第二章 第7节 函数的图象（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第7节函数的图象 ★[课程标准] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数， 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 3.会结合函数性质判断或选择函数的图象 复盘，必备知识 学生用书P36 打通教材强基固本 必备知识掌握 …重要结论 1.利用描点法作函数的图象步骤 1.函数图象自身的轴对称 (1)确定函数的定义域； (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于y轴 (2)化简函数解析式； 对称； (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 (2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称台f(a十x)= 性等)； f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a+x)； (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 (3)若函数y=f(.x)的定义域为R,且有f(a十x) 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线， fb-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+5 2.利用图象变换法作函数的图象 2 (1)平移变换 对称. 2.函数图象自身的中心对称 y=f(x)+k (1)f(-x)=-f(x)台函数y=f(x)的图象关于原 上kk>O) 移个单位 点对称； 左移 yf(x+a） a(a>0) y=f(a) 右移 r=f(x-a) (2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称台f(a十x) a(a>0) 个单位 下k>O) 个单位 =-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x)= 移个单位 -f(2a+x); y=f(x)-k (3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称台 (2)对称变换 f(a十x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b-f(2a-x). ①y=f(.x) 关于x轴对称 y=-f(x); 3.两个函数图象之间的对称关系 ②y=f(x) 关于y轴对 y=f(-x); (1)函数y=f(a十x)与y=f(b-x)的图象关于直线 ③y=f(x)关于原点对称 y=-f(-x); x=,4对称（由a十x=b-x得对称轴方程）： 2 ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y=logat(a (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x >0且a≠1). =a对称； (3)伸缩变换 (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点 。>1,横坐标缩短为原来的。倍，纵坐标不变 (0,b)对称； ①y=f(x) 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，纵坐标不变 (4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 （a,b)对称. y=f(ax). a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 自主诊断查验 ②y=f(x 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 ◆[思考辨析] y=af(x). 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 (4)翻转变换 打“√”，错误的打“×” 保留x轴上方图象 ①y=f(x) 将x轴下方图象翻折上去y=f(x), (1)函数y=2的图象关于直线x=0对称.() 保留y轴右边图象，并作其 (2)当x∈(0，+o∞)时，函数y=|f(x)|与y= ②y=f(x) 关于y轴对称的图象 y=f(laD. f(x)的图象相同. ( ·56 主题二第二章函数 (3)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于原点 3.(2025·天津卷)已知函数y 对称. () =f(x)的图象如图，则f(x) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1一x),则函 的解析式可能为 () 数f(x)的图象关于直线x=1对称. r ) A.f(x)=1-x可 (5)将函数y=f(一x)的图象向右平移1个单位得 到函数y=f(-x一1)的图象. ( B.f(x)=x1-1 答案：(1)/(2)×(3)×(4)/(5)× C.f()=lzl ◆[小题查验] Γ1-x 1.(BSD必修第一册Ps思考交流T,改编)已知图① D.f(x)= x x2-1 中的图象是函数y=f(x)的图象，则图②中的图象 对应的函数可能是 ) 解析：D[A中，f(x)=1-x=z- 一f(一x)(x≠土1)为奇函数，其图象关于原，点对 称，故排除A:B中，f(一x)=-x- 一z-=一fx)(x≠士1)为奇函数，故排除B: 图① 图2 A.y=f(lx) B.y=f(x) C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 教，当x=2时，f2)=21=-号<0，故排路C.] 2 解析：C[因为题图②中的图象是在题图①的基础 4.(忽视复合函数中间变量的范围致 上，去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分， 误)已知函数f(x)在R上单调且其 然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的，所以题 部分图象如图所示，若不等式一2≤ 图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x).] f(x十t)<4的解集为(-1,2)，则实 2.