第二章 第4节 幂函数与二次函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 当以D点为中心滚动时，B点轨迹为以(0,0)为圆 (0,0)为f(x)的对称中心，即f(一x)=一f(x),所以 心，2V2为半径的圆孤， f(x)为奇函数.故A正确； 对于B,因为f(x)=-f(4-x),所以f(x+2)=-f(2 当以C点为中心滚动时，B点轨迹为以(2,0)为圆 一x),f(2十x)=f(2-x)未必成立，所以f(x)的图象 心，2为半径的十国弧： 不一定关于x=2对称，故B错误； 对于C,因为f(x)=一f(4-x),令x十2代换x,得到 当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环， f(x+2)=-f(2-x).① 周期为8. 对于f(x十1)=f(1-x),令x+1代换x,得到 画出函数图象，如图所示， f(x+2)=f(-x).② g(0)=f(0)-2√2=0，g(8)=f(8)-22=f(0) 由①②得f(-x)=一f(2-x),令-x代换x,得 -2√2=0，A正确； 到f(x)=-f(2十x), 根据图象和周期知B正确； 与②结合得f(x十2)=f(-x)=-f(x), 函数y=f(x)在[0,2]上单调递减，故在[一8，一6] 所以f(x十2)为奇函数，故C错误； 上单调递减，C错误； 对于D,对于f(x十1)=f1一x),令x一1代换x,得到 取x=一2，易知f(2)≠ f(-2),故D错误. 1 f(x)=f(2-x), 又因为f(x)=-f(4-x),所以f2-x)=-f(4-x), [答案]AB 令2-x代换x,得到f(x)=-f(2十x), [例10们（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(.x) 令x-2代换x,得到f(x-2)=-f(x), =-f(4-x),且f(x+1)=f1-x),则 () 所以f(x-2)=f(x十2)， A.f(.x)为奇函数 令x十2代换x,得到f(x)=f(x十4)，即f(x)是 B.f(x)的图象关于x=2对称 周期为4的函数.故D正确. C.f(x十2)为偶函数 [答案]AD D.f(x)是周期为4的函数 [解析]因为f(x十1)=f(1一x),所以f(x)关于 方法指导 x=1对称 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数的 因为f(.x)=-f(4-x),所以f(x十2)=-f(2-x), 四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命题， 所以f(x)关于点(2,0)对称， 解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周 对于A,由，点(2,0)关于x=1的对称点为(0,0)，(2,0) 期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转 为f(x)的对称中心，且f(x)关于x=1对称，所以 化，再利用单调性解决相关问题， 第4节 幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 复盘>必备知识 学生用书P27 打通教材强基固本 必备知识掌握 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数y=x y=.x2 y=r3 y=rt y=x (1)幂函数的定义 定义域 R R [0,+∞) {.xx≠0》 一般地，形如y=x(。为常数)的函数，即底数是 值域 及 [0,+∞) R [0,+o∞) {yy≠0 自变量，指数是常数的函数称为幂函数 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (2)常见的5种幂函数的图象 在（一∞， 在RO]上单调 在R上 在(-∞， 上单 在0，+∞) 递减，在 0)和(0， 单调性 调递 单调 上单调 [0,+∞) +∞)上 增 上单调 递增 递增 单调递减 递增 公共点 (1,1) ·42· 主题二第二章函数 2.二次函数 (5)关于x的不等式ax2+bx十c>0恒成立的充要 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=a.x2十bx十c(a≠0) 条件是0>0， {b2-4ac<0. 顶点式：f(x)=a(x-m)2十n(a≠0)，顶点坐标为 答案：(1)× (2)/ (3)× (4)×(5)× (m,n). ◆[小题查验] 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1,x2 1.若幂函数的图象经过点 2,4 则它的单调递增 为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 区间是 A.(0,+∞) B.[0,+∞) 解析式 f(x)=ax2+ f(x)=a.x2+ C.(-∞，十∞) D.