第二章 第5节 指数与指数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题二第二章函数 第5节指数与指数函数 ★[课程标准] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质. 3.理解指数函数的概念，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的性质，并能简单应用. 复盘>必备知识 学生用书P31 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.指数幂的拓展 ②当x=0时，a”=b (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n>1, ②当x=0时，a=b=1 且m,n互素)，若存在唯一的正数b,使得b=a”, 一1 则称b为a的次幂，记作b=a,这就是正分数 ③当x>0时，0<a< ③当x>0时，a>b>1 b<1 指数幂， 当k为正整数时，分数指数幂a“满足：a”=a器 (3)指数函数的图象和性质 有时，也把a”写成√am的形式. a>1 0a1 (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n>1, y=a 且m,n互素)， 定义：a号=1=1 图 0.1) a是am 象 6y=1 --.y=l 2.有理指数幂的运算性质：a'a=a十；（a)=a; (ab)'=a'b',其中a>0,b>0,r,s∈Q. (1)定义域：R (1)无理指数幂 一般地，给定正数a,对于任意的无理数a,规定： (2)值域：(0，+∞) (3)过定点(0,1)，即x=0时，y=1 (2)指数幂的运算性质 (4)当x<0时，0<y(4)当x<0时，y>1;当 条件 指数幂的运算性质 ≤1；当x>0时，y>1 x>0时，0≤y<1 性 a°·a=aat8 质(5)在R上是增函数 (5)在R上是减函数 当x值趋近于正无穷当x值趋近于正无穷大 a>0,b>0, (a)=a3 大时，函数值趋近于正时，函数值趋近于0； a,B为实数 无穷大； 当x值趋近于负无穷大 (ab)=a·b 当x值趋近于负无穷时，函数值趋近于正无 3.指数函数及其性质 大时，函数值趋近于0 穷大 (1)概念：形如y=a(a>0且a≠1)的函数叫做指数 函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a 对 (a>0,且a≠1)的图象 称 函数y=a与y= 是底数. 性 关于y轴对称，且它们在R上单调性相反 (2)指数函数值大小比较 函数y=a和y=b …重要结论 a>b>1 0<a<b<1 l.(a)"=a(n∈N+). 「a,n为奇数， ①当x<0时，0<a<b①当x<0时，a>b 2.a 1a,a≥0，n为偶数. <1 >1 a a,a0, 47· 高考总复习数学(BS) 3.指数函数的图象与底数大小的比较 2.(多选)已知指数函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，且 如图是指数函数(1)y=a,(2)y=b,(3)y=c, f(-2)>f(-3),则a的可能取值为 1 (4)y=d的图象，底数a,b,c,d与1之间的大小关 A.2 B.2 c D.4 系为c>l>1>a>b. 解析：AC[由指数函数f(x)=a= a (a> 规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数 越大 0,且a≠1)，且f(-2)>f(-3), (2) (3) 根据指数函数单调性可知1>1，所以0<a<1.] (1 a 4 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=m,②y=n 的图象为 191②PQ 1 B D 自主诊断查验 解析：C[由0<m<n<1,.y=m,y=n在R ◆[思考辨析] 上单调递减，所以排除AB选项；令x=1,m<n,C 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 项正确.] 打“√”，错误的打“×” 4.已知a (1)a"与(a)"都等于a(n∈N+). ()6=()=(》 ,则a,b, (2)2·2=2h. ( c的大小关系是 (3)函数y=3·2与y=2+1都不是指数函数.( 解析：“y= 是减函数， (4)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). (5)函数y=2在R上为单调减函数. ()>()>()即a>6≥1 答案：(1)×(2)×(3)/(4)×(5)/ ◆[小题查验] 又-(）<()=-1<a 答案：c<b<a 1.(BSD必修第一册Ps例3改编)设a>0,m,n是正 整数，且n>1,则下列各式中不正确的是 ( ) 5.(忽视开偶次方规则致误)计算√(1十√2)3+ A.aai-a B.(a)=a 1-2)= C.a-am D.a=1 解析1+2)+√1-2)=1+2+11-2 a =1+√2+√2-1=2√2. 答案：A 答案：2√2 跃升>关键能力 学生用书P32 题型突破素养提升 题型1（根式与有理数指数幂的运算（基础点） 解析：原式= a[a)3-(2b)]÷a-2b× (a)2+a·(2b)+(2b)2 0 1.化简4b寺÷(-子&)的结果为 (a·a) A.- 2a C.- 6a D.-6ab 答案：a 3b b 解析：C[原式=一6a+甘b音=一6ab1 3.已知14°=7=4=2，则1-1+1 a bc 解析：由题设可得2宁=14,2=7,2=4，则2 =14=2,.2+=2×4=2, 7 2.