(2025·北京卷，4)为得到函数y=9的图象，只需 数t的值为 把函数y=3的图象上的所有点 ( 解析：由题中图象可知不等式一2<f(x十t)<4, 即为f(3)<f(x+)<f(0),故x+t∈(0,3)， A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 即不等式的解集为（一t,3一t),依题意可得t=1. B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 答案：1 5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a C.纵坐标变成原来的子倍，横坐标不变 的取值范围是 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 解析：由题意a=x十x, y=a /y=x|+ 解析：A[因为y=9=32“,所以将函数y=3的 令y=|x|十x= (2x,x≥0， 0,x0, 国象上所有点的横坐标度成原来的合倍飘坐标不 图象如图所示，故要使a=|x十x 变，即可得到函数y=9的图象.门 只有一解则a>0. 答案：(0，十∞) 跃升>关键能力 学生用书P38 题型突破素养提升 题型1〔 作函数的图象 分别作出下列函数的图象： (1)y=elhr; 12 (2)y=1og2(x+1)1; (3)y=a(0<a<1); 图(1) 图(2) 4y- (2)将函数y=10g2x的图象向左平移一个单位，再 解：(1)函数的定义域为{xx>0}, 将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数 且y=enr=x(.x>0), .其图象如图(1)所示. y=|log2(x十1)川的图象，如图(2)所示. ·57· 高考总复习 数学(BS) fa,x≥0 [解析]令f(x)=-x2+(e-e)sinx, (3)y (1) (0<a<1), 则f(-x)=-(-x)2+(e-e)sin(-x) a ,x0 .只需作出0<a<1时函数y=a(x≥0)和y =-x2+(e*-e *)sin x=f(x) (日)a<0的因象，合起来即得函量y=。(0< ∴y=f(x)为偶函数，排除A,C; a<1)的图象.如图(3)所示. f()-+-。 =e-e- 0 4 故排除D,B正确. 123 [答案]B 图(3) 图(4) 方法指导 知式选图的策略 (4).y=2+ (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数 故函数图象可由y=】的图象向右平移1个单位， 的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断 再向上平移2个单位而得，如图(4)所示 图象的变化趋势； 题后反思 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 画函数图象的一般方法 (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (1)直接法.当函数表达式（或变形后的表达式）是 熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征 (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过的定 直接作出， 点、极值点等)，排除不合要求的图象 (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的 跟踪训练 图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变 换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉 1.函数f(x)=sinx十 十2的图象可能是 的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸 缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响， 易错警示 可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图 题型2 函数图象的识别 ●[命题点]由函数解析式选图 [典例1](2024·全国甲卷（理）)函数y=一x2十 (e-e)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 解析，D[因为了)=mx十子2的定义战为R, 又因为f(-x)=sin(-x)+ 1+2=-sinx+22 2 2+1 ≠一f(x),所以f(x)不是奇函数，排除A,B项. 2 1+2 1+2<0，所以 2 排除C项.] [命题点2]由函数的图象选解析式 [典例2](2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所 示，则f(x)的解析式可能为 ) 58. 主题二第二章函数 由反比例函数的性质可知，f(x)在(1，+∞)上单 调递减，故D错误； 检验选项A,f(x)= 写满足国中性质：故A 正确.] A.f(a)=5(e'-e-) x2+2 B.f()=5sin a x2+1 [命题点3]用函数的变化趋势及特殊值选图 C.f(x)=5(e+e) [典例3]如图，正△ABC的中 x2+2 D.f(x)= 5cos a x2+1 心位于点G(0,1),A(0,2),动 [解析]由图象可知，f(x)图象关于y轴对称，为 点P从A点出发沿△ABC的 偶函数，故A、B错误；当x>0时，f(x)= 边界按逆时针方向运动，设旋 5(e十e)恒大于0，与图象不符合，故C错误. 转的角度∠AGP=x(0≤x≤ x2+2 2π)，向量OP在a=(1,0)方向的射影为y(O为坐 [答案]D 标原点)，则y关于x的函数y=f(x)的图象是 易错警示 注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除 时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口， ♂跟踪训练 2.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解 析式可能为 ) [解析]设BC边与y轴交 点为点M,由已知可得GM 0.5,因而可得AM=1.5,由 M 此正三角形的边长为√3，连接 0 3 A B.f(.t)=e'-e 3-4x BG,可得tan∠BGM= 2 2 C.f(x)= ete 4x-3 D.f(x)=x1-1 5,甲∠BGM=晋，则∠BGA=号，由图可知当： 解析：A[对于B,当x>1时，fx)=二e 3-4.x ，易 = π时，射影y取到最小值，其大小为一， 2 ，由此 知e-e>0,3-4.x<0, 则f(x)<0,不满足图象，故B错误； 可排除A,B选项；又当点P从点B向点M运动 时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图 对于C,f(x)= 定义为(-四，-) e*+ex 象趋于平缓，由此可排除D. (,(+) [答案]C 方法总结 e *ter e十e 又因为f(-x)=-33fx). 