(-∞，0) b.x十c(a>0)》 bx+c(a<0) 解析：D[设f)=,则2=子a=-2,即) =x2,它是偶函数，单调递增区间是（一∞，0）.] 图象 2.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应 的是 定义域 (-∞，十∞) (-∞，十∞) 值域 Aac-b -,十0 Aac-b Aa Aa A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x 上单 在- B.①y=x3,②y=x2,③y=x÷,④y=x1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x1 调递减； 上单调递增； 单调性 D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x1 在 2a,+o 上单 解析：B[图象①对应的暴函数的幂指数必然大于 调递 上单调递减 1,排除A,D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必 为正偶数，排除C.门 对称性 函数的图象关于x=一 对称 3.已知函数f(x)=a.x +x+5的图象在x轴上方， 则a的取值范围是 ·重要结论。 A.. 20 1.幂函数y=x“(a∈R)在第一象限内图象的画法 如下 D. 200 ①当a<0时，其图象可类似y=x1画出； 解析：C [由题意知a之0'即a>0: 解得 ②当0<a<1时，其图象可类似y=x画出； 1-20a<0, ③当a>1时，其图象可类似y=x2画出. 2.关于x的一元二次不等式恒成立的条件 4.在函数f(x)=a.x2+b.x十c中，若a,b,c成等比数 (1)“a.x2十b.x+c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条 列且f(0)=一4，则f(x)有最 值（填“大” 件是“a>0,且△<0” 或“小”)，且该值为 (2)“ax2十bx十c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条 解析：由已知得，f(0)=c=一4，a,b,c成等比数列， 件是“a<0,且4<0” b2=ac=-4a,a<0, 自主诊断查验 所以，f(.x)=a.x2十bx十c有最大值， ◆[思考辨析] 最大值为1ac-b_4ac-ac=3 Aa Aa 4c=-3. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 答案：大一3 打“/”，错误的打“X”. 5.(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)=x2 (1)函数y=2x是幂函数 x十a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)0(填 (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 “>”“<”或“=”). 是原点 解析：f(x)=x2一x十a图象的对称轴为直线x= (3)当n<0时，幂函数y=x”是定义域上的减 合且f1>00>0, 函数 而f(m)<0,.m∈(0,1)，∴.m-1<0, (4)二次函数y=a.x2+b.x+c(a>0),x∈[m,n]的 .f(m-1)>0. 最小值一定是4ac一 Aa, 答案：> ·43· 高考总复习数学(BS)》 跃升>关键能力 学生用书P29 题型突破素养提升 题型1 幂函数的图象与性质 直线x=2与各幂函数的图象及y=x的图象的交 点的纵坐标分别为2,21,2”，2， 1.已知幂函数y=x女(p,g∈Z且 从图中可观察得2<21<1<2m<2, p,9互质)的图象关于y轴对 由指数函数y=2在R上是增函数，可得n<-1, 称，如图所示，则 0<m<1.] A.pq均为奇数，且卫>0 0 4.已知函数f(x)=(m2-m-5)·x”-6是幂函数，对 B.9为偶数，力为奇数，且 任意x1,x2∈(0，十∞)，且x1≠x2,满足 9 <0 fx)-fx20,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a) x1一t2 C.9为奇数，p为偶数，且卫>0 +f(b)的值 ( D.g为奇数，p为偶数，且卫<0 A.恒大于0 B.恒小于0 9 C.等于0 D.无法判断 解析：D[因函数y=x的图象关于y轴对称，于 解析：A[:函数f(x)=(m2-m-5)xm一6是幂 是得函数y=x为偶函数，即p为偶数， 函数，.m2-m-5=1,解得m=-2或m=3. 又函数y=x的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且 :对任意x1,x2∈(0，十o∞)，且x1≠x2,满足 在(0，十∞)上单调递减，则有卫<0， f(x)-fx2>0, 又因p,9互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.] x1一t2 2.i设a-03b=0.35,c=0.53,则（ .