化简 a-8a3b 。26 4b京+29ab+a司 a-Na (a>0). 答案：3 ·48 主题二第二章函数 题后反思 由图可知，Vx∈R,a1>子x一1恒成立，故不满 指数幂运算的一般原则 足题意； (I)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算， 当0<a<1时，如图所示， (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成 分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 f(x)=a*-1 式表示，运用指数幂的运算性质来解答 易错警示 01 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既 g=子-1 有分母又含有负指数， 由图可知，要x>2,a1<-1恒成立，需 题型2 指数函数的图象及应用 x-+1 f2)g(2,即。21≤×2-1，解得a≤号 4 [典例们 (1)函数f(x) 的图象大致为 故0<a≤综上可知a的取值范周是(0，号】 1 [答案] -10 (3)若曲线|y|=2+1与直线y=b没有公共点， 则b的取值范围是 [解析]曲线|y=2+1与 y=2+1 [解析]作出函数y= \2 直线y=b的图象如图所示， 2 2 ,x≥0'的图 2,x0 由图象可得如果|y|=2十1 象，如图所示， 与直线y=b没有公共点，则b 0 应满足的条件是b∈[-1,1]. y=-2 [答案][-1,1] 。[互动探究] -3-2-101234 -1 1.若将本例(3)中“|y=2+1”改为“y=|2-1”, -2 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是 -3 将y=品的图象向左年移1个单位得到于) 解析：曲线y=2-1与直线y 1)x+1 =b的图象如图所示，由图象可 的图象 得，如果曲线y=|2一1与直线 [答案]B y=b有两个公共点，则b的取值 (2)当x>2时，函数y=4a1(a>0,且a≠1)的图 范围是(0,1) 象恒在函数y=3x一4的图象下方，则a的取值范 答案：(0,1) 围为 2.若将本例(3)改为：函数y=|2-1|在(-∞，]上 [解析]由题意，得当x>2时，不等式4a1<3c 单调递减，则k的取值范围是 -4恒成立，即a<-1 解析：因为函数y=|2一1|的单调递减区间为 (一0,0]，所以k≤0，即k的取值范围为（一∞，0]. 令fx)=ag)=是x-1,在同一平面直角坐 答案：（一∞，0] 标系中作出两个函数的图象， 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y=|a-1 当a>1时，如图所示， (a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值 范围是 解析：y=|a-1的图象是由y=a先向下平移1个 单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的. f(x)=a*-1 当a>1时，两图象只有一个交，点，不合题意，如图①； 当0<a<1时，要使两个图象有两个交点，则0< 0 g)=x-1 2a<1,得到0a<号如国@. ·49· 高考总复习数学(BS)》 y=2a ↑y 因为函数y= ,x≥0，关于原点对称的图象与 -x2十2x|,x<0,图象有三个交点，故f(x)图 象上关于原点对称的点有3对，] 图① 图② 题型3 指数函数的性质及应用 综上，a的取值范围是0,2 [命题点1]比较指数式的大小 答案(0，》 1.下列大小关系不正确的是 方法指导 A.(-2.5)>(-2.5)号 ( <(0.4) 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 D.2.516>20.2 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 c()<() 对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最 解析：C [A选项，(-2.5)言=(2.5)，(-2.5) 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指 数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图 =(2.5.因为2.5>1，号>号又因为指数画数y 象，然后数形结合使问题得解. =2.5在R上单调递增，所以(2.5)>(2.5)号，即 (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用 (-2.5)>(-2.5),故A正确；B选项，(0.4) 相应指数型函数图象数形结合求解， -() ,为0<号<1，>一：又间为指 易错警示 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以 数函数y= () 在R上单调递减，所以 及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性， 否则数形结合得到的可能为错误结论， (0.4)，故B正确；C选项，因为 :跟踪训练 1.函数f(x)=|2-1一m恰有一个零点，则m的取 ()<1，所以（）>()，故c错误D 值范围是 ( ) 选项，因为2.516>1,20.2<1，所以2.51.6>20.2」 A.(1,+∞) B.{0}U(1,+∞) 故D正确.] C.{0}U1,+∞) D.