.f2)>f(og号Pfog 解得一2<m<1,即实数m的取值范围是（一2,1）. [答案]A Df2)>fogx)>fog号） 方法指导 [解析]f(x)是偶函数， 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 ∴fog号)--1cg8)=fog3. (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于 原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数 :1<1og23<1og2π<2,0<2<1， 在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. ∴.0<2<1og23<1og2π<2. (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条 ,f(x)在[0，十o∞)上为增函数， 件，把已知不等式转化成f(x1)>f（x2)或 .f(2π)<f(1og23)<f(log2π)， f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性 即f2)<fg号)fogx). 与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域 [答案]A 对参数的影响 [例2]已知函数f(x)=e十1 2 -x-2,若f(m2)+ 题型2 函数的奇偶性与周期性 f(m一2)十2>0恒成立，则实数m的取值范围是 [例3]设函数f(x)的定义域为R,f(x十1)为奇函 ( 数，f(x十2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)= A.(-2,1) B.(-1,2) x+6,若0)+3)=6则f() C.(0,2) D.(2,4) [解析] 由题可知，f(x)=e+1 2 -x-2= A.-9 B.-3 c D. [解析]因为f(x十1)为奇函数，所以f(1)=0, (品)-1 ex+7-x-1, 即a+b=0,所以b=-a, 令g)=f)+1-号-，则g(-) 又f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2) =-4a-b=-3a, i+=+=-g f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=0,由f(0) +f(3)=6,得a=-2, 所以g(x)是奇函数.又由f(m2)+f(m-2)十2> 0,可得f(m2)+1+f(m-2)+1>0, 所以f)=+)2-) ·39· 高考总复习数学(BS) -()(+ ∴.M+m=h(.x)+2+h(-x)+2=4, =-(2+)-(合+ gx)=4r+si如(t-) =-(+2-》 （4r-ξ)+sin(x-)+ 令s(x)=4x十sin4x, 号-6=-a= 5 则)+（经-）=4十sn4x+4(-计 [答案]D sin(2kx-4x)=2kn,kEZ, [例4]若定义在R上的函数f(x)满足y=f(.x十1) 可知s(x)=4x十sin4x的对称中心为 是奇函数，f(4十x)=f(-x), f(2)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(30) (年∈z [解析]因为y=f(x十1)是奇函数，所以f(x十 将s(x)=4x十sin4x的图象向右平移个单位， 1)=-f(-x+1),用x-1替换上式中的x,可得 f(x)=-f(-x十2)，在f(4+x)=f(-x)中，用 再向上平移5个单位得到g(x)的图象， x-2替换x,可得f(x十2)=f(-x十2)，所以 g)的时称中心为（++∈》， f(x)=一f(x十2)，用x十2替换该式中的x,可得 f(x十2)=-f(x+4),所以f(x)=(x十4)，所以 当领十一时，=号不合题，可知不可能为 函数f(x)的周期为4，在f(x十1)=一f(-x十1) C,又当k=1,0,5时分别对应选项A,B,D,可知 中，令x=0,得f(1)=0,在f(x)=-f(x十2)中， A,B,D均为g(x)的对称中心. 令x=1,得f(3)=-f(1)=0,在f(x+2)= [答案]C -f(x十4)中，令x=0,得f(4)=-f(2)=-2,所 [例6]设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的 以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+ x1,x2∈D,且x1+x2=2a,恒有f(x1)+f(x2)= f(2)+f(3)+·+f(30)=f(1)+f(2)=2. 