函数f(.x)在(0，十∞)为增函数，.m2-6>0, .m=3(m=-2舍去)， A.a>b>c B.c>b>a .f(x)=x3为增函数.对任意a,b∈R,且a十b>0, C.c>a>b D.a>c>b 则a>-b,.f(a)>f(-b)=-f(b), 解析：D[由a=n035=1og0.35> ∴.f(a)+f(b)>0.] 1n0.53 1ogo.530.53=1, 题后反思 :y=0.35,y=0.53在R上单调递减， 1.幂函数的解析式 y=x05在(0，十∞)上单调递增， y=x(a∈R),其中只有参数a,因此只需一个条 0.35.53<0.3535<0.53.35<0.53°=1， 件即可确定其解析式 .a>c>b.] 3.如图是幂函数y=x”与y=x”在第一象限内的图 2.幂函数的图象特征 象，则 ) ①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠 近x轴（简记为“指大图低”），在(1，十∞)上，幂 函数中指数越大，函数图象越远离x轴.②曲线在 第一象限的凹凸性：a>1时，曲线下凸；0<a<1时， y=x 曲线上凸；a<0时，曲线下凸. y=x-1 3.幂函数的性质 (1)若a为偶数，则幂函数y=x(a∈R)是偶函数； A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1 若a为奇数，则幂函数y=x(a∈R)是奇函数. C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1 反之，不成立.当α是分数时，一般将其先化为 解析：B[如图，作直线x=2,y=x, 根式，再判断奇偶性. y=x (2)若幂函数y=x在(0，十o∞)上单调递增，则 a>0;若在(0，十∞)上单调递减，则a<0. y=x" 4.幂值大小的比较 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调 2 性进行比较. ·44· 主题二第二章函数 题型2〔二次函数的图象与性质（多维探究） 当-1<a≤号时，函数f)的最大位为f2) ●[命题点]二次函数的图象 =1-4a; 1.已知函数y=a.x2+bx十c,如果a>b>c且a+b+c =0,则它的图象可能是 当2a≤2时，画数f)的最大值为f(-) =2a-2; 当a>2时，函数f(.x)在[-1,2]上单调递减，所以 f(x)的最大值为f(-1)=2a-2. 综上，当a≤号时，函数f(x)的最大位为f(2) 1-4a:当a>号时，f)的最大值为f代-1D=2a-2. 规律总结 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y= a(x-m)2十n的形式，得顶点(m,n)和对称轴方 解析：A[由题意，函数y=ax2十b.x十c, 程x=m,结合二次函数的图象求解.常见有三种 因为a十b十c-0,令x=1,可得y=a十b十c=0,即 类型： 函数图象过点(1,0)， (1)顶点固定，区间也固定； 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口 (2)顶点含参数（即顶点为动点），区间固定，这时要 向上，可排除B、D项， 讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间 令x=0,可得y=c<0,可排除C项.] 之外； [命题点2]二次函数的单调性与最值 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参 2.己知函数f(x)=x2-2a.x-3. 数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明 (1)已知f(x)在[3，+∞)上单调递增，求a的取值 确函数的单调性，从而确定函数的最值. 范围； [命题点3]二次函数中恒成立问题 (2)求f(x)在[-1,2]上的最小值. 3.已知正实数x,y满足2.x十3y=1,且tx2-y≥x-y 解：(1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图 对任意xy恒成立，则实数t的最小值是 象开口向上，且对称轴为x=a, x>0 要使得f(x)在[3，十∞)上单调递增，则满足a≤3， 解析：依题意 所以a的取值范围为(-o∞，3]. 12>0.解得0分 3 (2)由函数f(x)=x2-2a.x-3,可得f(x)的图象 开口向上，且对称轴为x=a, 则>2， 当a<-1时，函数f(x)在[-1,2]上单调递增，所 由a2-y≥x-y,得≥t一y十y 以f(x)的最小值为f(-1)=2a-2; T2 当-1≤a≤2时，函数f(x)在[-1，a]上单调递 减，在[a,2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)=-a2-3; 11.x-2+4x2 当a>2时，函数f(x)在[-1,2]上单调递减，所以 9 ① 9x f(x)的最小值为f(2)=1-4a, 11 综上可得，f(x)在[-1,2]上的最小值为f(x)m 则当1= 9 11 时①式取得最大值一 2 2a-2,a<-1, 、4 4 9 {-a2-3,-1≤a≤2， 1-4a,a>2. ()+号×+-号所以：的藏小是号 O[引申探究] 本题条件不变，求f(x)在[-1,2]上的最大值 答案号 解：由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象 4.