1.解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即将 动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征， 则f(x)的图象关于y轴对称，故C错误； 从而作出选择 对于D,当x>1时fx)=x-- 2.知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图 象，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误 =1+x-1 的选项，快速选择。 ·59· 高考总复习数学(BS) !跟踪训练 解析：C[当x≤0时，函数y=e单调递增，函数 3.如图，圆O的半径为1，A是圆 值集合为(0,1]， 上的定点，P是圆上的动点，角 当0<x≤1时，函数y=一lnx单调递减，函数值 x的始边为射线OA,终边为射 集合为[0，十∞)， 线OP,过点P作直线OA的垂 当x≥1时，函数y=lnx单调递增，函数值集合为 线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为 [0,+∞)， x的函数f(x),则y=f(x)在[0，π]上的图象大 作出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图， 致为 ( ) y=f(x) y=k 0 观察图象知，当0<k≤1时，函数y=f(x)的图象 0 与直线y=k有3个交点， 所以f(x)一k=0有三个不同的实数根，实数k的 解析：C[解法一：由题图：当x=专时，OPLOA,.此 取值范围是(0,1].] [命题点2]求不等式的解集或判断不等式是否 时)=0，排除A,D选项：选项当x∈(0，受)时，0M 成立 =cosx,设点M到直线OP的距离为d,则 x≥1， 2.已知函数f(x) 则f(x)≤ sin a,d=OMsin x=sin xcos x,..f(x)=sin x log(x+1),-1<x<1, cos=之n2≤号排除B选项， 2女的解架为 解法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足 A.(-∞，0] B.（-1,0] 为D C.(-1,0]U[1,+o∞) D.[1,+o∞) 解析：C[作出函数 y D y=f(x)与y=2t 1 的图象，如图， y=f(x) T x= 4 T 岁1时，（）≤ 当x=受时，MD=0,排除A,D选项，当x= 或 ，作出通数=()与y=r的图， 3还时，MD取得最大值为号，排除B选项.] 由图象可知，此时解得x∈[1，十∞)； 1 题型3 函数图象的应用 当-1<x<1时，log4(x十1)≤ x,作出函数y [命题点1]研究函数的零点或方程解的个数 1 log:(x十1)与y=之x的图象， 1.设函数f(x)= ex≤0， 若f(x)-k=0有三 lIn zl,x>0, 它们的交点坐标为(0,0) 结合图象知此 个不同的实数根，则实数k的取值范围是( 时x∈(-1,0]. A.(0,1) B.(0,+o∞) C.(0,1] D.[0,+∞) 所以不等式f)≤2x的解集为(-1,0U1,+∞). ·60· 主题二第二章函数 3.(多选)已知直线y=-x+2分别与函数y=e和 [命题点3]求参数的取值或范围 y=lnx的图象交于点A(x1y),B(x2y2)则下列 x-'t0, 结论正确的是 ( 4.已知函数f(x) 若关于x的方程 A.x1十x2=2 B.e"+e:>2e Inz,>0, x C.ziln x2+xzln x<0 D.nn f(.x)=x十a无实根，则实数a的取值范围为( 解析：ABC[函数y=e与y=lnx互为反函数， A.(-0U(日 B.(-1,0) 则y=e与y=lnx的图象关于y=x对称. c.(o.) D.(0,1) 将y=一x十2与y=x联立，则x=1,y=1. 由直线y=-x十2分别与函数y=e和y=lnx x-1x≤0， 解析：B[因为函数f(x) 的图象交于点A(x1y1),B(x2y2), In x,x>0, 作出函数图象，则A(x1y1),B(x2,y2)的中点坐标 x 为(1,1). y=x y=x+a /y=x-1 2 y=-x+2 e y=Inx 43-2-1d ,1) B 43 2-1d 2八34x -4 关于x的方程f(x)=x十a无实根等价于函数y= 对于A,由十=1，解得x1十，=2，故A正确； f(x)的图象与直线y=x十a无交点， 2 设直线y=x十a与f(x)=ln(x>0)的切，点为 x 对于B,e+e:≥2√e·e=2√e1=2e =2e,因为x1≠x2,即等号不成立，所以ei十e':> P由fal.e加有 x 2e,故B正确； =1,解得xo=1,则P(1,0),则切线方程为：y=x 对于C,将y=一x十2与y=e”联立可得-x十2 一1，由图知：函数y=f(x)的图象与直线y=x十a =e,即e+x-2=0. 无交点时实数a的取值范围为一1<a<0.] 设f(x)=e十x一2，且函数为单调递增函数， 规律总结 :1o)=1+0-2=-1<0,f2)=e+2-2 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意 其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域， =et->0 上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调 故通数的点在(0，)上，即0<< 性，对称性对应奇偶性. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数 由1+x,=2,则1<，<2,1>x2, 的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交 点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数 n名十c:In t=t In一xn 的图象，数形结合求解. <x In x2-x2In I2=(x1-z2)In 2<0,C (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法 求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等 正确： 式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从 对于D,由x1十x≥2√x1x2,解得x1x2≤1， 而利用数形结合求解。… 由于x1≠x2,则x1x2<1,故D错误.] ·61·