2b,则称函数f(x)具有对称性，其中点(a,b)为函 [答案]2 数y=f(x)的对称中心，研究函数f(x)=x十1十 方法指导 利用函数的奇偶性和周期性求解策略：周期性与 片十am-1)的对称巾心，求了) 奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性 结合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化 f(2)+2++} 到已知函数值或解析式的定义域内求解. A.2025 B.4049 C.4050 D.8100 题型3( 函数的奇偶性与对称性 [解析]令函教g)=1十}十ant,则g(一) [例5] 若函数f()=2x+1)十sin工的最大值和 x2+1 +iam(-=-g++iam）-g0 1- 最小值分别为M、m,则函数g(x)=(M+m)x十 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， sin[M十m)x-]图象的对称中心不可能是 可得f)=-1+占十anx一1D+2的图象 ( 关于点(1,2)中心对称， A(倍劉 (侣) 即当x1十x2=2,可得f(x1)十f(x2)=4, c(劉 .(） 设M=f(2s)十f(0)+f(28)+…十 [解析]设h(x)=f(x)-2=4x十sinx 径 x2+1 则h(-x)=-4x一sin工=一h(x), M=f2025 4049 f侵)+f)+…十 x2+1 即h(x)为奇函数， ·40· 主题二第二章函数 所以2M-(202)+传90+r(2） 由函数g(x十1)的图象关于y轴对称，可得 g(-x+1)=g(x十1)，② 由f(x+2)十g(x十1)=-1，可得f(x)+g(x-1) =-1,又得f(-2-x)+g(-x-3)=-1, =2025×4=810.所以f(202s)+f(202s) 两式相加，f(x)+f(-2-x)+g(x一1)+g(-x 4049 -3)=-2,将①式代入，得g(x-1)十g(-x-3) 025 4050. =0, [答案]C 则得g(x-5)十g(-x十1)=0，将②式代入得， 方法指导 g(x+1)=-g(.x-5),则g(x十6)=-g(x), 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探 于是g(x十12)=-g(x十6)=g(x),即g(x)的周 讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可 期为12. 以变成奇函数，这样便可以得到对称中心；将偶函 又由f(-4)=0,由①可得f(2)+f(-4)=-2, 数平移可以得到轴对称函数，若逆向探讨，则可以 得到任何一个轴对称函数平移后都可以变成偶函 得f(2)=-2, 数，这样便可以得到对称轴 又由f(x+2)+g(x十1)=-1，可得f(2)十g(1) =-1,即得g(1)=1. 题型4 函数的周期性与对称性 因f(2030)+g(2029)=-1,可得f(2030)= [例7]已知函数f(.x)满足f(x+3)=f(1-x)+ -1-g(2029),于是f(2030)-g(2017)=-1 9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f(x十9)的图 g(2029)-g(2017)=-1-g(1)-g(1)=-1 象关于点(-9,0)对称，且f(1)=2025,则f(53) 2g(1)=-3. [答案]B A.2024 B.-2024 C.2025 D.-2025 方法指导 [解析]因为对任意x∈R,都有f(x十3)=f(1一x) 周期性与对称性的综合解题，尤其要注意对称性与周期 +9f(2), 性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距 令x=-1,得f(2)=f(2)+9f(2),解得f(2)=0, 离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 则f(x+3)=f(1-x),即f(x+4)=f(-x), 函数的奇偶性、对称性、周期性与 所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称. 题型5 单调性的综合 又函数f(x十9)的图象关于点（一9,0）对称，则函 L例9 数f(x)的图象关于点(0,0)对称， (多选)在平面直角坐 即函数f(x)为奇函数， 标系xOy中，如图放置的边 所以f(x+4)=f(-x)=-f(x), 长为2的正方形ABCD沿x 所以f(x十8)=一f(x十4)=f(x),所以8是函数 轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设 f(x)的一个周期， 顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y= 所以f(53)=f(7×8-3)=f(-3)=-f(3) f(x)的判断正确的是 ( =-f(1)=-2025. A.