已知函数f(x)=-x2+2x十1，x∈[0,2]，函数 开口向上，且对称轴为x=a, g(x)=a.x-1,x∈[-1,1]，对于任意x1∈[0,2]， 当a<一1时，函数f(x)在[-1,2]上单调递增，所 总存在x2∈[-1,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，则 以f(x)的最大值为f(2)=1-4a; 实数a的取值范围是 ·45· 高考总复习数学(BS) A.(-c∞，-3] (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如 B.[3,十o∞) 图③，④两种情况. C.(-o∞，-3]U[3,+o∞) D.(-∞，-3)U(3,+∞) 解析：C[因为f(x)=-(x-2)2+2,x∈[0,2]， 所以fx)m=f(0)=1, f)n=f(2)=2即f八)的值城为1,2]， 因为对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[-1,1]，使 因此f(x)=0两根都大于1等价于 得g(x2)=f(x1)成立， a>0, fa<0, 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[-1,1]上值 △>0， △>0， 域的子集， 2(a+1D>1. 解得a∈⑦. 当a>0时，g(x)在[-1,1]上为增函数，所以g(-1) 2(a+1D>1, 2a 2a ≤g(x)≤g(1),所以g(x)∈[-a-1,a-1], f(1)>0 f(1)<0, 所以-a-1≤1， 1a-1≥2， 解得a≥3， 所以不存在实数Q,使方程两根都大于1. 方法指导 当a<0时，g(x)在[-1,1]上为减函数，所以g(1) 解决有关根的分布问题应注意以下几点 ≤g(x)≤g(-1),所以g(x)∈[a-1,-a-1], (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题， 所以-1≤1， 1-a-1≥2 解得a≤-3， (2)结合草图考虑四个方面：①△与0的大小；②对 综上，实数a的取值范围是(-∞，-3]U[3,十∞).] 称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与 规律总结 零的关系：④开口方向 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (3)写出由题意得到的不等式. (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是 (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意. 构造函数，数形结合求解. 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至 现了方程的根就是函数的零点，在写不等式时 于用哪种方法，关键是看参数是否能分离.这两 要注意条件的完备性 个思路的依据是：a≥f(x)恒成立台a≥ 。[互动探究] f(x)xa≤f(x)恒成立台a≤f(x): 本例已知条件不变，求a为何值时？ 题型3 二次函数零点的分布问题 (1)方程有唯一实根； [典例]关于x的方程a.x2-2(a十1)x十a-1=0, (2)方程一根大于1，一根小于1. 解：(1)令f(x)=a.x2-2(a十1).x十a-1. 求a为何值时？ (1)方程有一正根一负根； 当a=0时，方程变为一2x-1=0,即x=一 特 1 (2)方程两根都大于1. 合题意； [破题关键点]构造函数f(x)=a.x2一2(a十1)x 当a≠0时，△=4(a+1)2-4a(a-1)=0, 十a一1，借助于二次函数的图象与性质，列出不等 式组进行求解， 3 [解]令f(x)=a.x2-2(a+1)x十a-1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如 所以当a=0或一号时，方程有唯一实根。 图①，②两种情况. (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. 因此f(x)=0有一正一负根等价于 (a>0, 或 f(0)< ⑤ a<0, 。解得0<a<1. {f(0)>0, 所以必须满足0。0解得>0 f(1)<0 f(1)>0. 所以0<a<1时，方程有一正一负根. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. ·46·