[1,+o∞) ●[命题点2]简单的指数方程或不等式的应用 解析：C[由题设，y=2一1与y=m只有一个 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 交点，又y=|2一1|的图象如下： 时，f(x)=4-3×2+2a.则关于x的不等式 y f(x)≤-6的解集为 () A.(-o∞，-2] B.(-o∞，-1] y2-10 C.[-2,0)U(0,2) D.[-2,0)U(2,+o∞) 解析：A[因函数f(x)是定义在R上的奇函数， .m∈{0}U[1,+∞).] 且当x≥0时，f(.x)=4-3×2+2a, ,x≥0， 则f(0)=4°-3×2°+2a=2a-2=0,解得a=1, 2.已知函数f(x) 则f(x)图象 |x2+2x,x<0, 即当x≥0时，f(x)=4-3X2+2, 上关于原点对称的点有 当x<0时，一x>0,则f(x)=-f(-x) ( ) =-(4x-3×2x+2), A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析：C[作出f(x)的图象，再作出函数y= 当≥0时1)-（2-)-≥-当 ,x≥0，关于原点对称的图象如图所示. x0, f(x)≤-6时， -(4x-3X2x+2)≤-6， 即/0， {(2x-4)(21+1)≥0 变形得∫10， {2≥4， 23 解得x≤一2， 所以不等式f(x)≤-6的解集为(-∞，-2].] ·50· 主题二第二章函数 [命题点3]探究指数型函数的性质 (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的 3.(1)已知实数a≠1，函数f(x)= (4,x≥0， 概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性、周期 x,0】 性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对 若f(1-a)=2,则a的值为 底数的分类讨论， 7,0, (2)设函数f(x 若f(a)<1, 跟踪训练 x,x≥0， 则实数a的取值范围是 1.已知a -() ,c=2a+6-1,则 1 解析：(1)当a<1时，4“=2，解得a=2;当a> A.c>b>a B.a>b>c 时，代入不成立.故a的值为 C.c>a>b D.b>a>c 解析：C 2)若a<0,则fa<1()-7<1（合） [a-(号)=-()= <8,解得a>-3,故-3<a<0; 因为0<6<27 1<8<1,故a>b,即a>b, 若a≥0，则f(a)<1台a<1,解得a<1,故0≤a<1. 故0<b<a<1. 综上可得，-3<a<1. 答案：1号 因为4+b-1>2b-1=2× -1=2-1>0, (2)(-3,1) -4r+3 所以c=2+6-1>2°=1，所以c>a>b.] 4.已知函数f(x)= 2+2+m,x≤0， (1)若a=一1，求f(x)的单调区间； 2.已知f(x) 的最小值为2， x>0 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，十∞)，求a的值. 则m的取值范围为 -4x+3 解：(1)当a=-1时，f(x) 解析：当x>0时，x十 1≥2 t· =2,当且仅当 7 令g(x)=-x2-4x十3， 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递增，在(-2， x=1,即x=1时取“=”， 十0)上单弱递成，而y(合） 在R上单调递减， 当x≤0时，0<2≤1,4-2+2+m=(2-2)2+m -4,当2r=1,即x=0时，4-2+2十m取最小值 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2， m-3, 十∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是 (一2，十∞)，单调递减区间是(-∞，一2). /4-2+2十m,x≤0， 因f(x) +1,x>0 的最小值为2，于 (2)令g(x)=a.x2-4x+3,f(x)= 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值一1， 是得m一3≥2，解得m≥5， a>0, 所以m的取值范围为[5，十o∞). 因此必有 3a-4 一1 答案：[5，十o∞) a 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 3求画数y=(合)-8() +17的单调区 (3)由指数函数的性质知， 1() 间 要使y 的值域为(0，十∞)， 、3 解析：设t ()>0，又y=-8+17=-4 应使g(x)=ax2-4x十3的值域为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函 +1在(0,4]上单调递减，在(4，+∞)上单调递增. 数，其值域不可能为R).故a的值为0. >4,得x<-2. 规律总结 指数函数的性质及应用问题解题策略 在R上单调递减，所以函数y (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中 间值(0或1)法. +17的增区间为[-2，十∞)， (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此 类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意 减区间为（一∞，一2）. 底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论. 答案：增区间为[-2，十∞)，减区间为（一∞，一2） 51