函数g(x)=f(x)-2√2在[-3,9]上有两个 [答案]D 零点 [例8]已知函数f(x)、g(x)的定义域均为R,函数 B.函数y=f(x)是偶函数 f(2x-1)十1的图象关于原点对称，函数g(x十1) C.函数y=f(x)在[-8，-6]上单调递增 的图象关于y轴对称，f(x十2)十g(x十1)=一1，f(一 D.对任意的x∈R,都有f(x+4)= 1 4)=0,则f(2030)-g(2017)= ( f(x) A.-4B.-3C.3 D.4 [解析]以A点为中心 [解析][由函数f(2x一1)十1的图象关于原点对 滚动时，B,点轨迹为以 2 称，f(-2x-1)+1=-f(2x-1)-1, (一2,0)为圆心，2为半径 即f(-x-1)=-2-f(x-1), 即f(.x)+f(-2-x)=-2,① 的子国孤： ·41· 高考总复习数学(BS) 当以D点为中心滚动时，B点轨迹为以(0,0)为圆 (0,0)为f(x)的对称中心，即f(一x)=一f(x),所以 心，2V2为半径的圆孤， f(x)为奇函数.故A正确； 对于B,因为f(x)=-f(4-x),所以f(x+2)=-f(2 当以C点为中心滚动时，B点轨迹为以(2,0)为圆 一x),f(2十x)=f(2-x)未必成立，所以f(x)的图象 心，2为半径的十国弧： 不一定关于x=2对称，故B错误； 对于C,因为f(x)=一f(4-x),令x十2代换x,得到 当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环， f(x+2)=-f(2-x).① 周期为8. 对于f(x十1)=f(1-x),令x+1代换x,得到 画出函数图象，如图所示， f(x+2)=f(-x).② g(0)=f(0)-2√2=0，g(8)=f(8)-22=f(0) 由①②得f(-x)=一f(2-x),令-x代换x,得 -2√2=0，A正确； 到f(x)=-f(2十x), 根据图象和周期知B正确； 与②结合得f(x十2)=f(-x)=-f(x), 函数y=f(x)在[0,2]上单调递减，故在[一8，一6] 所以f(x十2)为奇函数，故C错误； 上单调递减，C错误； 对于D,对于f(x十1)=f1一x),令x一1代换x,得到 取x=一2，易知f(2)≠ f(-2),故D错误. 1 f(x)=f(2-x), 又因为f(x)=-f(4-x),所以f2-x)=-f(4-x), [答案]AB 令2-x代换x,得到f(x)=-f(2十x), [例10们（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(.x) 令x-2代换x,得到f(x-2)=-f(x), =-f(4-x),且f(x+1)=f1-x),则 () 所以f(x-2)=f(x十2)， A.f(.x)为奇函数 令x十2代换x,得到f(x)=f(x十4)，即f(x)是 B.f(x)的图象关于x=2对称 周期为4的函数.故D正确. C.f(x十2)为偶函数 [答案]AD D.f(x)是周期为4的函数 [解析]因为f(x十1)=f(1一x),所以f(x)关于 方法指导 x=1对称 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数的 因为f(.x)=-f(4-x),所以f(x十2)=-f(2-x), 四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命题， 所以f(x)关于点(2,0)对称， 解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周 对于A,由，点(2,0)关于x=1的对称点为(0,0)，(2,0) 期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转 为f(x)的对称中心，且f(x)关于x=1对称，所以 化，再利用单调性解决相关问题， 第4节 幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 复盘>必备知识 学生用书P27 打通教材强基固本 必备知识掌握 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数y=x y=.x2 y=r3 y=rt y=x (1)幂函数的定义 定义域 R R [0,+∞) {.xx≠0》 一般地，形如y=x(。为常数)的函数，即底数是 值域 及 [0,+∞) R [0,+o∞) {yy≠0 自变量，指数是常数的函数称为幂函数 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (2)常见的5种幂函数的图象 在（一∞， 在RO]上单调 在R上 在(-∞， 上单 在0，+∞) 递减，在 0)和(0， 单调性 调递 单调 上单调 [0,+∞) +∞)上 增 上单调 递增 递增 单调递减 递增 公共点 (1,1) ·42·